第四章平面一般力系.ppt

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力的平移定理平面一般力系向作用面内任意点的简化平面一般力系平衡条件及其应用习题课第四章第四章平面一般力系：

各力的作用线在同一平面内平面一般力系：

各力的作用线在同一平面内平面一般力系：

各力的作用线在同一平面内平面一般力系：

各力的作用线在同一平面内，既不完全汇交为一点又不完全相互平行的，既不完全汇交为一点又不完全相互平行的，既不完全汇交为一点又不完全相互平行的，既不完全汇交为一点又不完全相互平行的力系力系力系力系。

例例例例第四章第四章当物体所受的力对称于某一平面时当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面一般力，也可简化为在对称平面内的平面一般力系。

系。

力系的简化力系的简化力系的简化力系的简化：

把未知力系（平面一般力系）：

把未知力系（平面一般力系）：

把未知力系（平面一般力系）：

把未知力系（平面一般力系）变成已知力系（平面汇交力系变成已知力系（平面汇交力系变成已知力系（平面汇交力系变成已知力系（平面汇交力系和和和和平面力偶系）平面力偶系）平面力偶系）平面力偶系）第四章第四章力的平移定理：

力的平移定理：

力的平移定理：

力的平移定理：

可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点AA的力的力的力的力FF平平平平行移到任一点行移到任一点行移到任一点行移到任一点BB,但必须同时附加一个力偶。

但必须同时附加一个力偶。

但必须同时附加一个力偶。

但必须同时附加一个力偶。

这个力偶的矩等于原来的力这个力偶的矩等于原来的力这个力偶的矩等于原来的力这个力偶的矩等于原来的力FF对新作用点对新作用点对新作用点对新作用点BB的矩。

的矩。

的矩。

的矩。

须注意：

须注意：

11、平移点可以任选；、平移点可以任选；22、附加力偶矩与平移点的位置有关。

、附加力偶矩与平移点的位置有关。

4-1力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理第四章第四章=FAOO（）MFFd=vvO（）MFFd=vvAOFF=FFFF=AOdFM=MO（F）证明证明：

4-1力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理FFF=-=-=vvvvvvO（）MFFd=vv4-1力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理力线平移定理揭示了力与力偶的关系：

力线平移定理揭示了力与力偶的关系：

力线平移定理揭示了力与力偶的关系：

力线平移定理揭示了力与力偶的关系：

力力力力力力力力+力偶力偶力偶力偶说明：

说明：

说明：

说明：

力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶mm，且且且且mm与与与与dd有关有关有关有关，m=Fdm=Fd力线平移定理是力系简化的理论基础。

力线平移定理是力系简化的理论基础。

力线平移定理是力系简化的理论基础。

力线平移定理是力系简化的理论基础。

第四章第四章汇交力系力，R（主矢主矢），（作用在简化中心）力偶系力偶，MO（主矩主矩），（作用在该平面上）一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）向一点简化向一点简化汇交力系汇交力系+力偶系力偶系（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）一、力系向一点简化一、力系向一点简化一、力系向一点简化一、力系向一点简化4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化二、主矢和主矩二、主矢和主矩二、主矢和主矩二、主矢和主矩1、主矢主矢原力系的主矢量原力系的主矢量（R）即：

平面任意力系的主矢即：

平面任意力系的主矢R为原力系的矢量和为原力系的矢量和大小大小：

方向方向：

与“与“O”无无关关4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化12niRFFFF=+=+=LL22（）（）RXY=tanYXaa=二、二、二、二、主矢和主矩主矢和主矩主矢和主矩主矢和主矩2、主矩主矩附加力偶系的合力偶矩附加力偶系的合力偶矩（MO）即：

平面任意力系的主矩即：

平面任意力系的主矩MO为力系中各个力对为力系中各个力对点“点“O”力矩的代数和。

力矩的代数和。

很明显，一旦“很明显，一旦“O”的位置改变，各力偶的位置改变，各力偶矩的大小和转向也随之而变，因此，矩的大小和转向也随之而变，因此，MO与“与“O”有关。

有关。

OO1O2OnO（）（）（）（）iMMFMFMFMF=+=+=LL4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化大小：

大小：

主矩主矩MO方向：

方向规定方向：

方向规定+简化中心：

简化中心：

（与简化中心有关与简化中心有关）OO（）iMmF=rr主矢和合力是两个不同的概念主矢和合力是两个不同的概念合力是作用在同一点上的各力的矢量和，主矢可以是作用点不同的各力之矢量和。

