高等代数知识点总结.pdf

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第一学期第一次课第一学期第一次课第一章第一章代数学的经典课题代数学的经典课题1若干准备知识若干准备知识1.1.1代数系统的概念代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统代数系统。

1.1.2数域的定义数域的定义定义定义（数域）设K是某些复数所组成的集合。

如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有baKbababKK为一个数域数域。

/0时，且当，则称K例例1.1典型的数域举例：

复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：

Q（i）=i|Q，其中i=baba,1。

命题命题任意数域K都包括有理数域Q。

证明证明设K为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0aKa，且。

于是KaaKaa10，。

进而Z,m0Km111。

最后，Z，nm,0Knm，Knmnm0。

这就证明了QK。

证毕。

1.1.3集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义定义（集合的交、并、差）设是集合，与SAB的公共元素所组成的集合成为与AB的交集交集，记作BA；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与AAB的并集并集，记做BA；从集合中去掉属于AB的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集差集，记做。

ABA定义定义（集合的映射）设、AB为集合。

如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应fAafB中唯一确定的元素（记做），则称是到）（affAB的一个映射映射，记为）.（,:

afaBAf如果Bbaf）（，则称为在下的像像，a称为在下的原像原像。

的所有元素在下的像构成的bafbfAfB的子集称为A在下的像像，记做，即f）A（fAafAfa|）（）（。

若都有则称为单射单射。

若,Aaa）,（）（afaff,Bb都存在，使得，则称为满射满射。

如果既是单射又是满射，则称为双射双射，或称一一对应一一对应。

Aabfaf）（ff1.1.4求和号与求积号求和号与求积号1求和号与乘积号的定义求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域K上n个数，我们使用如下记号：

naaa,21niinaaaa121,niinaaaa121.当然也可以写成niinaaaa121.,niinaaaa121.2.求和号的性质求和号的性质.容易证明，niniiiaa11nininiiiiibaba11）（11nimjniijmjijaa111事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

nmnnmmaaaaaaaaa.212222111211分别先按行和列求和，再求总和即可。

第一学期第二次课第一学期第二次课2一元高次代数方程的基础知识一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题高等代数基本定理及其等价命题1.高等代数基本定理高等代数基本定理设K为数域。

以表示系数在xKK上的以x为变元的一元多项式的全体。

如果，则称为的次数，记为。

）0）（01aKaxaxxfnnndegf（,x.10a）（xn）（xf定理定理（高等代数基本定理）C的任一元素在C中必有零点。

x命题命题设是C上一个次多项式，a是一个复数。

则存在C上首项系数为的）10（,.）（0110naaxaxaxfnnn，0a1nn）（xq次多项式，使得）（）（）（afaxxqxf证明证明对n作数学归纳法。

推论推论为的零点，当且仅当0x）（xf）（0xx为的因式（其中）。

）（xf1）（degxf命题命题（高等代数基本定理的等价命题）设为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使nnnaxaxaxf.）（110n）10（0na，naaa,.,21n）.（）（）（210nxxxaxf证明证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。

n2高等代数基本定理的另一种表述方式高等代数基本定理的另一种表述方式定义定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式

（1）0.1110nnnnaxaxaxa（其中）称为数域0,.,010aKaaanK上的一个次代数方程代数方程；如果以nKx带入

（1）式后使它变成等式，则称为方程

（1）在K中的一个根根。

定理定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域K上的次代数方程在复数域C内必有一个根。

）1（n命题命题次代数方程在复数域C内有且恰有n根（可以重复）。

n个命题命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式）0（.）（10nnnaxaxaaxf，）0（.）（10mmmbxbxbbxg，如果存在整整数l,及nlml,1l个不同的复数121,.,ll，使得）1,.,2,1（）（）（ligfii，则。

）（）（xgxf1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性韦达定理与实系数代数方程的根的特性设101（）nnnfxaxaxa，其中0,iaKa0。

设的复根为（）0fx12,n（可能有重复），则1210112121（）（）（）（）（）（）nininnnnfxxxxxaxx.所以）（）1（21101naa；niiiiaa21210202）1（；.）1（210nnnaa我们记1）,（210n；nn21211）,（；niiiiiinrrr2121021）,（；nnn2121）,（（12,n称为12,n的初等对称多项式初等对称多项式）。

