数学模型姜启源答案.docx
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数学模型姜启源答案
数学模型姜启源答案
【篇一：
姜启源课后习题】
xt>第1章建立数学模型
1.1在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？
（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）
1.2在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？
一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。
（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）
1.3人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河？
1.4有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。
问怎样过河？
1.5如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？
而到2000年的本利积累为多少元？
1.6某城市的logistic模型为
dn11
dt?
25n?
25?
10
6n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。
设该市1990
年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。
当t?
?
时发生什么情况。
1.7假设人口增长服从这样规律：
时刻t的人口为x（t），最大允许人口为xm，t到t?
?
t时间内人口数量与xm?
x（t）成正比。
试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞
增长模型的结果进行比较。
1.8一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？
如何求出这些时间？
1.9你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？
如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？
1.10居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。
水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。
如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？
第2章初等模型
2.1学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.
（2）2.1节中的q值方法.
（3）d’hondt方法：
将各宿舍的人数用正整数n?
1,2,
3,?
相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）,在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.2.2在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:
1,试用比例方法构造模型解释这个现象.
（1）分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正
比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系。
画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小。
解释实际意义是什么。
2.3一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。
2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
2.7举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。
2.8速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是
?
。
用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v，s，?
的关系。
2.9雨速的速度v与空气密度?
、粘滞系数?
和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：
运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。
用量
纲分析方法给出速度v的表达式。
2.10原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。
据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?
，大气压强p有关（设t?
0时r?
0）。
用量纲分析方法
证明，r?
?
?
?
?
et2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
p5t6?
?
e2?
3?
?
?
，?
是未定函数。
2.11用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失
的热量。
记水的流速v，密度?
，比热c，粘性系数?
，热传导系数k，人体尺寸d。
证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?
k?
v?
d?
c?
d?
?
?
?
?
k?
?
?
，?
是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1?
c时的热量交换。
2.12在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?
1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?
正确的答案是什么?
2.13战后olympic运动会女子铅球记录如下:
你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.
第3章简单的优化模型
3.1在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
3.2建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k?
r在每个生产周期t内，开始的一段时间（0?
t?
t0）一边生产一边销售，后来的一段时间（t0?
t?
t）只销售不生产，画出贮存量q（t）的图形。
设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。
讨论k?
?
r和k?
r的情况。
3.3在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?
与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
3.4在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a?
1.5m（颈部以下），宽b?
0.5m，厚
c?
0.2m，设跑步距离d?
1000m，跑步最大速度vm?
5m/s，
雨速u?
4m/s，降雨量w?
2cm/h，记跑步速度为v。
按以下
步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，
且与人体的夹角为?
，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，?
之间的关系，问速度v多大，总淋雨量
最少。
计算?
?
0?
，?
?
30?
时的总淋雨量。
（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且
与人体的夹角为?
，如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a，
b，c，d，u，w，?
之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算?
?
30?
时总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑?
的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
图1
图2
3.5甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。
设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数f（
xx?
y）和f（yx?
y
）。
又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的
利润。
试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。
（1）令t?
x
x?
y
，则f（t）?
f（1?
t）?
1。
画出f（t）的示
意图。
（2）写出甲公司利润的表达式p（x）。
对于一定的y，使p（x）最大的x的最优值应满足什么关系。
用图解法确定这个最优值。
3.6人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。
试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。
（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高
?
?
s2l（s?
l）
（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。
设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2s。
（3）设人体质量m，证明在速度v一定时每秒行走n?
3mg
m4ml
步作功最小。
m?
4,l?
1m分析这个结果合理吗。
（4）将
（2）的假设修改为：
腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。
证明结果应为n?
mg
4ml
步。
分析这个结果合理。
3.7驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。
船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。
试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。
3.8发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。
潮水通过水轮机
3.9别为p，q室（如图所示）少应宽多少？
3.10程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见下图），沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）ksin?
?
sin?
ksin（?
?
?
）
。
（3）根据实际观察ctan?
?
0.2，试对不同的
k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的?
值。
b
【篇二：
2011数学建模a题参考答案】
ss=txt>摘要
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
通过对城市土壤重金属的调查，应用数学方法对数据进行处理。
得到城市环境质量的演变，已是人们日益关注的焦点。
对于问题一，用附件一中给出的数据，用matlab插值法建立三维模型，总共有9个图，一个是取样地点的地形图，另外八个是八种重金属元素的浓度分布图，通过模型图我们可以清楚的看到各种元素不同的空间分布。
然后通过均值法，算出不同区域内各种重金属元素的污染程度。
对于问题二，通过对问题一结论的分析得出，生活区和工业区是污染比较厉害的地区。
目前我国由于在重金属的开采、冶炼、加工过程中，造成不少重金属如铅、汞、镉、钴等进入大气、水、土壤引起严重的环境污染。
人类生活中各种用品都含有不同量的重金属元素，比如说废旧电池，含有较多的汞、铬、锰、铅、镍、锌等重金属。
它们通过自然和生物降解，随着雨水进入到土壤和河流当中。
对于问题三，根据前两问的结论分析重金属的传播特征，主要有从高海拔到低海拔，从高浓度区向低浓度区扩散。
我们建立扩散模型，求出函数的极值，从而确定污染源的位置。
对于问题四，我们仔细分析了模型的优缺点。
为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量，以及每年的生物降解量，降雨量对重金属元素扩散的影响，空气污染也应该考虑进去。
有了这些数据以后建立因子分析法，回归分析，曲线拟合等模型解决问题。
关键词：
插值法、均值法、扩散模型、因子分析、回归分析。
一、问题重述与分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现在通过数学建模来完成以下任务：
（1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
（2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
（3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
（4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、模型假设
（1）污染源的重金属浓度不在增加。
（2）取样点的数据较好的反映了该地区的污染物浓度。
（3）测量的个别数据对整体没有影响。
（4）元素的扩散只与元素的含量的高低有关。
三、符号约定
i=1,2,3,……8,分别对应8种金属元素，
x表示距离参照点的横坐标
y表示距离参照点的纵坐标
z
i表示i种金属的x,y处的含量（j=1,2,3,4,5,）表示种元素在j区的平均含量ij
bi该地区i种元素的背景值
k为考虑各差异可能会引起背景值的变动而取的系数（这里取1.5）。
ci为土壤中污染中污染元素i的实测值；
si为土壤中污染元素i的背景值。
四、模型的建立与求解
问题一：
该地区的空间模拟图
该地区as的含量图
该地区cd含量图
该地区cr含量图
【篇三：
ch1数学模型作业解答】
>第一章（2009年2月24日）
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.
