小学五年级奥数第34讲 置换问题后附答案.docx

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小学五年级奥数第34讲置换问题后附答案

第34讲置换问题

一、专题简析：

置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。

解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应注意下面两点：

1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；

2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。

二、精讲精练

例120千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。

求苹果和梨的单价。

练习一

1、6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。

2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。

老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？

例2用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

练习二

1、学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。

已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？

2、快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。

已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。

例3一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。

那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？

练习三

1、王老师去买笔奖给三好学生。

他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。

如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？

2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。

现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？

例45辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。

这两种玩具的单价各是多少元？

练习四

1、2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。

两种笔的单价各是多少元？

2、师徒二人加工同样多的零件，师傅用了3小时，徒弟用了5小时。

已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。

二人各做了多少个零件？

例5一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。

那么，全做上衣能做多少件？

练习五

1、一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔子和15只同样大的鸡。

如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？

2、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。

结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？

三、课后作业

1、用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。

求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货？

2、师徒二人加工一批零件，师傅加工10小时，徒弟加工4小时，二人共加工了198个零件。

如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？

3、买2条床单和3条毛巾共用210元，买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。

买一条床单用多少钱？

买一条毛巾用多少钱？

4、汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时。

已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多少千米？

5、一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放5箱桔子。

这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？

第34周置换问题答案解析

专题简析：

置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。

解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应注意下面两点：

1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；

2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。

例120千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。

求苹果和梨的单价。

分析2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。

132÷（25＋30）=2.4元，即每千克梨2.4元。

知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。

苹果的单价是：

（132－2.4×30）÷20=3元。

练习一

1，6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。

答案

设鸡羊分别是x,y

则6x+8y=78

5x=2y

解方程组得x=3,y=7.5

所以鸡羊分别重3,7.5kg

2，商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。

老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？

答案

解:

每支圆珠笔的价格:

（元） 

每支钢笔的价格:

（元） 

答:

每支钢笔15元,每支圆珠笔2元.

解析

首先根据2支钢笔和15支圆珠笔的价钱一样多,可得4支钢笔和30支圆珠笔的价钱一样多,所以

（支）圆珠笔的价格是72元;然后根据单价=总价

数量,用72除以36,求出每支圆珠笔的价格,进而求出每支钢笔的价格是多少即可.

3，用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。

求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货？

答案

两辆大汽车=三辆小汽车

所以一辆大汽车=1.5辆小汽车

五辆大汽车

辆小汽车

每辆小汽车的载重为

吨

每辆大汽车的载重为

吨

每辆大汽车比每辆小汽车多装2吨货

例2用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

分析因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。

因此，312立方米的水就相当于小水泵（6＋20）小时的抽水量了。

小水泵每小时抽水是312÷（6＋20）=12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。

练习二

1，学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。

已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？

答案

解:

因为6张桌子+6把椅子

元,

所以3张桌子+3把椅子

元,,

又因为3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,

所以8把椅子的价钱

元,

所以1把椅子

元,

1张桌子的价钱:

（元）.

答:

桌子和每把椅子各是20元、12元.

解析

根据题意6张桌子和6把椅子共用去192元得出,3张桌子和3把椅子共用去96元,又因为3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,把3张桌子的价钱换成5把椅子,得出5把椅子和3把椅子共用去96元,得出1把椅子的价钱,然后求出1张桌子的价钱.

此题考查简单的等量代换,解决此题的关键是有6张桌子和6把椅子共用去192元得出,3张桌子和3把椅子共用去96元,把3张桌子的价钱换算成5把椅子的价钱.

2，快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。

已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。

解：

设设慢车速度为4x，快车速度为5x .

5x×12+4x×7=1408

                      88x=1408

                           x=16

4x=64，5x=80

答：

快车的速度是每小时行80千米，慢车的速度是每小时行64千米.

故答案为：

80；64

本题考查相遇问题基本的数量关系以及按比例分配的运用.根据已知条件得出快慢车的速度比，然后设未知数列方程解答.这里相等的数量关系是快慢车的路程和等于总路程.

解析

从题中可知快车与慢车的速度比是5：

4，可以设慢车速度为4x，快车速度为5x，根据题意列方程解答.

3，师徒二人加工一批零件，师傅加工10小时，徒弟加工4小时，二人共加工了198个零件。

如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？

答案

解：

设师傅每小时的工作量为x，则徒弟每小时的工作量是  4/5 x.所以4x＋10×  4/5 x＝180，解得x＝15，  4/5 x＝12，15＋12＝27，所以两人每小时一共加工零件27个.

本题关键是找出师傅与徒弟每小时工作量的数量关系.

解析

师傅和徒弟每小时的工作量都是未知数，师傅4个小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等，所以徒弟的工作量是师傅的  4/5 .根据已知条件列方程.