于是有定理定理2.5（韦达定理）设101（）nnnfxaxaxan，其中。

设的复根为0,iaKa0（）0fx12,。

则）,（）1（211101naa；）,（）1（212202naa；）.,（）1（210nnnnaa命题命题给定R上n方程次，0.1110nnnnaxaxaxa00a，如果bai是方程的一个根，则共轭复数bai也是方程的根。

证明证明由已知，1011.0nnnnaaaa.两边取复共轭，又由于naaa,.,10R，所以1011.0nnnnaaaa.推论推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

证明证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在CC内有奇数个根，故其中必有一根为实数。

第一学期第三次课第一学期第三次课3线性方程组线性方程组1.3.1数域数域K上的线性方程组的初等变换上的线性方程组的初等变换举例说明解线性方程组的Gauss消元法消元法。

定义定义（线性方程组的初等变换）数域K上的线性方程组的如下三种变换

（1）互换两个方程的位置；

（2）把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素c；（3）把某一个方程加上另一个方程的倍，这里kKk的每一种都称为线性方程组的初等变换初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。

命题命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解证明证明设线性方程组为11112211121222221122,.nnnnmmmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbn（*）经过初等变换后得到的线性方程组为（*），只需证明（*）的解是（*）的解，同时（*）的解也是（*）的解即可。

设是（*）的解，即（*）中用nnkxkxkx,.,2211）,.2,1（nikxii代入后成为等式。

对其进行初等变换，可以得到nnkxkxkx,.,2211代入（*）后也成为等式，即nknxkxkx,.,2211是（*）的解。

反之，（*）的解也是（*）的解。

证毕。

1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换定义定义（数域K上的矩阵）给定数域K中的个元素j（mniami,1，）。

把它们按一定次序排成一个行列的长方形表格nj,1mn111212122212.nnmmmnaaaaaaAaaa称为数域K上的一个行列矩阵行列矩阵，简称为mnnm矩阵。

定义定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵）线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵称为方程组的系数矩阵系数矩阵；如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩阵AmA）1（n11121121222212.nnmmmnnaaabaaabAaaab称为方程组的增广矩阵增广矩阵。

定义定义（矩阵的初等变换）对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换

（1）互换两行（列）的位置；

（2）把某一行（列）乘以K内一个非零常数c；（3）把某一行（列）加上另一行（列）的k倍，这里Kk称为矩阵的行（列）初等变换初等变换。

定义定义（齐次线性方程组）数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次线性方程组齐次线性方程组。

这类方程组的一般形式是1111221121222211220,0,.0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax命题命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解；证明证明对变元个数作归纳。

说明说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。

事实上，在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。

如果所给的是数域K上的线性方程组，那么做初等变换后仍为K上的线性方程组，所求出的解也都是数域K中的元素。

因此，对K上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域K中进行。

第一学期第四次课第一学期第四次课第二章第二章向量空间与矩阵向量空间与矩阵第一节第一节m维向量空间维向量空间2.1.1向量向量和和m维向量空间维向量空间的定义及性质的定义及性质定义定义（向量）设K是一个数域。

K中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量维向量；mmaaa,.,21mmaaa.21（miKi,.,2,1,）称为一个m维列向量维列向量；而）,.,（21maaa称为一个m维行向量维行向量。

我们用mK记集合,.,2,1,|）,.,（21miKaaaaim。

定义定义（mK中的加法和数量乘法）在mK中定义加法加法如下：

两个向量相加即相同位置处的数相加，即mmmmbabababbbaaa.22112121.在mK定义数量乘法数量乘法为用K中的数去乘向量的各个位置，即对于某个Kk，mmkakakaaaak.2121定义定义（维向量空间）集合mmK和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域K上的m维向量空间维向量空间。

命题命题（向量空间的性质）向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质（其中K表示数域，,表示mK中的向量）：

（1）加法结合律：

）（）（；

（2）加法结合律：

（3）向量（0,0,0）（记为0）具有性质：

对于任意，有00；（4））,（21maaa，令）,（21maaa，称其为的负向量负向量，它满足0）（）（；（5）对于数1，有1（6）对K内任意数k,l，有）（）（lkkl；（7）对K内任意数k,l，有lklk）（；（8）对K内任意数k，有kkk）（。

2.1.2线性组合和线性表出的定义线性组合和线性表出的定义定义定义（线性组合）设s,21mK，Kkkks,21，则称向量sskkk.2211为向量组s,21的一个线性组合线性组合。

定义定义（线性表示）设s,21，mK。

如果存在，使得Kkkks,21sskkk.2211，则称可被向量组s,.,21线性表示线性表示。

2.1.3向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述定义定义（线性相关与线性无关）设s,21mK。