解：
设椅子四脚连线呈长方形abcd.ab与cd的对称轴为x轴，用中心点的转角?
表示椅子的位置.将相邻两脚a、b与地面距离之和记为f（?
）;c、d与地面距离之和记为g（?
）.并旋转1800.于是，设f（0）?
0,g（0）?
0,就得到g?
?
?
?
0,f?
?
?
?
0.
数学模型：
设f?
?
?
、g?
?
?
是?
0,2?
?
上?
的非负连续函数.若?
?
?
?
0,2?
?
有f?
?
?
g?
?
?
?
0,且g?
0?
?
0,f?
0?
?
0,g?
?
?
?
0,f?
?
?
?
0,则?
?
0?
?
0,2?
?
使f?
?
0?
?
g?
?
0?
?
0.
模型求解:
令h（?
）?
f（?
）?
g（?
）.就有h（0）?
0,h（?
）?
f（?
）?
g（?
）?
0?
g（?
）?
0.再由f?
?
?
g?
?
?
的连续性,得到h?
?
?
是一个连续函数.从而h?
?
?
是?
0,?
?
上的连续函数.由连续函数的介值定理：
?
?
0?
?
0,?
?
使h?
?
0?
?
0.即?
?
0?
?
0,?
?
使f?
?
0?
?
g?
?
0?
?
0.
又因为?
?
?
?
0,2?
?
有f?
?
?
g?
?
?
?
0.故f?
?
0?
?
g?
?
0?
?
0.
8.假定人口的增长服从这样的规律：
时刻t的人口为x（t）,单位时间内人口的增量与xm?
x（t）成正比（其中xm为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.
解：
现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为x?
t?
（一般x?
t?
是很大的整数）,且设x?
t?
为连续可微函数.又设x?
t?
|t?
0?
x0.任给时刻t及时间增量?
t,因为单位时间内人口增长量与xm?
x（t）成正比,假设其比例系数为常数r.则t到t?
?
t内人口的增量为：
x?
t?
?
t?
?
x?
t?
?
r（xm?
x?
t?
）?
t.
两边除以?
t,并令?
t?
0,得到
?
dx?
?
r（xm?
x）解为x（t）?
xm?
（xm?
x0）e?
rt?
dt?
?
x（0）?
x0
如图实线所示，
当t充分大时xm
它与logistic模型相近.
x0
t
9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：
（1）某甲早8：
00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：
00到达山顶并留宿.
次日早8：
00沿同一路径下山，下午5：
00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？
（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻
不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
（4）某人家住t市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：
00抵达t市车站，他的
妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：
30抵t市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟.问他步行了多长时间？
（5）一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天
同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家.一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？
如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何
处？
解：
（1）方法一：
以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标，第一天的行程x（t）可用曲线（?
）表示，第二天的行程x（t）可用曲线（?
?
）表示，（?
）（?
?
）是连续曲线必有交点p0（t0,d0）,
两天都在t0时刻经过d0地点.
方法二：
设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径,必定相遇.d0
t
早8t0晚5
方法三：
我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f（t）（即t时刻走的路程为f（t））,同样设从山顶到山下旅店的路函数为g（t）,并设山下旅店到山顶的距离为a（a0）.由题意知：
f（8）?
0,f（17）?
a,g（8）?
a,g（17）?
0.令h（t）?
f（t）?
g（t）,则有h（8）?
f（8）?
g（8）?
?
a?
0，h（17）?
f（17）?
g（17）?
a?
0，由于f（t）,g（t）都是时间t的连续函数,因此h（t）也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?
t0?
[8,17],使h（t0）?
0,即f（t0）?
g（t0）.
（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮.n队需赛n?
1场，若2k?
1?
n?
2k，则需赛k轮.
（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：
00，8：
10，8：
20，……
那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：
09，8：
19，8：
29……
（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：
00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：
55.
（5）放学时小狗奔跑了3km.孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是
由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.
10.某人第一天上午9：
00从甲地出发，于下午6：
00到达乙地.第二天上午9：
00他又从乙地出发按原路返回，下午6：
00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：
00回到甲地，结论将如何？
答：
（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为f（t）（即t时刻走的路程为f（t））,同样设从乙地到甲地的路函数为g（t）,并设甲地到乙地的距离为a（a0）.由题意知：
f（9）?
0,f（18）?
a,g（9）?
a,g（18）?
0.令*
h（t）?
f（t）?
g（t）,则有h（9）?
f（9）?
g（9）?
?
a?
0，
h（18）?
f（18）?
g（18）?
a?
0由于f（t）,g（t）都是时间t的连续函数,因此h（t）也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?
t0?
[9,18],使h（t0）?
0,即f（t0）?
g（t0）.若第二天此人是下午4：
00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为h（9）?
f（9）?
g（9）?
?
a?
0，h（16）?
f（16）?
g（16）?
f（16）?
0.
（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：
设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：
00回到甲地,则结论仍然正确.
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