泛函分析完整可编辑版.ppt
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泛泛函函分分析析基基础础信息与电气工程学院信息与电气工程学院邹海林邹海林2014.21B泛泛函函分分析析基基础础1、什么是泛函分析？
、什么是泛函分析？
2020世纪世纪2020年代形成的数学分支，是从变分年代形成的数学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的观点来研究无限维向量空间上的算子算子和和极限极限理理论。
论。
2B现代泛函分析的奠基人波兰数学家巴拿赫波兰数学家在泛函分析波兰数学家在泛函分析和拓扑学等方面取得了重和拓扑学等方面取得了重要成就。
其中的领军人物要成就。
其中的领军人物是巴拿赫是巴拿赫（StefanBanach1932年巴拿赫出版了年巴拿赫出版了线性算子论线性算子论一书，建一书，建立了巴拿赫空间上线性算立了巴拿赫空间上线性算子理论，证明了一批后来子理论，证明了一批后来成为泛函分析基础的重要成为泛函分析基础的重要定理，成为泛函分析理论定理，成为泛函分析理论成熟的标志。
成熟的标志。
3B泛泛函函分分析析的的观观点点和和研研究究手手段段推推动动着着其其他他一一些些数数学学分分析析学学科科的的发发展展，如如在在微微分分方方程程、概概率率论论、函函数数论论、计计算算数数学学、控控制制论论、最最优优化化理理论论等等学学科科中中都都有有重重要要的的运运用。
用。
4B2、为什么给研究生开设泛函分析、为什么给研究生开设泛函分析计算机应用技术解决什么？
计算机应用技术解决什么？
遇到的问题越来越复杂遇到的问题越来越复杂涉及的知识门类多涉及的知识门类多现代数学的作用越来越突出现代数学的作用越来越突出5B例例11：
网络技术网络技术通信技术通信技术计算机技术计算机技术信号处信号处理技术理技术数学数学6B例例22：
信息安全信息安全抽象代数抽象代数密码学理论密码学理论数理逻辑数理逻辑7B例例33：
8B例例44：
信号的稀疏表示理论：
信号的稀疏表示理论：
视觉皮层对图像的编码模式视觉皮层对图像的编码模式傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数小波变换小波变换小波变换小波变换神经生理学的研究神经生理学的研究9B例例44：
信号的稀疏表示理论：
信号的稀疏表示理论：
X=D10B例例44：
11B3、泛函分析基础的基本内容、泛函分析基础的基本内容
（1）距离空间）距离空间
（2）赋范线性空间）赋范线性空间（3）内积空间）内积空间（4）线性算子与线性泛函）线性算子与线性泛函（5）投影与逼近）投影与逼近12B第一章第一章距离空间距离空间距离的概念是现实物理世界中物体之间距距离的概念是现实物理世界中物体之间距离关系的本质特征的数学抽象。
离关系的本质特征的数学抽象。
直线上两点之间的距离直线上两点之间的距离三维空间中两个向量之间的距离三维空间中两个向量之间的距离曲面上两点之间的距离曲面上两点之间的距离13B第一章第一章距离空间距离空间1.1距离定义距离定义设设R表示一个非空集合，若其中任意两元素表示一个非空集合，若其中任意两元素x,y都都按一定的规则与一个实数按一定的规则与一个实数相对应，且相对应，且满足以下满足以下三公理（称为距离公理）：
三公理（称为距离公理）：
（1）
（2）（3）对对R中任意中任意3元素元素x,y,z,有有则称则称为为x,y间的间的距离距离，称，称R为距离空间，其为距离空间，其中的元素也称为中的元素也称为点点。
14B例例1：
设设为非空实数集，对其中任意两个实数为非空实数集，对其中任意两个实数x,y定义距离：
定义距离：
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。
另外，还可以用另一种方式来定义距离：
另外，还可以用另一种方式来定义距离：
第一章第一章距离空间距离空间15B例例2：
设设为为n维实向量全体所构成的空间，在其中维实向量全体所构成的空间，在其中可定义距离如下：
可定义距离如下：
设设为为中任意两元素，则中任意两元素，则即为即为平面上两点间的通常距离平面上两点间的通常距离。
在在中也可以定义另一种距离：
中也可以定义另一种距离：
第一章第一章距离空间距离空间16B例例3：
用用表示定义在表示定义在a,b上所有连续函数的全上所有连续函数的全体，对于任意体，对于任意,可定义距离：
可定义距离：