如果存在不全为零的，使得Kkkks,210.2211sskkk，则称s,21线性相关线性相关，否则称为线性无关线性无关。

注意注意：

根据这个定义，s,210s线性无关可以表述如下：

若，使得Kkkks,21.2211skkk，则必有021skkk。

如果mnnnmmaaaaaaaaa211222122121111,，显然s,21线性相关当且仅当齐次线性方程组111122121122221122.0,.0,.0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax有非零解，s,21线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。

命题命题设，则下述两条等价：

mnK,211）n,21线性相关；2）某个i可被其余向量线性表示。

证明证明1）2）.由于n,21线性相关，故存在不全为零的n个数，使得Kkkkn,210.2211nnkkk。

不妨设某个。

于是，由向量空间的性质有0ikniniiiiiiiiikkkkkkkkkk）/（）/（）/（）/（）/（111122112）1）.如果某个i可被其余向量线性表示，即存在，使得Kkkkknii,111nniiiiikkkkk11112211.由向量空间的性质有0）1（11112211nniiiiikkkkk.于是n,21线性相关。

证毕。

推论推论设，则下述两条等价：

mnK,211）n,21线性无关；2）任一i不能被其余向量线性表示。

第一学期第五次课第一学期第五次课2.1.4向量组的线性等价和集合上的等价关系向量组的线性等价和集合上的等价关系定义定义（线性等价）给定mK内的两个向量组r,21，（*）s,21，（*）如果向量组（*）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（*）线性表示，则称向量组（*）和向量组（*）线性等价线性等价。

定义定义（集合上的等价关系）给定一个集合，上的一个二元关系“”称为一个等价关系等价关系，如果“”满足以下三条：

SS

（1）反身性：

；aaSa,

（2）对称性：

；abbaSba,则，如果（3）传递性：

。

cacbba则，若与等价的元素的全体成为所在的等价类等价类。

aa命题命题若与b在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。

进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。

a证明证明记所在的等价类为，的等价类为。

若它们的交集非空，则存在，于是有。

由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和b在不同的等价类矛盾。

这就证明了和所在的等价类交集是空集。

而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。

aaSbbbSbaSSccac，baaab综上可知，命题成立。

证毕。

命题命题给定mK内两个向量组r,21，

（1）s,21，

（2）且

（2）中每一个向量都能被向量组

（1）线性表示。

如果向量能被向量组

（2）线性表示，则也可以被向量组

（1）线性表示。

证明证明若向量组

（2）中的每一个向量都可以被向量组

（1）线性表示，则存在，使得Kkij）1,1（sjri1rjiikji（1,2,js）.（i）由于能被向量组

（2）线性表示，故存在Klj）1（sj，使得sjjjl1.将（i）代入，得111111（）srrsrsijiijiijijiijijkkk，即可被r,21线性表示。

由此易推知命题命题线性等价是mK的向量组集合上的等价关系。

2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩定义定义（向量组的极大线性无关组）设s,21为mK中的一个向量组，它的一部分组称为原向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组，若riii,21

（1）线性无关；riii,21

（2）s,21中的每一个向量都可被线性表出。

riii,21容易看出向量组s,21和线性等价。

riii,21引理引理给定mK上的向量组s,21和r,21，如果s,21可被r,21线性表出，且rs，则向量组s,2,1线性相关。

证明证明由于s,21可被r,21线性表出，故存在ijkK，使得11111221221122221122,.rrrrssssrkkkkkkkkkr（*）设11220ssxxx.（*）将（*）代入（*），得1122111（）（）（）sssiiiiiririiikxkxkx0.设各系数均为零，得到121110sssiiiiirriiikxkxkx，（*）（*）是一个含有r个未知量和个方程的其次线性方程组，而srs，故方程组（*）有非零解，于是存在不全为零的12,rxxxK，使得（*）成立。

由线性相关的定义即知向量组s,2112,线性相关。

定理定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。

证明证明设,n和12,msjmK中的线性等价的向量组。

设向量组和ri,jii,21j,1ri,jt,212jj,分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。

由于可将ii,21中的每一个向量线性表出，知sr（否则由引理知向量组线性相关，矛盾）。

同理rii,2i,1rs。

于是sr。

推论推论任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。

定义定义（向量组的秩）对于mK内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量的数量称为该向量组的秩秩。

第一学期第六次课第一学期第六次课第二章第二章2矩阵的秩矩阵的秩2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置定义定义2.1矩阵的行秩与列秩。