主矢只有大小和方向，没有作用点。

二、二、二、二、主矢和主矩主矢和主矩主矢和主矩主矢和主矩4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化结论结论11平面一般力系的简化原理和方法平面一般力系的简化原理和方法：

平平平平面面面面任任任任意意意意力力力力系系系系平面平面汇交汇交力系力系平面平面力偶力偶系系R（过过“O”但与但与“O”无无关）关）MO（与与“O”有有关）关）主矢+主矩描述力系描述力系对物体移对物体移动效果的动效果的物理量物理量描述力系对物描述力系对物体转动效果的体转动效果的物理量物理量力线平移力线平移向向“OO”简简化化4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化固定端约束力固定端约束力固定端约束力固定端约束力固定端约束固定端约束物体受约束的一端既不能沿物体受约束的一端既不能沿任何方向移动，也不能转动。

如深埋在地底下任何方向移动，也不能转动。

如深埋在地底下的电线杆、牢固浇筑在基础上的水泥柱及车站的电线杆、牢固浇筑在基础上的水泥柱及车站的雨棚等。

的雨棚等。

4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化AYAXAMA雨棚雨棚雨棚雨棚RAMA4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化O0,0RM=O0,0RM=1.OMO即原力系与一合力偶即原力系与一合力偶等效等效,其其矩为矩为M=MO。

故只有在此时主矩与故只有在此时主矩与“O”的位置的位置无关无关。

OR2.O0,0RMO0,0RM即原力系与即原力系与R等效等效，所以称所以称R为为原力系的合力，且过点原力系的合力，且过点“O”。

简化结果分析简化结果分析简化结果分析简化结果分析3.O0,0RM构构O0,0RM构构RRR=-=-RRR=-=-OMdR=OMdR=原力系可简化为一个力原力系可简化为一个力R，即为力系的合，即为力系的合力，且力，且R=R。

但不过“。

但不过“O”点，其作用线由点，其作用线由d确确定定。

ORMOORO=d4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化O0,0RM=O0,0RM=4.力系平衡力系平衡合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理O0,0RM构构O0,0RM构构ORMOORORRRRR=-=-RRR=-=-OMdR=OMdR=dOROd=OO（）（）RdMRMF=OO（）（）RdMRMF=合力矩定理合力矩定理合力矩定理合力矩定理4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化结论结论22主矢主矢主矩主矩简化结简化结果果R0R=0MO0MO=0合力合力R（过“O”）合力合力R（不过不过“O”）OMRRRd=OMRRRd=MO=0MO0合力偶合力偶（其矩与其矩与“O”无关无关）力系平力系平衡衡4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化重力坝受力情况如图所重力坝受力情况如图所重力坝受力情况如图所重力坝受力情况如图所示。

设示。

设示。

设示。

设GG11=450kN450kN，GG22=200kN=200kN，FF11=300kN300kN，FF22=70kN=70kN。

求求求求力系的合力力系的合力力系的合力力系的合力FFRR的大小和方向的大小和方向的大小和方向的大小和方向,合力与基线合力与基线合力与基线合力与基线OAOA的交点到的交点到的交点到的交点到OO点的点的点的点的距离距离距离距离xx。

9m3m1.5m3.9m5.7m3mxxyyAABBCCOO90FF11GG11GG22FF22例题例题例题例题224-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化11.求力系的合力求力系的合力求力系的合力求力系的合力RR的大小和方向。

的大小和方向。

的大小和方向。

的大小和方向。

将力系向将力系向将力系向将力系向OO点简点简点简点简化，得主矢和主矩化，得主矢和主矩化，得主矢和主矩化，得主矢和主矩，如右图所示。

，如右图所示。

，如右图所示。

，如右图所示。

7.16arctanCBABACB7.16arctanCBABACB12122cos232.9kNsin670.1kNxyRXFFRYGGFqqqq=-=-=-=-=-=-12122cos232.9kNsin670.1kNxyRXFFRYGGFqqqq=-=-=-=-=-=-主矢的投影主矢的投影主矢的投影主矢的投影解：