例3一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。

那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？

分析把题中两组已知条件进行对比，甲少做（5－3）小时，乙就要多做（9－3）小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。

这件工作全部由甲做需要用5＋3÷3=6小时，现在甲先做1小时，剩下5小时的工作量由乙来做，乙必须用5×3=15小时才能完成。

练习三

1，王老师去买笔奖给三好学生。

他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。

如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？

解：

王老师买带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔

所以4支圆珠笔和5支钢笔的价钱与3支钢笔和10支圆珠笔相等

得到2支钢笔与6支圆珠笔的价格相等

所以1支钢笔价钱3支圆珠笔的价钱相等

4支钢笔的价钱可以买12支圆珠笔

若王老师买1支钢笔，它还可以买（12+4）支圆珠笔

王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买16支圆珠笔

答：

剩下的钱可以买16支圆珠笔.

故答案为：

16支

本题考查我们同学关于加减乘除的简单运算，本题中，要求出答案，必须计算出1支钢笔的价钱与多少支圆珠笔的价钱相当，做题要细心，看清楚本题描述的钢笔与圆珠笔的个数.

解析

王老师买带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔，所以4支圆珠笔和5支钢笔的价钱与3支钢笔和10支圆珠笔相等，求出1支钢笔与几支圆珠笔的价格相等.

2，一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。

现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？

答案

设卡车载重量为y,大米重a,面粉重b

右边的等式得

代入上式

现有20袋大米,即20a设还需要x袋面粉,

3，买2条床单和3条毛巾共用210元，买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。

买一条床单用多少钱？

买一条毛巾用多少钱？

答案

解：

一条毛巾和一条床单的价钱

（210+280）÷5

=490÷5

=98（元）

一条毛巾的价钱

210-98×2

=210- 196

=14（元）

一条床单的价钱

280-98×2

=280-196

 =84（元）

答：

买一条床单用84元，买一条毛巾用14元.

解析

根据题意可知，5条床单和5条毛巾共490元，则1条床单和1条毛巾为490÷5=98元，2条床单和2条毛巾为98×2=196（元），所以一条毛巾的价等于2条床单和3条毛巾的价钱210元减去196元.同理求得床单价钱即280-98×2=84（元）.

此题主要考查了物品单价问题，解答此题的关键是求出一条毛巾和一条床单的价钱，再用给出的已知条件分别求出每条毛巾的价钱和每条床单的价钱.

例45辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。

这两种玩具的单价各是多少元？

分析因为每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元，所以，3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3=24元。

由于5辆玩具汽车与3架玩具飞机的价钱相等，因此，这24相当于（5－3）辆玩具汽车的价钱，每辆玩具汽车是24÷2=12元，每架玩具飞机的价钱就是12＋8=20元。

练习四

1，2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。

两种笔的单价各是多少元？

答案

解：

设钢笔的单价是χ，那么圆珠笔的单价是（χ－6）元，依题意可列方程：

χ－6=18－6=12（元）.

答：

钢笔的单价是18元，圆珠笔的单价是12元.

故答案为：

18元；12元.

列方程解决求两个未知数的应用题时，一般的我们设一个未知数为 χ，根据两者之间的关系，用含 χ的式子表示另一个未知数，然后根据等量关系列方程求解.

解析

根据2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，可以找出题中的等量关系，即：

钢笔的单价×2=圆珠笔的单价×3.假设钢笔的单价是χ，那么圆珠笔的单价是（χ－6）元，列方程求解.

2，师徒二人加工同样多的零件，师傅用了3小时，徒弟用了5小时。

已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。

二人各做了多少个零件？

答案

解：

3×6÷（5－3）＝9（个）

9＋6＝15（个）

徒弟9个，师傅15个

解析

先算出师傅3小时比徒弟3小时多做多少个，即为徒弟2小时做的数量.

寻找置换中等量关系.

3，汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时。

已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多少千米？

答案

设甲乙两地相距X千米

∵这辆汽车去时比返回时每小时快12千米

答:

甲乙两地相距144千米

例5一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。

那么，全做上衣能做多少件？

分析把两组条件进行比较，做（18－14）件上衣的布料可以做（15－9）条裤子，也就是2件上衣的布料和3条裤子的布料同样多。

9条裤子的布料可以做9÷3×2=6件上衣，所以，一共能做18＋6=24件上衣。

练习五

1，一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。

如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？

答案

（18+9+14+15）/2=16兔+12鸡18兔+9鸡=16兔+12鸡2兔=3鸡9鸡=6兔18+6=24

2，小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。

结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？

答案

解:

（支） 

答:

结果他用这些钱全部买了笔,他能买9支. 

因此，本题正确答案是:

9.

解析

所带的钱能买8支笔和4块橡皮,或买6支笔和12块橡皮,由此可以知道:

买

支笔的钱可以买

块橡皮,由此可以得出买1支笔的钱可以买4块橡皮,然后根据“所带的钱能买8支笔和4块橡皮”即可得出:

所带的钱全部买了笔,他能买

支;由此即可得出答案.

3,一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放5箱桔子。

这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？

答案

倍

4倍

箱橘子

箱橘子

总共能装：

箱橘子

倍

5倍

箱苹果

箱苹果

箱苹果

多装

箱