一个矩阵的行向量组的秩成为的行秩行秩，它的列向量组的秩称为的列秩列秩。

AAA命题命题2.1矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；证明证明只需证明行变换不该行秩。

容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。

证毕。

定义定义2.2矩阵的转置把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵转置矩阵。

AA命题命题2.2矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。

证明只需证明行变换不改变列秩。

列变换可用矩阵的转置证得。

假设的列向量为A12,nr，它的一个极大线性无关部分组为12,iii，而经过初等行变换之后的列向量为12,n,，只需证明12,ii,ir是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。

只需分别证明向量组12,iiir（*）线性无关和12,n0irirx中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。

构造方程1122,iixxii，由于12,iiir线性无关，线性方程组11iiikk22,iirirk0只有零解。

而方程1122,iiiiirixxx0r11iiikk是由22,iirirk0,0irirx经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以1122,iiiixx只有零解，于是12,iiir,线性无关。

对于的任意一个列向量A，都可被12,ii,ir线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，可以被（*）线性表出。

证毕。

推论推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵的秩记为r；A）（A证明设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，不妨考虑，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。

用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式0A*（0）0100*0*其中（*）代表一个矩阵。

若（*）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如1.10的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。

于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。

定义定义2.3一个矩阵的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作。

A（）rA2.2.2矩阵的相抵矩阵的相抵定义定义2.4给定数域上的矩阵和KAB，若经过初等变换能化为AB，则称矩阵和AB相抵相抵。

命题命题2.3相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。

证明逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。

2.2.3用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。

第一学期第七次课第一学期第七次课第二章第二章3线性方程组的理论课题线性方程组的理论课题3.1.1齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1111221121222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax令112111maaa，122222maaa12nnnmnaaa则上述方程组即为11220nnxxx（*）（其中0为零向量）。

将（*）的解视为维向量，则所有解向量构成中的一个向量组，记为。

nnKS命题命题中的元素（解向量）的线性组合仍属于S（仍是解）。

S证明证明只需要证明S关于加法与数乘封闭。

设，则12（,）nkkk12（,）nlllS11220nnkkk，11220nnlll，于是111222（）（）（）nnnklklkl0，故1122（,）nnklklklS；又因为kK，11220nnkkkkkk，所以12（,）nkkkkkkS。

证毕。

定义定义（线性方程组基础解系）齐次线性方程组（*）的一组解向量12,s如果满足如下条件：

（1）12,s线性无关；

（2）方程组（*）的任一解向量都可被12,s线性表出，那么，就称12,s是齐次线性方程组（*）的一个基础解系基础解系。

定理定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩；证明证明记线性方程组为11220nnxxx，其中112111maaa，122222maaa12.nnnmnaaa设12,n的秩为r，无妨设12,rn为其极大线性无关部分组，则12,rr,皆可被12,r线性表出，即存在，使得（1,1）ijkKinrjr11111221,rrkkkr22112222,rrkkkr,2211rrrnrnrnnkkk即112210,（1,2,iiirrrikkkin）r。

于是S中含有向量111121（,1,0,0）rkkk,221222（,0,1,0）rkkk,）1,0,0,（21rrnrnrnrnkkk.只需要证明12,nrnr是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。

易见，向量组12,线性无关。

只需要再证明12,nr能线性表出任意一个S即可。

为此，需要证明引理：

引理引理设12,t线性无关，可被12,t线性表出，则表示法唯一。

证明证明设11221122ttttkkklll，两式相减，得到111222（）（）（）tttklklkl0.由于12,t线性无关，故各）1（tii的系数皆为零，于是）（ilkii，即的表示法唯一。

引理证毕。

现在回到定理的证明。

设12（,）ncccS，则有112211220rrrrrrnncccccc.

（1）考虑1122rrnnrcccS，则形如，且有1212（,）rrrncccccc11221122rrrrrrnncccccc0.

（2）记1122（rrrrnnccc）12,r，则由引理，它可以被线性无关的向量组唯一地线性表示，于是由

（1）、

（2）两式可知1122;rrcccccc，于是121122（,）nrrnnccccccr。

这就证明了12,nr是解向量组的一个极大线性无关部分组。

再由矩阵的秩的定义可知命题成立。

证毕。

基础解系的求法基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的nr各自有未知量，就可以获得它的基础解系。

具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。

把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余nr个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。

nrnrnr例例求数域K上的齐次线性方程组12451234123451