解：

AAOOCCMMOO9m3m1.5m3.9m5.7m3mxxyyAABBCCOO90FF11GG11GG22FF22RRxRxRyRyR例题例题例题例题224-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化22（）（）709.4kNRRXY=S+S=S+S=22（）（）709.4kNRRXY=S+S=S+S=tan2.87770.84YXqqqq=ootan2.87770.84YXqqqq=oo所以力系合力所以力系合力所以力系合力所以力系合力RRRR的大小的大小的大小的大小方向方向方向方向84.70AAOOCCMMOOxRxRRRyRyR4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化例题例题例题例题22因为力系对因为力系对因为力系对因为力系对OO点的主矩为点的主矩为点的主矩为点的主矩为（）OO112F=3m1.5m3.9m2355kNmMMFGG=-=-=-（）OO112F=3m1.5m3.9m2355kNmMMFGG=-=-=-22.求合力与基线求合力与基线求合力与基线求合力与基线OAOA的交点到的交点到的交点到的交点到OO点的距离点的距离点的距离点的距离dd。

（）OOMMRRd=（）OOMMRRd=O23553.32m709.4MdR=O23553.32m709.4MdR=解得解得解得解得AAOOCC84.7084.70ddRR4-2平面一般力系向作用面内任一点的简化平面一般力系向作用面内任一点的简化例题例题例题例题22OO11由于由于RR=0，为力平衡为力平衡MO=0为力偶平衡为力偶平衡所以所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为：

力系的主矢力系的主矢RR和主矩和主矩MO都等于零都等于零，即：

22OO（）（）0（）0iRXYMmF=rr4-3平面一般力系的平衡条件及其应用一、平衡条件一、平衡条件条件：

条件：

x轴不轴不AB连线连线条件：

条件：

A、B、C不在同一直线上不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。

上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。

0X0YO（）0iMFrr一矩式一矩式0X（）0AMFrr（）0BMFrr二矩式二矩式（）0AiMFrr（）0BMFrr（）0CMFrr三矩式三矩式4-3平面一般力系的平衡条件及其应用一、平衡条件一、平衡条件4-3平面一般力系的平衡条件及其应用条件：

条件：

x轴不轴不AB连线连线条件：

条件：

A、B、C不在同一直线上不在同一直线上0X0YO（）0iMFrr一矩式一矩式0X（）0AMFrr（）0BMFrr二矩式二矩式（）0AiMFrr（）0BMFrr（）0CMFrr三矩式三矩式一、平衡条件一、平衡条件ABRxABRC（）0AiMF=（）0BiMF=二矩式二矩式条件：

条件：

AB连线不能平行连线不能平行于力的作于力的作用线用线0YO（）0iMF=一矩式一矩式实质上是各力在实质上是各力在x轴上的投影恒等于零，即轴上的投影恒等于零，即恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知恒成立，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。

数。

0X二、平面平行力系的平衡方程4-3平面一般力系的平衡条件及其应用平面平行力系平面平行力系:

各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。

各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。

F3FnF2yxO平行力系qlQ00AXX00AqlYY020AAlqlmM0AXqlYA22Aqlm222BAA0222lqlqlMmYlqlql-+-+=-+-+=悬臂梁AB受荷载作用如图（a）所示。

梁的自重不梁的自重不计。

求支座计。

求支座A的反力的反力【解】取梁AB为研究对象，受力分析如图（b）所示，支座反力的指向均为假设梁上的均布荷载可先合成为合力Q，求得结果为正，说明假设力的指向与实际相同。

校核结论：

对于悬臂梁和悬臂刚架均适合于采用一矩式平衡方程求解支座反力。

计算无误。

计算无误。

例题例题例题例题33A00XX=AB0661020MR-BA0610460MY-=-=0AXkN67.7AYkN33.2BR01033.267.710BARYY说明计算无误。

例题例题例题例题44解解:

05.1336.32.122.452.40BAYM06.02.127.2332.40ABYM6.13kNAY=10.27kNBY=结论结论：

对于简支梁、简支刚架均适合于采用二矩式平衡方程求解支座反力对于简支梁、简支刚架均适合于采用二矩式平衡方程求解支座反力。

例题例题例题例题55A04sin30230MTGPooBA04210MYGP-cA04tan30230MXGP结论：

对于三角支架适合于采用三矩式平衡方程求解约束反力。

结论：

对于三角支架适合于采用三矩式平衡方程求解约束反力。

例题例题例题例题66AB052052.525260MR创-创=012255.252050ABRMkN40ARkN110BR例题例题例题例题770）（0BAbeGbNaQM

（1）当空载当空载P=0时时0）（0ABlPeGbNbaQM

（1）当空载）当空载P=0时，起重机是否会向左倾倒？

时，起重机是否会向左倾倒？

（2）起重机不向右倾倒的最大起重荷载）起重机不向右倾倒的最大起重荷载P=？

（2）P=?