第一章第一章距离空间距离空间17B例例4：
用用表示表示a,b上所有平方可积函数的全体，上所有平方可积函数的全体，即对任意即对任意,都有都有则可在则可在中定义距离，对于任意中定义距离，对于任意,可定义距离：
可定义距离：
第一章第一章距离空间距离空间18B例例5：
表示满足表示满足的实数列的全体，则其的实数列的全体，则其中任意两点中任意两点间的距离可定义如下：
间的距离可定义如下：
第一章第一章距离空间距离空间19B1.2收敛概念收敛概念设设R为距离空间，为距离空间，为为R中点列，中点列，如果当如果当时，数列时，数列则称点列则称点列按距离按距离收敛于收敛于x,记为记为或或此时，称此时，称为收敛点列，为收敛点列，x为为的极限。
的极限。
1.2.1收敛点列收敛点列第一章第一章距离空间距离空间20B性质：
性质：
定理定理1.1在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。
在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。
定理定理1.2在距离空间中，距离在距离空间中，距离是两个变元是两个变元x,y的的连续函数。
连续函数。
定理定理1.3设设为距离空间为距离空间R中的收敛点列，则中的收敛点列，则必必有界。
有界。
即即存在存在有限数有限数使所有使所有都有都有第一章第一章距离空间距离空间21B1.2.2Cauchy列列设设为距离空间为距离空间R中的收敛点列，则存中的收敛点列，则存，使，使因为因为所以，当所以，当时，有时，有使上式使上式（*）成立的点列称为成立的点列称为Cauchy列，列，或基本列。
或基本列。
（*）第一章第一章距离空间距离空间22B1.3距离空间的完备性距离空间的完备性定义定义1：
在距离空间：
在距离空间R中，若任一中，若任一Cauchy列都在列都在R中有极限，则称距离空间是完备的。
中有极限，则称距离空间是完备的。
定义定义2：
设：
设R，R1都是距离空间，如果存在一个由都是距离空间，如果存在一个由R到到R1的映射的映射T，使一切，使一切有有其中其中分别为分别为R，R1上的距离，则称上的距离，则称T为为R到到R1的的等距映射等距映射，这时，称，这时，称R与与R1为为等距等距。
第一章第一章距离空间距离空间23B距离空间的完备化定理：
距离空间的完备化定理：
对每个距离空间对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空，必存在一个完备的距离空间间R0，使得，使得R等距于等距于R0中的一个中的一个稠密稠密子空间子空间R1，并，并称称R0为为R的的完备化空间完备化空间，若除去等距不计，则，若除去等距不计，则R0是是惟一的。
惟一的。
第一章第一章距离空间距离空间24B1.4距离空间的稠密性与可分性距离空间的稠密性与可分性定义：
设定义：
设A，B为距离空间为距离空间R中的子集。
若对任意中的子集。
若对任意的的总存在总存在B中的点列中的点列收敛于收敛于x，则称则称B在在A中稠密，简称中稠密，简称B在在A中稠中稠。
稠密性：
稠密性：
第一章第一章距离空间距离空间25B关于稠密性的两种等价的说法：
关于稠密性的两种等价的说法：
（1）若）若B在在A中稠，则对任意的中稠，则对任意的及任意的及任意的总存在总存在B中的点中的点y，使得，使得反之亦然反之亦然
（2）若）若B在在A中稠，则对任意的中稠，则对任意的，必有，必有反之亦然反之亦然表示以表示以x为中心，以为中心，以为半径的小球。
为半径的小球。
第一章第一章距离空间距离空间26B可分性：
可分性：
定义：
距离空间定义：
距离空间R称为可分的，是指在称为可分的，是指在E中存在一中存在一个稠密的可列子集。
个稠密的可列子集。
第一章第一章距离空间距离空间27B问题：
问题：
1、写出三维空间的几种距离、写出三维空间的几种距离2、距离空间中的开集、闭集？
、距离空间中的开集、闭集？
第一章第一章距离空间距离空间28B1.5距离空间的列紧性距离空间的列紧性（略）（略）第一章第一章距离空间距离空间29B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.1定义和例定义和例1、线性空间的定义：
、线性空间的定义：
集合集合E称为实（或复）线性空间，如果：
称为实（或复）线性空间，如果：
