高等代数北大版课件1.9有理系数多项式.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、本原多项式,二、整系数多项式的因式分解,1.9有理系数多项式,问题的引入,1.由因式分解定理，作为一个特殊情形：

对则可唯一分解,成不可约的有理系数多项式的积.,但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个,一般的方法.,2.我们知道，在上只有一次多项式才是不可约,多项式；,在上，不可约多项式只有一次多项式与某些,二次多项式；,但在上有任意次数的不可约多项式如,如何判断上多项式的不可约性呢?

3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题,这是因为任一有理数可表成两个整数的商,事实上，设,若的各项系数有公因子，就可以提出来，得,也即,其中是整系数多项式，且各项系数没有异于,的公因子,一、本原多项式,设,定义,若没有,则称为本原多项式,有关性质,其中为本原多项式,（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）,2Gauss引理,定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式,设,是两个本原多项式,若不是本原的，则存在素数,证：

又是本原多项式，所以不能整除的,每一个系数,反证法,令为中第一个不能被整除的数，即,同理，本原，令为中第一个不能被,整除的数，即,又,矛盾,在这里,故是本原的,定理11若一非零的整系数多项式可分解成两,个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解,成两个次数较低的整系数多项式的乘积,二、整系数多项式的因式分解,设整系数多项式有分解式,其中且,证：

令,这里，皆为本原多项式，,于是,由定理10，本原，,即,从而有,得证,设是整系数多项式，且是本原,推论,的，若则,必为整系数多项式,令,本原，,即,为整系数多项式,证：

于是有，,定理12设,是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，,其中是互素的，则必有,是的有理根，,从而,又互素，,比较两端系数，得,证：

在有理数域上，,由上推论，有,本原,所以，,定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，,而非充分条件,例1求方程的有理根.,可能有理根为,用综合除法可知，只有1为根,注意,解：

例2证明:

在上不可约,若可约，,但的有理根只可能是,所以不可约,证：

则至少有一个一次因式，,也即有一个有理根,而,矛盾,定理13艾森斯坦因Eisenstein判别法,设,是一个整系数多项式，若有一个素数使得,则在有理数域上是不可约的,若在上可约，由定理11，,可分解为两次数较低的整系数多项式积,证：

又,不妨设但,或,不能同时整除,另一方面，,假设中第一个不能被整除的数为,比较两端的系数，得,上式中皆能被整除，,矛盾,故不可约,例3证明：

在上不可约,证：

（令即可）,（可见存在任意次数的不可约有理系数多项式）,例4判断,（为素数）在上是否可约,令,则为整系数多项式,但,解：

在上不可约，,从而在上不可约,即,Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而,非必要条件,注意,也就是说，如果一个整系数多项式,不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，,也可能是不可约的,有些整系数多项式不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换使满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式不可约,有理系数多项式在有理系数上不可约,命题,在有理数域上不可约,多项式,例5证明：

在上不可约,取,证：

作变换,则,在上不可约，,所以在上不可约,由Eisenstein判别法知，,对于许多上的多项式来说，作适当线性代换后,再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的,多项式无论作怎样的代换都不能,使满足爱森斯坦因判别法的条件，,即找不到相应的素数,说明：

办法，但未必总是凑效的也就是说，存在上的,如，,练习,P为素数，证明:

在上不可约,