例题例题例题例题88如图所示水平横梁如图所示水平横梁如图所示水平横梁如图所示水平横梁AABB，AA端为固定铰链支座，端为固定铰链支座，端为固定铰链支座，端为固定铰链支座，BB端为一活动铰链支座。

梁的长端为一活动铰链支座。

梁的长端为一活动铰链支座。

梁的长端为一活动铰链支座。

梁的长为为为为44aa，梁重，梁重，梁重，梁重GG，作用在梁的，作用在梁的，作用在梁的，作用在梁的中点中点中点中点CC。

在梁的。

在梁的。

在梁的。

在梁的ACAC段上受均段上受均段上受均段上受均布载荷布载荷布载荷布载荷qq作用，在梁的作用，在梁的作用，在梁的作用，在梁的BCBC段段段段上受力偶作用，力偶矩上受力偶作用，力偶矩上受力偶作用，力偶矩上受力偶作用，力偶矩MM=GaGa。

试求试求试求试求AA和和和和BB处的支座约束力。

处的支座约束力。

处的支座约束力。

处的支座约束力。

xxyyAABBqCC22aa44aaGGMM例题例题例题例题99三、三、应用举例应用举例4-3平面一般力系的平衡条件及其应用11.取取取取ABAB梁为研究对象；梁为研究对象；梁为研究对象；梁为研究对象；44.列平衡方程列平衡方程列平衡方程列平衡方程:

55.求解未知量求解未知量求解未知量求解未知量AABBCC44aa22aaxxyyqGGMMRRBBYYAAXXAA22.画受力图；画受力图；画受力图；画受力图；解：

解：

33.选坐标系选坐标系选坐标系选坐标系AxyAxy；例题例题例题例题99三、三、应用举例应用举例4-3平面一般力系的平衡条件及其应用0,0AXX=AB0,20YYqaGR-+=-+=（）AB0,4220MFRaGaqaaM创-=创-=AAB30,（）4231（）42GXYqaRGqa=+=+=+=+支架的横梁支架的横梁支架的横梁支架的横梁ABAB与与与与斜杆斜杆斜杆斜杆DCDC彼此以铰链彼此以铰链彼此以铰链彼此以铰链CC连接连接连接连接，并各以铰链，并各以铰链，并各以铰链，并各以铰链AA，DD连接连接连接连接于铅直墙上。

如图所示。

已于铅直墙上。

如图所示。

已于铅直墙上。

如图所示。

已于铅直墙上。

如图所示。

已知杆知杆知杆知杆AC=CBAC=CB；杆；杆；杆；杆DCDC与水与水与水与水平线成平线成平线成平线成4545oo角；载荷角；载荷角；载荷角；载荷F=F=10k10kNN，作用于，作用于，作用于，作用于BB处。

设梁和处。

设梁和处。

设梁和处。

设梁和杆的重量忽略不计，求铰链杆的重量忽略不计，求铰链杆的重量忽略不计，求铰链杆的重量忽略不计，求铰链AA的约束力和杆的约束力和杆的约束力和杆的约束力和杆DCDC所受的所受的所受的所受的力。

力。

力。

力。

AABBDDCCFFFF例题例题104-3平面一般力系的平衡条件及其应用二、应用举例二、应用举例11.取取取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象2.2.受力分析如图。

受力分析如图。

受力分析如图。

受力分析如图。

AABBDDCCFFFF3.3.列写平衡方程。

列写平衡方程。

列写平衡方程。

列写平衡方程。

解：

解：

例题例题104-3平面一般力系的平衡条件及其应用三、应用举例三、应用举例44.求解平衡方程可得求解平衡方程可得求解平衡方程可得求解平衡方程可得FFRRRRCCXXAAYYAAllll45AABBCC（）ACACAC0,cos4500,sin4500,cos4520XXRYYRFMFRlFl+=+=+-=+-=ooooooCACAC228.28kN（）cos45cos45220kN（）sin4510kN（）FRXFFYFRF=-=-=-=-=-=-=-=-ooooooZZ伸臂式起重机如图所伸臂式起重机如图所伸臂式起重机如图所伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂示，匀质伸臂示，匀质伸臂示，匀质伸臂ABAB重重重重G=G=22002200NN，吊车，吊车，吊车，吊车DD，EE连同吊起重物连同吊起重物连同吊起重物连同吊起重物各重各重各重各重FF11=FF22=4000N4000N。