（1）在）在E内定义了内定义了“+”法运算，使对任意的法运算，使对任意的都有都有且仍且仍E中中（交换律）（交换律）（a）（结合律）（结合律）（b）存在存在“零元素零元素”，有有（c）存在存在“逆元素逆元素”，有有（d）30B
（2）定义了）定义了E中元素与实（复）数域中元素与实（复）数域K中的数之间中的数之间的的“数乘数乘”运算，使对任意的运算，使对任意的都有都有且仍且仍E中中（a）（b）（c）（d）第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间31B2、赋范线性空间的定义：
、赋范线性空间的定义：
设设E为实（复）线性空间，若对任意的为实（复）线性空间，若对任意的都都有一个非负的实数有一个非负的实数与之对应，且满足与之对应，且满足则称则称为为x的范数，的范数，E为为赋范线性空间赋范线性空间，E中的元中的元素称为素称为点点。
（a）（b）（c）第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间32B由于实数的有序性，可以比较大小，因此范数由于实数的有序性，可以比较大小，因此范数给了元素一种可以度量大小的概念。
给了元素一种可以度量大小的概念。
显然，任何显然，任何赋范线性空间赋范线性空间都是距离空间。
任意都是距离空间。
任意两点两点x,y之间的距离都可以通过范数来定义（称为之间的距离都可以通过范数来定义（称为由范数导出的距离）：
由范数导出的距离）：
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间33B例例1：
在在中可定义范数中可定义范数或或同一集合可定义不同的距离，在同一线性空间中，同一集合可定义不同的距离，在同一线性空间中，也可以定义不同的范数：
也可以定义不同的范数：
中的距离：
中的距离：
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间34B例例2：
其中可定义范数其中可定义范数并由它导出距离并由它导出距离第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间35B例例3：
其中可定义范数其中可定义范数并由它导出距离并由它导出距离第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间36B例例4：
由它导出距离由它导出距离其中可定义范数其中可定义范数是一切有界数列是一切有界数列的全体，按通的全体，按通常数列的加法和数乘运算构成线性空间。
常数列的加法和数乘运算构成线性空间。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间37B3、Banach空间：
空间：
若赋范线性空间按距离若赋范线性空间按距离是完备的，则称它为是完备的，则称它为Banach空间。
空间。
前面都按范数导出的距离完备，所以他们都是前面都按范数导出的距离完备，所以他们都是Banach空间。
空间。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间38B2.2按范数收敛按范数收敛1、定义：
、定义：
设设E为赋范线性空间，为赋范线性空间，若若则称点列则称点列按范数收敛于按范数收敛于x，或称，或称强收强收敛于敛于x，记为，记为（强强）第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间39B2、性质：
、性质：
在赋范线性空间在赋范线性空间E中，若中，若强收敛于强收敛于x，则有，则有下列性质下列性质为有界数列为有界数列是是x的连续泛函的连续泛函（b）（a）（c）设设则则（d）设设则则（c）,（d）说明，在赋范线性空间中，线性运算对范说明，在赋范线性空间中，线性运算对范数收敛是连续的。
数收敛是连续的。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间40B2.3有限维赋范线性空间有限维赋范线性空间1、定义：
、定义：
若赋范线性空间若赋范线性空间E存在存在有限个有限个线性无关线性无关的元素的元素，使任意的，使任意的都有都有则称则称E为为有限维赋范线性空间，有限维赋范线性空间，称称为该空间的基底，称为该空间的基底，称为为x关于该关于该基底的坐标。
基底的坐标。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间41B2、性质：
、性质：
