高考数学中地内切球和外接球问题附习题.docx
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高考数学中地内切球和外接球问题附习题
高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接
球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查
学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要
运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的
有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在
解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法（公式法）
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为______________.27.
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为24，则该球的体积为______________.43.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为16，则这个球的表面积为（）.C
A.16B.20C.24D.32
3.
求多面体的外接球的有关问题
例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知
该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周
长为3，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
6x3,1x,
2
93
2
6xh,
h3．84
∴正六棱柱的底面圆的半径
1
r，球心到底面的距离
2
3
d.∴外
2
接球的半径
R2d.体积：
r
2
4
V3.
RV3.
3
小结本题是运用公式
222
Rrd求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法（补形法）
1、构造正方体
例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外
接球的表面积是_______________.9.
例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外
接球的表面积是.
故其外接球的表面积
2
S4R9.
小结：
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的
体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，
则有
222
2Rabc.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则
体对角线长为
2b2c
2
la，几何体的外接球直径为2R体对角线长l
即R
a
2b2c2
2
练习：
在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面
积。
球的表面积为416
2
SR
例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点
在同一球面上，则此球的表面积为（）
A.3B.4C.33D.6
A.（如图2）
例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，
0
DAB=60，E为AB的中
点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，
则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.
43666
A.
27B.2C.8D.
24
解析：
（如图3）因为AE=EB=DC=1，
0
DAB=CBE=DEA=60，
所以
ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，
这与例6就完全相同了，故选C.
DC
P
AEB
DC
E
例8（2已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等于.
解析：
本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.
而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC，
ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，
又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球
9
的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于
2.（如图4）
D
O
A
BC
图4
2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，
A平面，BCDC，若AB6,AC=213,AD=8，则球的体积是
BBCD
解析：
首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的
直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，
只要求出BOC即可，在RtABC中，求出BC=4，所以
0
BO，故
C=60
4
B、C两点间的球面距离是3.（如图5）
A
O
BC
D
图5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积
为16，则这个球的表面积是
A.16B.20C.24D.32.选C.
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直
径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为
S
.
DC
解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心
O1
AB
图3
为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
OO平面ABCD.
1
又SO1平面ABCD，∴球心O必在
SO所在的直线上.
1
∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就
是外接球的半径.
在ASC中，由SASC2，AC2，得
222
SASCAC.
∴ASC是以AC为斜边的Rt.
AC
2
1
是外接圆的半径，也是外接球的半径.故
V球
4
3
∴.
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元
素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方
法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题
转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们
学习.
五.确定球心位置法
例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一
个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为
D
A.
125
12B.
125
9C.
125
6
AO
C
图4B
125
D.
3
解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知
OAOBOCOD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相
等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径
ROA
5
2
.故
4125
3
VR
36
.选C.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：
直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角
形斜边中点。
【例题】：
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且
，，，,求球的体积。
解：
且，，，,
因为所以知
所以所以可得图形为：
在中斜边为
在中斜边为
取斜边的中点，
在中
在中
所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
4.（陕西理?
6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是（）
33B．
A．
4
3C．
3
3D．
4
3
12
答案B
5.直三棱柱
ABCABC的各顶点都在同一球面上，若
111
ABACAA,BAC120，则此球的表面积等于。
12
解:
在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可
得ABC
外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得
球半径R5，故此球的表面积为
4R220.
3．正三棱柱
ABCABC内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离
111
为，则正三棱
柱的体积为．
答案8
4.表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球
的体积为
A．
2
3
1
B．
3
2
C．
3
22
D．
3
答案A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由
2
3
a知，823
4
a，则此球的直径为2，故选A。
1
6.
已知正方体外接球的体积是
32，那么正方体的棱长等于（）
3
A.22B.
2C.
3
3
42
3
43
D.
3
答案D
7.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）
A.1∶3B.1∶3C.1∶33
D.1∶9
答案C
8.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
9
该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为
8
．
答案
4
3
9.（2007天津理?
12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且
一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．
答案14π
10.（2007全国Ⅱ理?
15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm
的球面上。
如果正四
棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.
答案242
11.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF，则此正六棱
P
锥的侧面积是________．
CD
BE
答案67
A
F
12.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形（正四面体的截面）的面积是.
答案2
13.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体
外接球的表面积为（）
A．3B．2
C．
16D．以上都不对
3
答案C
14.设正方体的棱长为
23
3
，则它的外接球的表面积为（）
A．
8B．2πC．4πD．
3
4
3
答案C
20、人因为心里不快乐，才浪费，是一种补偿作用。
21、我要你知道，在这个世界上总有一个人是等着你的，不管在什么时候，不管在什么地方，反正你知道，总有这么个人。
22、回忆这东西若是有气味的话，那就是樟脑的香，甜而稳妥，像记得分明的块乐，甜而怅惘，像忘却了的忧愁。
23、对于三十岁以后的人来说，十年八年不过是指缝间的事，而对于年轻人而言，三年五年就可以是一生一世。
24、一般的说来，活过半辈子的人，大都有一点真切的生活经验，一点独到的见解。
他们从来没想到把它写下来，事过境迁，就此湮没了。
25、男人做错事，但是女人远兜远转地计划怎样做错事。
女人不大想到未来——同时也努力忘记她们的过去——所以天晓得她们到底有什么可想的！
26、男人憧憬着一个女人的身体的时候，就关心到她的灵魂，自己骗自己说是爱上了她的灵魂。
惟有占领了她的身体之后，他才能够忘记她的灵魂。
27、要是真的自杀，死了倒也就完了，生命却是比死更可怕的，生命可以无限制地发展下去，变的更坏，更坏，比当初想象中最不堪的境界还要不堪。
28、太大的衣服另有一种特殊的诱惑性，走起路来，一波未平，一波又起，有人的地方是人在颤抖，无人的地方是衣服在颤抖，虚虚实实，极其神秘。
29、因为懂得，所以慈悲。
30、这世上没有一样感情不是千疮百孔的
想要忘记一段感情，方法永远只有一个：
时间和新欢。
要是时间和新欢也不能让你忘记一段感情，原因只有一个：
时间不够长，新欢不够好。
——张小娴《面包树上的女人》
假如没有遇上你，我会不会有另一种人生？
不管有没有结果，我还是宁愿与你相逢。
——张小娴
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。
——张小娴
有一些人，这辈子都不会在一起，但是有一种感觉却可以藏在心里，守一辈子⋯⋯
——张小娴
爱情是一百年的孤独，直到遇上那个矢志不渝的守护你的人，那一刻，所有苦涩的孤独，都有了归途。
——张小娴《我终究是爱你的》
当你想念一个人的时候，尽情去想念吧，也许有一天，你再也不会如此想念他了。
到了那一天，你会想念曾经那么想念一个人的滋味。
当你爱一个人的时候，尽情去爱吧，也让他知道你
是如此爱他。
也许有一天，当你长大了，受过太多的伤，失望太多，思虑也多了，你再也不会那么炽烈地爱一个人。
——张小娴
我没有很刻意的去想念你，因为我知道，遇到了就应该感恩，路过了就需要释怀。
我只是在很多很多的小瞬间，想起你。
比如一部电影，一首歌，一句歌词，一条马路和无数个闭上眼睛
的瞬间。
——张小娴《思念往昔》
最难过的，莫过于当你遇上一个特别的人，却明白永远不可能在一起，或迟或早，你不得不放弃。
——张小娴《永不，永不说再见》
男人对女人的伤害，不一定是他爱上了别人，而是他在她有所期待的时候让她失望，在她脆弱的时候没有扶她一把。
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