数学模型姜启源.ppt

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数数学学模模型型主讲|敬成林数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编1精品ppt课课程程名名称称学学时时3636数学模型与数学建模数学模型与数学建模MathematicalModelingMathematicalModeling学学分分33课程类别课程类别专业选修课专业选修课先先修修课课程程微积分、线性代数、概率论与数理统计微积分、线性代数、概率论与数理统计课课程程简简介介本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。

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数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。

模竞赛的辅导课程。

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数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

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本书介绍数学建模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：

数据拟合，模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：

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通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实分析及其试验设计。

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通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。

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教教材材及及参参考考书书目目数学模型数学模型，姜启源主编，姜启源主编，高等教育出版社高等教育出版社课课程程简简介介数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编2精品ppt数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编第一章第一章建立数学模型建立数学模型第二章第二章初等模型初等模型第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型第四章第四章数学规划模型数学规划模型第五章第五章微分方程模型微分方程模型第六章第六章稳定性模型稳定性模型第七章第七章差分方程模型差分方程模型第八章第八章离散模型离散模型第九章第九章概率模型概率模型第十章第十章统计回归模型统计回归模型附录附录:

数学建模实验数学建模实验3精品ppt周次周次节次节次教学内容教学内容课时课时作业作业执行情况执行情况11五五55661.1-1.51.1-1.5数学模型的介绍数学模型的介绍1.61.6数学模型的基本方法步骤、特点数学模型的基本方法步骤、特点和分类和分类2222五五55662.12.1公平的席位分配公平的席位分配（讨论课讨论课）2.22.2录像机计数器的用途录像机计数器的用途2.32.3双层玻璃的功效双层玻璃的功效2233五五55662.72.7实物交换实物交换3.23.2生猪的出售时机生猪的出售时机2244五五55663.33.3森林救火森林救火（讨论课讨论课）3.43.4最优价格最优价格2255五五55663.63.6消费者的选择消费者的选择4.34.3汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购2266五五55664.54.5饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修5.15.1传染病模型传染病模型（讨论课讨论课）2277五五55665.25.2经济增长模型经济增长模型5.65.6人口的预测和控制人口的预测和控制2288五五55666.16.1捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获6.26.2军备竞赛军备竞赛（讨论课讨论课）22教教学学进进度度数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编4精品ppt99五五55666.46.4种群的相互依存种群的相互依存7.17.1市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型221010五五55667.27.2减肥计划减肥计划-节食与运动节食与运动8.38.3层次分析模型层次分析模型221212五五55668.48.4效益的合理分配效益的合理分配9.29.2报童的诀窍报童的诀窍（讨论课讨论课）221313五五55669.59.5随机人口模型随机人口模型9.69.6航空公司的预定票策略航空公司的预定票策略221414五五五五556610.110.1牙膏的销售量牙膏的销售量牙膏的销售量牙膏的销售量22评估周评估周评估周评估周1515五五5566Mtlab,MathematciaMtlab,Mathematcia数学软件学习数学软件学习（上机上机）221616五五5566数学建模实验数学建模实验（上机上机）221717五五5566数学建模实验数学建模实验（上机上机）221818考试考试数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编5精品ppt数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编第第一一章章建立数学模型建立数学模型1.1从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3数学建模示例数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模怎样学习数学建模6精品ppt玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.1从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编7精品ppt你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程：

表示水速，列出方程：

答：

船速每小时答：

船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?

x=20y=5求解求解第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编8精品ppt航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。

小时）。

第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编9精品ppt数学模型数学模型（MathematicalModel）和和数学建模（数学建模（MathematicalModeling）对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。

建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编10精品ppt1.2数学建模的重要意义数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。

数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。

第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编11精品ppt数学建模的具体应用数学建模的具体应用分析与设计分析与设计预报与决策预报与决策控制与优化控制与优化规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编12精品ppt1.3数学建模示例数学建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常三只脚着地三只脚着地放稳放稳四只脚着地四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

只脚同时着地。

第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编13精品ppt模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形（椅脚连线椅脚连线）的对称性的对称性xBADCODCBA用用（对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角）表示椅子位置表示椅子位置四只脚着地四只脚着地距离是距离是的函数的函数四个距离四个距离（四只脚四只脚）A,C两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和f（）B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g（）两个距离两个距离椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编14精品ppt用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f（）,g（）是是连续函连续函数数对任意对任意,f（）,g（）至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：

已知：

f（）,g（）是是连续函数连续函数;对任意对任意，f（）g（）=0;且且g（0）=0，f（0）0.证明：

存在证明：

存在0，使，使f（0）=g（0）=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地第一章第一章建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编15精品ppt模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。

