黄克智版张量分析第一章习题解析.ppt
《黄克智版张量分析第一章习题解析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄克智版张量分析第一章习题解析.ppt（51页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
1.1求证：
u（vw）=（uw）v（uv）w并问：
u（vw）与（uv）w是否相等？
u，v，w为矢量。
证明：
1.2求证：
（AB）（CD）=B（ACD）A（BCD）=C（ABD）D（ABC）,证明：
1.3求证矢量的非退化性。
即：
若矢量v与它所属的矢量空间中的任意矢量u都正交，即：
uv=0，则矢量v=0。
证明：
因为u为任意，所以可取u1，u2，u3，使得,由uv=0得,因为detU0，所以vx=vy=vz=0是唯一零解，即：
v=0。
1.4已知：
矢量u，v，求证：
证明：
1.5求证：
a，b线性相关。
证明：
即,或,故,即，a，b线性相关。
1.6求证：
a，b，c线性相关。
证明：
即,或a，b，c共面。
三维空间中共面的三矢量线性相关。
1.7已知：
矢量b=2i+j-2k，c=i+2j+3k，i，j，k为笛卡儿基；若将c分解为与b平行的矢量及垂直于b的矢量a之和，即c=a+mb。
求a；m（其中ba=0）,解：
1.8利用证明gij是对称正定的。
证明：
即gij是对称正定的。
1.9求证：
对于一组非共面的gi，存在唯一的gj，gj也是非共面的。
证明：
参见：
1.2.2.4由协变基矢量求逆变基矢量式（1.2.17）及式（1.2.25）。
1.10已知：
以i，j，k表示三维空间中笛卡坐标基矢量，,
（1）按公式（1.2.17），求g1，g2，g3以i，j，k表示的式子；
（2）求grs。
解：
1.11根据上题结果验算公式：
gj=gjigi,解：
1.12已知：
u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上题。
运用1.11题求得的grs计算：
（1）uv；
（2）u，v的协变分量。
解：
1.13已知:
（1）圆柱坐标系如图（a），r=x1，=x2，z=x3。
（2）球坐标系如图（b），r=x1，=x2，=x3。
求：
两种坐标系中：
（1）gi通过笛卡儿基i，j，k的表达式，画出简图。
（2）求gi，说明gi和gi的大小与方向有何关系。
（3）由gi求gij，gij，。
解：
（1）,圆柱坐标系：
球坐标系：
（2）,圆柱坐标系：
球坐标系：
（3）,圆柱坐标系：
球坐标系：
1.14斜圆锥面上坐标系x1=，x2=z，R，H，C为已知（如图）。
求：
g，g，g（，=1，2）。
解：
动点所在圆周的半径为,圆心至z轴的距离,在xy平面上，该圆以为参数的方程为,于是，动点的矢径为,1.15二维空间为半径为R的半球面，如图，x1=，x2=。
用两种方法求g，g，g，g（，=1，2）。
解：
1.16已知：
圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量vi。
利用题1.13结果分别求两个坐标系中的协变分量vi。
解：
（1）圆柱坐标系,
（2）球坐标系,1.17求：
题1.13所示圆柱坐标和球坐标xi，与笛卡儿坐标xj的转换系数,解：
圆柱坐标系：
球坐标系：
1.18
（1）已知:
笛卡儿坐标系中v的分量为v1，v2，v3；求：
圆柱坐标中v的分量v1，v2，v3。
（2）已知:
笛卡儿坐标系中v的分量为v1，v2，v3；求：
球坐标中v的分量v1，v2，v3。
解：
（1）,
（2）,1.19试求线元dxk的长度dsk。
解：
1.20试求线元dxk与dxl的夹角kl。
解：
1.27设一动点轨迹为xi（t）（t0，标量），定义,求证：
vi为矢量分量。
1.28由应变ij的定义出发，求证：
ij是对称二阶张量的分量。
式中dxi是介质的拉格朗日坐标的微分。
1.38在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为,
（1）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。
（2）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。
（3）写出任意坐标系中的协变分量Dijkl用E，及度量张量分量表达的形式，以及D的并矢表达式。
解:
（1）,
（2）,（3）,1.39已知：
矩阵A，B，C=AB，a=detA，b=detB，c=detC。
求：
利用置换符号证明：
c=ab。
证明：
或,证明：
1.41质量为m，绕定点O以角速度转动的质点（如图），其动量矩矢量的定义为L=mrv，其中，r为定点O至质点的矢径，v为质点的线速度。
求证：
L=I，式中I为惯性矩张量，I=m（rr）Grr,证明：
1.42求图1.11所示球坐标系中的面元矢量da1，da2，da3。
解：
升级会员 