有关尺。

有关尺。

有关尺。

有关尺寸为：

寸为：

寸为：

寸为：

ll=4.3m4.3m，a=a=1.5m1.5m，b=b=0.9m0.9m，c=c=0.15m0.15m，=2525。

试求铰链。

试求铰链。

试求铰链。

试求铰链AA对臂对臂对臂对臂ABAB的水的水的水的水平和铅直约束力，以及拉索平和铅直约束力，以及拉索平和铅直约束力，以及拉索平和铅直约束力，以及拉索BFBF的拉力。

的拉力。

的拉力。

的拉力。

aaccbbBBFFAACCFF11FF22ll例题例题例题例题1111三、三、应用举例应用举例4-3平面一般力系的平衡条件及其应用yyxxBBAA解：

解：

11.取伸臂取伸臂取伸臂取伸臂ABAB为研究对象。

为研究对象。

为研究对象。

为研究对象。

RRBBGGFF22FF11EECCDDYYAAXXAA22.受力分析如图。

受力分析如图。

受力分析如图。

受力分析如图。

aaccbbBBFFAACCFF11FF22ll例题例题例题例题1111三、应用举例三、应用举例4-3平面一般力系的平衡条件及其应用33.选选选选如图坐标系，如图坐标系，如图坐标系，如图坐标系，列列列列平衡方程。

平衡方程。

平衡方程。

平衡方程。

YYAAyyxxBBAARRBBGGFF22FF11EECCDDXXAAaabbll例题例题例题例题111133、应用举例、应用举例4-3平面一般力系的平衡条件及其应用0cos0ABXXRaa-=-=120sin0ABYYFGFRaa-+=-+=（）120cossin02ABBMlFaGFlbRcRlaaaa-+-+44.联立求联立求联立求联立求解解解解。

RRBB=12456N=12456NXXAA=11290N=11290NYYAA=4936N=4936N11、静定与超静定问题的概念、静定与超静定问题的概念0X0Y0m力偶系力偶系平面一般力系平面一般力系当：

当：

独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）两个独立方程，只能求两两个独立方程，只能求两个独立未知数。

个独立未知数。

平面汇交力系平面汇交力系一个独立方程，只能求一一个独立方程，只能求一个独立未知数。

个独立未知数。

三个独立方程，只能三个独立方程，只能求三个独立未知数。

求三个独立未知数。

O（）0iMF0X0Y4-4物体系统的平衡物体系统的平衡例例超超静定问题需结合位移谐调条件来求解静定问题需结合位移谐调条件来求解。

静定（未知数三个）超静定（未知数四个）静定（未知数三个）超静定（未知数四个）11、静定与超静定问题的概念、静定与超静定问题的概念4-4物体系统的平衡物体系统的平衡例例外力：

外界物体作用于系统上的力叫外力。

外力：

外界物体作用于系统上的力叫外力。

内力：

系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

内力：

系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

物体系统（物系）：

物体系统（物系）：

由若干个物体通过约束所组成的系统由若干个物体通过约束所组成的系统。

22、物体系统的平衡、物体系统的平衡4-4物体系统的平衡物体系统的平衡物系统平衡的特点：

物系统平衡的特点：

物体系中每个物体都是平衡的。

物体系中每个物体都是平衡的。

每个物体可列每个物体可列33个平衡方程，整个系统可列个平衡方程，整个系统可列33n个个平衡方程（设物系中有平衡方程（设物系中有n个物体）个物体）解物系问题的一般方法：

解物系问题的一般方法：

先局部，后整体（用于多跨静定梁）先局部，后整体（用于多跨静定梁）先整体，后局部（常用于三铰拱或在铰刚架）先整体，后局部（常用于三铰拱或在铰刚架）先一部分，后另一部分（用于多跨静定梁）先一部分，后另一部分（用于多