（a）设设E是是有限维赋范线性空间，有限维赋范线性空间，则在则在E上定上定义的各种范数都相互等价。
义的各种范数都相互等价。
（b）有限维赋范线性空间有限维赋范线性空间必完备且可分必完备且可分。
（c）赋范线性空间赋范线性空间E为有限维的充要条件是为有限维的充要条件是E中的中的任意有界闭集是列紧的任意有界闭集是列紧的（即有界闭集中的任（即有界闭集中的任一点列都有收敛子序列）。
一点列都有收敛子序列）。
有限维赋范线性空间最典型的例子有限维赋范线性空间最典型的例子就是就是n维维向量空间向量空间。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间42B2.4线性算子与线性泛函线性算子与线性泛函集合论集合论中，集合与集合的关系称为中，集合与集合的关系称为映射映射。
泛函分析泛函分析中，把具有一定性质的元素的集合中，把具有一定性质的元素的集合称为称为空间空间，把空间到空间的映射称为，把空间到空间的映射称为算子算子。
通常的算子是指由赋范线性空间到赋范线通常的算子是指由赋范线性空间到赋范线性空间的映射，常用性空间的映射，常用T表示。
表示。
D（T）表示定义域，表示定义域，N（T）表示值域。
表示值域。
1、算子、算子第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间43B
（1）定义：
定义：
设设E，E1都是赋范线性空间都是赋范线性空间2.4线性算子与线性泛函线性算子与线性泛函则称则称T为为线性算子线性算子。
如微分算子、积分算子、由矩阵定义的线性如微分算子、积分算子、由矩阵定义的线性变换等都是线性算子。
变换等都是线性算子。
若对任意若对任意及数及数有有（a）第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间44B若对任意若对任意当当时时，有，有（b）则称则称T为为连续算子连续算子。
如范数、有界集上的积分算子、古典分析中如范数、有界集上的积分算子、古典分析中的连续函数等都是连续算子。
的连续函数等都是连续算子。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间45B若存在正数若存在正数M，对任意，对任意，使，使（c）则称则称T为为有界算子有界算子。
当。
当T又是线性算子时，则又是线性算子时，则称称T为为有界线性算子。
有界线性算子。
如如中的线性变换、闭区间上的积分算子、古中的线性变换、闭区间上的积分算子、古典分析中的线性函数等都是有界线性算子。
典分析中的线性函数等都是有界线性算子。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间46B设算子设算子T：
，若存在，若存在使使（d）可逆算子可逆算子且对任意且对任意，当，当时，有时，有，则称，则称T为为可逆算子。
可逆算子。
如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是互逆的算子，函数与反函数也是互逆的算子。
互逆的算子，函数与反函数也是互逆的算子。
算子分线性算子和非分线性算子。
算子分线性算子和非分线性算子。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间47B
（2）线性算子的性质：
线性算子的性质：
（a）线性算子线性算子T若在某一点若在某一点连续，则连续，则T在在D（T）上处处连续。
上处处连续。
（b）线性算子线性算子T有界的充要条件是有界的充要条件是T连续。
连续。
（c）线性算子线性算子T有界的充要条件是有界的充要条件是T连续。
连续。
（d）有限维有限维赋范线性空间中的一切赋范线性空间中的一切线性算子均有线性算子均有界（即连续）界（即连续）第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间48B2、线性泛函、线性泛函
（1）概念：
概念：
当算子的像集为数域时，称算子为泛函。
当算子的像集为数域时，称算子为泛函。
第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间根据前面算子的定义，照样可以定义线性根据前面算子的定义，照样可以定义线性泛函、连续泛函、有界线性泛函等。
泛函、连续泛函、有界线性泛函等。
49B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间