互换。

由由g（0）=0，f（0）0，知，知f（/2）=0,g（/2）0.令令h（）=f（）g（）,则则h（0）0和和h（/2）p2/n2，对对不公平不公平Ap1/n1p2/n2=5第二章第二章初等模型初等模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编34精品ppt公平分配方案应公平分配方案应使使rA,rB尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对即对A不公平不公平对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义rB（n1,n2）将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若p1/n1p2/n2，定义定义第二章第二章初等模型初等模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编35精品ppt1）若）若p1/（n1+1）p2/n2，则这席应给则这席应给A2）若）若p1/（n1+1）p2/（n2+1），应计算应计算rB（n1+1,n2）应计算应计算rA（n1,n2+1）若若rB（n1+1,n2）p2/n2问：

问：

p1/n1rA（n1,n2+1）,则这席应给则这席应给B第二章第二章初等模型初等模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编36精品ppt当当rB（n1+1,n2）640g=0.1第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编61精品ppt敏感性分析敏感性分析研究研究r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响估计估计r=2，g=0.1设设g=0.1不变不变t对对r的（相对）敏感度的（相对）敏感度生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。

rt第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编62精品ppt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，g=0.1研究研究r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响设设r=2不变不变t对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。

gt第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编63精品ppt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由S（t,r）=3建议过一周后建议过一周后（t=7）重新估计重新估计,再作计算。

再作计算。

研究研究r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w（t）p=8-gtp=p（t）若若（10%）,则则（30%）每天利润的增值每天利润的增值每天投入的资金每天投入的资金第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编64精品ppt3.3森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。

森林失火后，要确定派出消防队员的数量。

队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。

队员少，森林损失大，救援费用小。

综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B（t）.损失费损失费f1（x）是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B（t2）决定决定.救援费救援费f2（x）是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1（x）,f2（x）之和最小之和最小第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编65精品ppt关键是对关键是对B（t）作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B（t）的大致图形的大致图形t1t20tBB（t2）分析分析B（t）比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编66精品ppt模型假设模型假设3）f1（x）与与B（t2）成正比，系数成正比，系数c1（烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与与t成正比，系数成正比，系数（火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1tt2,降为降为-x（为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径r与与t成正比成正比面积面积B与与t2成正比，成正比，dB/dt与与t成正比成正比.第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编67精品ppt模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编68精品ppt模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求x使使C（x）最小最小结果解释结果解释/是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中c1,c2,c3,t1,为已知参数为已知参数第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编69精品ppt模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估计可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?

可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编70精品ppt3.4最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作x2）收入与销量）收入与销量x成正比，系数成正比，系数p即价格即价格3）支出与产量）支出与产量x成正比，系数成正比，系数q即成本即成本4）销量）销量x依赖于价格依赖于价格p,x（p）是减函数是减函数建模建模与求解与求解收入收入支出支出利润利润进一步设进一步设求求p使使U（p）最大最大第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编71精品ppt使利润使利润U（p）最大的最优价格最大的最优价格p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编72精品ppt结果结果解释解释q/2成本的一半成本的一半b价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度）a绝对需求绝对需求（p很小时的需求很小时的需求）bp*ap*思考：

如何得到参数思考：

如何得到参数a,b?

第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编73精品pptq2U（q1,q2）=cq103.6消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。

购买这两种商品，以达到最大的满意度。

设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2,消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族（单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作U（q1,q2）=cU（q1,q2）效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格p1,p2,有钱有钱s，试分配，试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量q1,q2,使使U（q1,q2）最大最大.第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编74精品ppts/p2s/p1q2U（q1,q2）=cq10模型模型及及求解求解已知价格已知价格p1,p2,钱钱s,求求q1,q2,或或p1q1/p2q2,使使U（q1,q2）最大最大几几何何解解释释直线直线MN:

最优解最优解Q:

MN与与l2切点切点斜率斜率MQN第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编75精品ppt结果结果解释解释边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。

价格之比时达到。

效用函数效用函数U（q1,q2）应满足的条件应满足的条件A.U（q1,q2）=c所确定的函数所确定的函数q2=q2（q1）单调减、下凸单调减、下凸解释解释B的实际意义的实际意义第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编76精品ppt效用函数效用函数U（q1,q2）几种常用几种常用的形式的形式消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。

与二者价格之比的平方根成正比。

U（q1,q2）中参数中参数,分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。

两种商品的偏爱程度。

第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编77精品ppt购买两种商品费用之比与二者价格无关。

购买两种商品费用之比与二者价格无关。

U（q1,q2）中参数中参数,分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。

的偏爱程度。

思考：

如何推广到思考：

如何推广到m

（2）种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U（q1,q2）几种常用几种常用的形式的形式第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编78精品ppt第四章第四章数学规划模型数学规划模型4.3汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购4.5饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修数学模型数学模型数学模型数学模型姜启源姜启源主编主编79精品ppt数学规划模型数学规划模型实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型x决策变量决策变量f（x）目标函数目标函数gi（x）0约束条约束条件件多元函数多元函数条件极值条件极值决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件个数m较大较大最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重