第二章二次函数24二次函数的应用教案.docx
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第二章二次函数24二次函数的应用教案
2.4.1二次函数的应用
一、教学目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
四、教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
五、教学过程
（一）导入新课
引导学生把握二次函数的最值求法：
（1）最大值：
（2）最小值：
（二）讲授新课
活动1：
小组合作
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？
最大值是多少?
解：
活动2：
探究归纳
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲
例题：
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）?
此时,窗户的面积是多少?
解：
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
（四）归纳小结
“最大面积”问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
（五）随堂检测
1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．
2．用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？
请求出金属框围成的图形的最大面积．
3．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：
广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？
最少费用是多少？
4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若
，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？
说明理由．
【答案】
1.12.5
2.根据题意可得：
等腰三角形的直角边为
m矩形的一边长是2xm,其邻边长为
3.解：
（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意
得4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5200，
整理，得x2－45x＋350＝0，
解得：
x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以，要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则
y＝30[4x2＋（100－2x）（80－2x）]＋20[2x（100－2x）＋2x（80－2x）]
即y＝80x2－3600x＋240000，配方，得
y＝80（x－22．5）2＋199500.
当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199500.
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，
铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500元．
4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
∴
∴
即
.
⑵当m=8时，
化成顶点式:
（3）由
，及
得关于x的方程:
，得
.
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时，Rt△BFE≌Rt△CED.
∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5.解：
（1）依题意，得y=（40-2x）x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0（2）当y=210时，由
（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵a=1，b=-20，c=105，
∴
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
六．板书设计
2.4.1二次函数的应用
探究：
例题：
“最大面积”问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
2.4.2二次函数的应用
一、教学目标
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.
2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
四、教学难点
运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
五、教学过程
（一）导入新课
某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？
（二）讲授新课
活动1：
小组合作
二次函数y=a（x-h）2+k（a
0），顶点坐标为（h,k）,则
①当a>0时，y有最小值k；
②当a<0时，y有最大值k
【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:
在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?
【解析】设销售单价为x（x≤13.5）元,那么
销售量可以表示为:
件；
每件T恤衫的利润为:
元；
所获总利润可以表示为:
元；
即y=-200x2+3700x-8000=-200（x-9.25）2+9112.5
∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,
最大利润是元.
活动2：
探究归纳
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
（三）重难点精讲
例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？
最大利润是多少元？
【解析】
（1）y=50-
；
（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-
）=
（3）因为w=
所以x=
=170时，w有最大值，而170>160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50-
=34，
此时的利润为10880元.
例题3某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
【解析】
（1）设每千克应涨价x元，列方程，得
（5+x）（200－10x）=1500，
解得x1=10，x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10，所以x=5.
答：
每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=（x+5）（200－10x）=－10x2+150x+1000，
当x=
时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多
（四）归纳小结
“何时获得最大利润”问题解决的基本思路.
1.根据实际问题列出二次函数关系式.
2.根据二次函数的最值问题求出最大利润
（五）随堂检测
1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：
米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）
A.4米B.3米
C.2米D.1米
2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：
若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA1m处达到最大高度2.25m.
如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？
4．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
【答案】
1.【解析】选A.抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.
2.【解析】
（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5000元，故y1=5000x
当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3500元/个，所以x≤
即100当x>250时，购买一个需3500元，故y1=3500x;
（2）当0≤x≤100时，y1=5000x≤500000<1400000；
当100y1=6000x-10x2=-10（x-300）2+900000<1400000；
∴由
得到x=400
由
得到
故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯
3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A（0,1.25）,顶点B（1,2.25）.
设抛物线的表达式为y=a（x-h）2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：
y=-（x-1）2+2.25.
当y=0时,得点C（2.5,0）;同理,点D（-2.5,0）.
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,
才能使喷出的水流不致落到池外.
4.解析：
（1）由题意，得：
w=（x－20）·y
=（x－20）·（-10x+500）
=-10x2+700x-10000
当
时，w有最大值.
答：
当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得
解这个方程，得x1=30，x2=40．
答：
李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）∵
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得P=20（-10x+500）=
-200x+10000,∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时，P最小＝3600.
答：
想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少需要3600元．
六．板书设计
2.4.2二次函数的应用
探究：
例题2：
例题3：
“何时获得最大利润”问题解决的基本思路.
1.根据实际问题列出二次函数关系式；
2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.
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