（2）泛函的例泛函的例数组数组,对任意对任意（a）即为即为上的一个有界线性泛函。
上的一个有界线性泛函。
因此，对应于不同的数组因此，对应于不同的数组，都有，都有一个一个上的有界线性泛函与之对应。
上的有界线性泛函与之对应。
泛函的范数可表示为：
泛函的范数可表示为：
50B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（b）
（2）泛函的例泛函的例在在上，对任意上，对任意，作，作都是都是上的泛函。
上的泛函。
51B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（c）
（2）泛函的例泛函的例：
表示：
表示a,b上的所有连续可微函数构成的上的所有连续可微函数构成的赋赋范线性空间。
范线性空间。
则对任意则对任意，作，作为为上的一个线性泛函。
上的一个线性泛函。
52B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（d）
（2）泛函的例泛函的例：
定义：
定义是一个有界泛函。
是一个有界泛函。
53B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（3）泛函的性质泛函的性质（a）设设E是是赋范线性空间，赋范线性空间，f是是E上的线性泛函，上的线性泛函，则则f有界的充要条件是有界的充要条件是f的零空间的零空间为为E中的完备子空间。
中的完备子空间。
54B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（3）泛函的性质泛函的性质（b）设设f是是上的任一有界线性泛函，则必存在上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的惟一的，使得对任意，使得对任意，有，有且且反之，反之，对每一对每一，由上式定义的，由上式定义的必是必是上的有界线性泛函。
上的有界线性泛函。
且且55B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（3）泛函的性质泛函的性质（c）设设f是是上的任一有界线性泛函，上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的则必存在惟一的使得任意使得任意时，有时，有且且反之，亦然。
反之，亦然。
56B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（3）泛函的性质泛函的性质（d）设设f是是上的任一有界线性泛函，上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的则必存在惟一的使得任意使得任意时，有时，有且且反之，亦然。
反之，亦然。
57B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（3）泛函的性质泛函的性质（e）延拓定理延拓定理设设E为为赋范线性空间，赋范线性空间，L为为E的线性子空间，的线性子空间，则则L上的任一有界线性泛函上的任一有界线性泛函f，都可以延拓到全空，都可以延拓到全空间间E上，且保持范数不变。
即存在上，且保持范数不变。
即存在E上的有界线上的有界线性泛函，满足：
性泛函，满足：
当当时，时，；58B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间（3）泛函的性质泛函的性质（d）存在定理存在定理设设E是具有非零元素的是具有非零元素的赋范线性空间，赋范线性空间，则则E上有足够的非零有界线性泛函存在，至少对每个上有足够的非零有界线性泛函存在，至少对每个存在有界线性泛函存在有界线性泛函，使得，使得59B2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间1、元素序列的收敛性、元素序列的收敛性（a）强收敛强收敛设设E是是赋范线性空间，赋范线性空间，若，若则称元素序列强收敛于则称元素序列强收敛于x，记为，记为（强强）或或强强60B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛1、元素序列的收敛性、元素序列的收敛性（b）弱收敛弱收敛设设E是是赋范线性空间，赋范线性空间，若对，若对E上上的任一有界泛函