小学五年级奥数思维训练全集.docx

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小学五年级奥数思维训练全集

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第一周平均数

（一）

专题简析：

把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数.

　平均数=总数量÷总份数

总数量＝平均数×总份数

　总份数=总数量×平均数

例１:

有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱3６个，苹果和桃平均每箱37个。

一箱苹果多少个？

分析：

①：

１箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×３=１36（个）；

②：

１箱桃+1箱梨+1箱橘子=3６×３=１０８（个）

③：

1箱苹果+1箱桃=３７×2=7４（个）

由①、②可知:

1箱苹果比1箱桃多１26－1０８=1８（个）,再根据等式③，用和差关系求出：

1箱桃有（74-18）÷２=２8（个），１箱苹果有28＋１8=4６（个）.

试一试１:

甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重1２０千克,甲、丙、丁三人共重126千克,丙、丁二人的平均体重是40千克。

求四人的平均体重是多少千克？

例2:

某3个数的平均数是2,如果把其中一个数改为4,平均数就变成了3.被改的数原来是多少?

分析:

原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是３×3=9，9比6多出了3,是因为把那个数改成了４。

因此，原来的数应该是４－3=1。

试一试2：

有五个数，平均数是９。

如果把其中的一个数改为１，那么这五个数的平均数为8.这个改动的数原来是多少？

例3：

五一班同学数学考试平均成绩９1。

5分,事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。

经重新计算,全班的平均成绩是9１。

7分，五一班有多少名同学?

分析:

98分比89分多９分。

多算９分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91．５=0.2（分）。

9里面包含有几个０．２,五一班就有几名同学。

试一试3:

某班的一次测验，平均成绩是９1.３分。

复查时发现把张静的８9分误看作97分计算,经重新计算,该班平均成绩是91.１分。

全班有多少同学？

专题二　　平均数

（二）

专题简析：

平均数=总数量÷总份数　

总数量=平均数×总份数

总份数＝总数量×平均数

例１：

小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这次要考1０0分,才能把平均成绩提高到86分。

问这是他第几次测验?

分析：

每次应多考:

86-84=2（分）。

100分比８6分多14分,１4里面有7个2分,所以,前面已经测验了7次，这是第8次测验.

试一试1:

一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是9４分，如果数学算在内，平均每门95分。

已知他数学得了１00分,问这位同学一共考了多少门功课？

例2:

小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均91．5分，政治、英语两科平均8６分，语文、英语两科平均分8４分，英语比语文多10分。

小亮的各科成绩是多少分?

分析：

因为语文、英语两科平均分84分,即语文＋英语=168分，而英语比语文多１0分,即英语－语文＝10分,所以,语文:

（１6８—10）÷２＝7９分，英语是７９＋１０＝８9分。

又因为政治、英语两科平均86分,所以政治是８6×2－89=８3分；而政治、数学两科平均分91.５分，数学:

91.５×2—８3＝1０0分;最后根据五科的平均成绩是8９分可知，

自然:

89×5-（７9+８９+83+１０0）＝９4分。

试一试2：

甲、乙、丙三个数的平均数是8２，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是７7。

乙数是多少？

甲、丙两个数的平均数是多少？

例３：

两地相距３6０千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时,已知这条河的水流速度为每小时6千米。

往返两地的平均速度是每小时多少千米?

分析：

用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度.顺水速度=360÷10=3６（千米）是,顺水速度=汽艇的静水速度与水流速度的和，所以,静水速度是36－6=30（千米）。

而逆水速度=静水速度－水流速度,所以汽艇的逆水速度是3０-６＝24（千米）。

逆水行全程时所用时间是36０÷2４＝15（小时）,往返的平均速度是３60×2÷（１0＋15）＝２8.8（千米）.

试一试3：

一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米.已知客轮的静水速度是每小时3０千米，水速每小时3千米。

现在正好是顺流而行,行全程需要几小时？

例4：

幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分1０块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块.求一共分掉多少块饼干?

分析：

只要知道了大、小班小朋友分得的平均数,再乘（30+20）人就能求出饼干的总块数。

因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块,30个小朋友一共多2×３0=６0（块）,这6０块平均分给20个小班的小朋友,每人可得６0÷20=3（块）.因此，大、小班小朋友分得平均块数是１0+3=13（块）。

一共分掉1３×（3０＋2０）＝65０（块）.

试一试4：

两组同学跳绳，第一组有25人,平均每人跳8０下；第二组有2０人,平均每人比两组同学跳的平均数多5下,两组同学平均每人跳几下?

例5：

王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半,每小时行1２kｍ。

剩下的步行，每小时走4km。

王强行完全程的平均速度是每小时多少km?

分析：

求行完全程的平均速度,应该用全程除以行全程所用的时间。

由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24kｍ（也可以设其他数），这样,就可以算出行全程所用的时间是12÷12+１2÷4＝4（小时），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6kｍ。

试一试5:

运动员进行长跑训练,他在前一半路程中每分钟跑1５0米,后一半路程中每分钟跑1００米。

求他在整个长跑中的平均速度。

第３讲长方形、正方形的周长

专题简析:

长方形的周长＝（长+宽）×２,正方形的周长=边长×4。

表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，需灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形,以便计算它们的周长.

例1:

有５张同样大小的纸如下图（a）重叠着,每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半,求重叠后图形的周长。

分析：

根据题意,我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图ｂ），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等.因此，所求周长是１８×4=７２厘米。

试一试1：

下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长.

例２：

一块长方形木板,沿着它的长度不同的两条边各截去４厘米,截掉的面积为1９２平方厘米。

现在这块木板的周长是多少厘米?

分析：

　把截掉的192平方厘米分成A、B、Ｃ三块（如图），其中AB的面积是19２-４×4＝１76（平方厘米）。

把A和B移到一起拼成一个宽４厘米的长方形,而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。

176÷４＝44（厘米）,现在这块木板的周长是4４×２=８8（厘米）.

试一试2:

有一个长方形,如果长减少4米,宽减少２米，面积就比原来减少44平方米,且剩下部分正好是一个正方形。

求这个正方形的周长.

例３已知下图中，甲是正方形,乙是长方形，整个图形的周长是多少?

分析：

从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。

三条横着的线段和是（a+b）×2，三条竖着的线段和是b×２。

所以，整个图形的周长是（a＋b）×２＋b×2，即2a+4b。

试一试3：

有一张长４0厘米,宽3０厘米的硬纸板,在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒,求被剪后硬纸板的周长。

例4：

如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米,AB=９厘米，求最大的长方形的周长。

分析：

根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。

因为BC＝ＥF,ＣF=DE，所以，AＢ＋BC＋CF＝AB+FE+ＥＤ＝9＋6=1５（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。

因此，最大长方形的周长是（９＋6）×2=3０（厘米）。

试一试5：

下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等,求原来正方形的周长发生了什么变化？

（单位:

厘米）

专题４　长方形、正方形的面积

专题简析：

长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

当已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目时。

要利用“割补”、“平移"、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答.

例１:

已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大4０平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米?

分析:

从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米,可以分成三部分,其中A和B的面积相等.因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积,再除以２就能得到长方形Ａ和Ｂ的面积,再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长.求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了.

试一试1：

有一块长方形草地，长20米，宽１5米。

在它的四周向外筑一条宽2米的小路,求小路的面积.

例2:

一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求,求第四个长方形的面积。

分析:

因为ＡE×CＥ=6，DE×EＢ=３5，把两个式子相乘AＥ×CE×DE×EB=35×6，而CE×ＥＢ=14,

所以AＥ×DＥ=35×6÷14=1５。

试一试2：

下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、3０平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。

例3：

把２0分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米?

分析：

我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。

两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图.如果把B移到原来小正方形的上面,不难看出,A和Ｂ正好组成一个长方形，此长方形的面积是4０平方分米，长20分米，宽是40÷20=２（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。

因此，大正方形的边长就是（20+2）÷２=１1（分米），面积是1１×1１=12１（平方分米）

试一试３:

有一个正方形草坪,沿草坪四周向外修建一米宽的小路,路面面积是80平方米。

求草坪的面积。

例4：

有一个正方形AＢCＤ如下图,请把这个正方形的面积扩大1倍,并画出来.

分析：

由于不知道正方形的边长和面积,所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。

我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析.以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形,如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍.

试一试4：

四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形,如果大、小正方形的面积分别是4９m2和４ｍ２，求其中一个长方形的宽。

例5：

　　有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的.一个正方形的面积是多少平方厘米？

分析:

三个同样大小的正方形拼成的长方形,它的周长是原正方形边长的8倍,正方形的边长为７2÷８=９（厘米），一个正方形的面积就是９×9＝8１（平方厘米）。

试一试5:

五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？

专题五　尾数和余数

专题简析：

自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

例题1：

写出除213后余３的全部两位数。

分析：

因为213=210+３，把2１0分解质因数：

2１0=２×3×５×7,所以，符号题目要求的两位数有2×5=1０,2×7=１4，3×５=15，3×7＝21，５×7=35，２×3×5=30,2×3×7＝４2,一共有7个两位数:

10、14、15、21、35、3０、42。

试一试1:

1７8除以一个两位数后余数是3,适合条件的两位数有哪些？

例题2：

（1）１２5×12５×１25×……×１2５［1０0个25]积的尾数是几?