的任一有界泛函f，有，有则称元素序列则称元素序列弱收敛于弱收敛于x，记为，记为（弱弱）或或弱弱61B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛2、算子序列的收敛性、算子序列的收敛性（a）一致收敛一致收敛设设E，E1是是赋范线性空间，赋范线性空间，（一致一致）或或一致一致若若则称则称算子序列算子序列一致收敛（或依范数收敛）一致收敛（或依范数收敛）于于T，记为，记为62B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛2、算子序列的收敛性、算子序列的收敛性（b）强收敛强收敛设设E，E1是是赋范线性空间，赋范线性空间，若对任一若对任一，有，有则称则称算子序列算子序列强收敛于强收敛于T，记为，记为（强强）或或强强63B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛2、算子序列的收敛性、算子序列的收敛性（c）弱收敛弱收敛设设E为为赋范线性空间，赋范线性空间，若对每个若对每个及及E上上的任一有界线性泛函的任一有界线性泛函f，都有，都有则称则称算子序列算子序列弱收敛于弱收敛于T，记为，记为（弱弱）或或弱弱64B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛3、泛函序列的收敛性、泛函序列的收敛性（a）强收敛强收敛设设E为赋范线性空间，为赋范线性空间，为为E上的有界线性上的有界线性泛函及泛函序列，若泛函及泛函序列，若则称则称泛函序列泛函序列强收敛于强收敛于f，记为，记为（强强）或或强强65B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间2.4赋范线性空间中的各种收敛赋范线性空间中的各种收敛3、泛函序列的收敛性、泛函序列的收敛性（a）弱弱*收敛收敛则称则称泛函序列泛函序列弱弱*收敛于收敛于f，记为，记为（弱弱*）或或弱弱*设设E为赋范线性空间，为赋范线性空间，为为E上的有界线性上的有界线性泛函及泛函序列，若对每个泛函及泛函序列，若对每个，有，有66B第二章第二章赋范线性空间赋范线性空间3、几点结论、几点结论
（1）上述各种收敛序列的极限都是惟一的）上述各种收敛序列的极限都是惟一的
（2）各种序列若强收敛则必弱收敛，反之不一定）各种序列若强收敛则必弱收敛，反之不一定（3）算子序列若一致收敛（依范数收敛），则必）算子序列若一致收敛（依范数收敛），则必强收敛强收敛（4）若把泛函序列作为特殊的算子序列，则泛函）若把泛函序列作为特殊的算子序列，则泛函序列的强、弱序列的强、弱*收敛，分别相当于算子序列的收敛，分别相当于算子序列的一致收敛和强收敛一致收敛和强收敛67B第三章第三章Hilbert空间空间3.1定义和例定义和例1、内积空间、内积空间设设K是数域是数域（实或复实或复），U是是K上的线性空间。
若上的线性空间。
若对任意的对任意的,都有惟一的数都有惟一的数与与之对应，且满足之对应，且满足则称则称为为x,y的内积，的内积，U为内积空间。
为内积空间。
内内积积公公理理68B第三章第三章Hilbert空间空间2、内积的性质、内积的性质
（1）在内积空间中，可由内积导出范数）在内积空间中，可由内积导出范数Cauchy-Schwarz不等式：
不等式：
由上不等式还可得到由上不等式还可得到69B第三章第三章Hilbert空间空间2、内积的性质、内积的性质
（2）平行四边形公式）平行四边形公式在内积空间中，由内积导出的范数满足平行在内积空间中，由内积导出的范数满足平行四边形公式四边形公式70B第三章第三章Hilbert空间空间2、内积的性质、内积的性质（3）极化恒等式）极化恒等式若赋范线性空间中的若赋范线性空间中的范数范数满足平行四边形公满足平行四边形公式，则可由范数来表示内积式，则可由范数来表示内积特别地，在实空间则有特别地，在实空间则有71B第三章第三章Hilbert空间空间2、内积的性质、内积的性质定理：
赋范线性空间成为内积空间的充要条件是定理：
赋范线性空间成为内积空间的充要条件是它的范数满足平行四边形公式它的范数满足平行四边形公式。
（4）内积的连续性）内积的连续性在内积空间中，内积在内积空间中，内积（x,y）关于两个变元关于两个变元x,y都是连续的，即当都是连续的，即当时，
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