（2）（21×２６）×（２1×２６）×……×（２1×26）[１00个（21×26）]积的尾数是几？

分析：

（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘，个位还是5；

（２）每个括号里21乘２6积的个位是6。

因为个位６乘６,积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×２6）连乘,积的个位还是6。

试一试2：

①1.5×1．5×1．5×……×１.５[2０0个１．5]积的尾数是几?

②（12×6３）×（１2×6３）×（１2×63）×……×（12×６３）［10００个（１2×63）]积的尾数是几？

例题3：

9×９×9×…×9［５1个9]积的个位数是几？

分析:

我们在计算乘法时会发现：

对“积的个位"有影响的是“因数中的个位”，只要找到“个位乘个位时积的变化规律”就可以了。

因数中个位的数量积的个位

１个9　　　　9

　　　2个9　　　1

3个９　　　9

积的尾数以“9、1"两个数字在不断重复出现。

51÷２=25……1，余数是1,说明51个9本乘积的个位是9.

试一试3：

（1）24×24×24×…×24[２０01个２4］，积的尾数是多少？

（2）1×２×3×…×98×９9，积的尾数是多少?

（提示：

任何数和0相乘积都是0）

例题4:

　把１／7化成小数,那么小数点后面第１00位上的数字是多少?

分析:

因为1／7≈0。

1428５714２８５7……,化成的小数是一个无限循环小数,循环节“１4285７”共有6个数字。

由于１0０÷6=１6……4，所以,小数点后面的第１00位是第１７个循环节的第4个数字,是8。

试一试4:

把1/１1化成小数，求小数点后面第20０1位上的数字.

专题六一般应用题

（一）

专题简析：

在分析应用题的数量关系时:

（1）可以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）；

（2）可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。

实际解时，根据题中的已知条件,灵活运用这两种方法。

例1：

某车间按计划每天应加工50个零件,实际每天加工5６个零件。

这样，不仅提前３天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了１20个零件。

这个车间实际加工了多少个零件？

分析：

如果按原计划的天数加工,加工的零件就会比原计划多5６×3＋12０=288（个）.为什么会多加工288个呢？

是因为每天多加工了56—50=6（个）。

因此，原计划加工的天数是2８8÷6=４8（天）,实际加工了5０×48＋12０＝１520（个）零件.

试一试1：

小明骑车上学，原计划每分钟行2０0米，正好准时到达学校，有一天因下雨,他每分钟只能行120米,结果迟到了5分钟.他家离学校有多远？

例2:

甲、乙二人加工零件。

甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了1５天没有加工。

4０天后,乙所加工的零件个数正好是甲的一半。

这时两人各加工了多少个零件？

分析:

甲工作了40天，而乙停止了1５天没有加工,乙只加工了2５天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同样多。

由于甲每天比乙多加工6个，20天一共多加工6×20=１20（个）.这120个零件相当于乙２5—20＝5（天）加工的个数，乙每天加工１２0÷（２５－20）=24（个）。

乙一共加工了24×25＝６０0（个），甲一共加工了60０×2＝1２00（个）

试一试2：

甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。

途中乙因事休息了5天,20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个?

例3：

服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务.实际每天比计划多加工60件，照这样做了15天，就超过原计划件数３50件。

原计划加工上衣多少件？

分析：

由于每天比计划多加工6０件，1５天就比原计划的１5天多加工６０×１5=9０0（件），这时已超过计划件数３５0件，９０0件中去掉这3５０件，剩下的件数就是原计划（20-15）天中的工作量。

所以,原计划每天加工上衣（９00－３50）÷（20—15）=１10（件），原计划加工110×２０=2200（件）。

试一试3:

汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。

实际每小时比原计划多行1５千米，行了8小时后，发现已超过乙20千米。

甲、乙两地相距多少千米？

例4:

王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做２０个，结果提前5在完成任务。

王师傅一共做了多少个零件？

分析：

按实际做法再做5天,就会超产（60+20）×5=400（个）.为什么会超产４00个呢？

是因为每天多生产了20个，400里面有几个2０，就是原计划生产几天.400÷２０＝20（天）,因此，王师傅一共做了60×20=1200（个）零件。

试一试4：

造纸厂生产一批纸，计划每天生产１３。

５吨,实际每天比原计划多生产1．5吨，结果提前2.5天完成了任务。

实际用了多少天？

主题七一般应用题

（二）

专题简析：

较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是,再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。

因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。

例1：

工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根,用短管子铺需要3５根.已知这两种管子的长相差2米,这段排水管道长多少米?

分析：

因为每根长管子比每根短管子长2米,25根长管子就比25根短管子长50米。

而这50米就相当于（３５—2５）根短管子的长度。

因此，每根短管子的长度就是50÷（35—25）=5（米）,这段排水管道的长度应是5×35=175（米）.

试一试１：

一班的小朋友在操场上做游戏,每组６人.玩了一会儿,他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组９人,这样比原来减少了２组.参加游戏的小朋友一共有多少人?

例2：

甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿２4千克。

结帐时，甲和乙都要付给丙2４元,每千克苹果多少元？

分析：

三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果.24×2÷3=1６（千克）,也就是丙少拿16千克苹果，所以得到24×2=４８元。

每千克苹果是48÷16=3（元）.

试一试2：

春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各２。

２元钱。

每个面包多少元？

例3：

甲城有1７7吨货物要跑一趟运到乙城。

大卡车的载重量是５吨，小卡车的载重量是２吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和５升。

用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？

分析：

大汽车一次运５吨,耗油１０升，平均运1吨货耗油１0÷5＝2（升）;小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷２＝2。

5（升）。

显然,为耗油量最少应该尽可能用大卡车。

１77÷5=35（辆）……2吨，余下的２吨正好用小卡车运。

因此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。

试一试3:

用１元钱买4分、8分、1角的邮票共１５张,那么最多可以买1角的邮票多少张？

例4：

有一栋居民楼，每家都订２份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份,江海晚报30份,电视报22份。

那么订江海晚报和电视报的共有多少家？

分析：

这栋楼共订报纸３４+30＋２2=８６（份），因为每家都订2份不同的报纸，所以一共有8６÷2=43家。

在这43家居民中，有３４家订了北京日报,剩下的9家居民一定是订了江海晚报和电视报.

试一试4：

五

（1）班全体同学每人带２个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果,其中苹果4０个，梨32个,桔子26个。

那么，带梨和桔子的有多少个同学？

例5:

一艘轮船发生漏水事故,立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水８00桶。

一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水１４桶,50分钟把水抽完.每分钟进水多少桶?

分析：

50分钟内，两台抽水机一共能抽水（18＋14）×50=16０0（桶）。

1600桶水中,有８０0桶是开始抽之前就漏进的,另800桶是50分钟又漏进的,因此,每分钟漏进水800÷５0=1６（桶）。

试一试5：

一个水池能装8吨水,水池里装有一个进水管和一个出水管。

两管齐开，20分钟能把一池水放完.已知进水管每分钟往池里进水０.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？

专题八　一般应用题（三）

专题简析:

解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行:

1,弄清题意，找出已知条件和所求问题；

2,分析已知条件和所求问题之间的关系,找出解题的途径；3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；

4，检验解答方法是否合理,结果是否正确,最后写出答案。

例1：

甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。

由于改进技术，甲每天多生产1０0个，乙的日产量提高了１倍,这样二人一天共生产1020个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件？

分析：

二人实际每天比原计划多生产102０－700=3２０（个）。

这3２0个零件中，有１00个是甲多生产的，那么3２0—１0０=220（个）就是乙日产量的1倍,即乙原来的日产量,甲原来每天生产７00—２20=４80（个）。

试一试1:

甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产8０个。

由于更换了机器,甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍,这样二人一天共生产零件３００个。

甲、乙原计划每天各生产多少个零件?

例2：

把一根竹竿插入水底,竹竿湿了40厘米,然后将竹竿倒转过来插入水底,这时，竹竿湿的部分比它的一半长１３厘米.求竹竿的长.

分析：

因为竹竿先插了一次，湿了４0厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米,所以湿了的部分是４0×2=80（厘米）。

这时，湿的部分比它的一半长13厘米,说明竹竿的长度是（80—１3）×2=１34（厘米）。

试一试2：

有一根铁丝,截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米,宽6厘米的长方形框架。

这根铁丝原来长多少厘米？

例3:

将一根电线截成15段。

一部分每段长8米，另一部分每段长5米。

长８米的总长度比长５米的总长度多3米。

这根铁丝全长多少米？

分析：

设这１5段中有X段是8米长的,则有（15－X）段是5米长的.然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米"列出方程,并进行解答。

试一试３：

食堂里买来１5袋大米和面粉,每袋大米2５千克,每袋面粉1０千克.已知买回的大米比面粉多１65千克，求买回大米、面粉各多少千克?

例4:

甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。

又同时加工4小时后,甲总共加工的零件反而比乙多4200个。

甲、乙每小时各加工零件多少个?

分析：

（１）在后４小时内，甲一共比乙多加工了4200+４00=46０0（个）零件,甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。

（2）在前４小时内，甲实际只加工了４－２.５=1.５小时，甲１。

5小时比乙1．5小时应多做１１50×1.5＝1725个零件，因此,1725+4０0=2125个零件就是乙２.5小时的工作量，即乙每小时加工２125÷２.5=85０个，甲每小时加工850＋1150=2０００个.

试一试4：

师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现自己比徒弟少做２0个零件。

二人又生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个.师傅每小时生产多少个零件?

例5：

加工一批零件，单给甲加工需1０小时，单给乙加工需8小时.已知甲每小时比乙少做3个零件,