误差理论与数据处理习题(上).pdf
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1第一章第一章基本概念基本概念例例题题例例11在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1m，试问该被测件的真实长度为多少？
解解：
L=50mm=0.001mm故L0=L=50.0000.001mm例例22用两种方法测量长度为50mm的被测件，分别测得50.005mm；50.003mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：
解：
因对相同的被测量，可用绝对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低。
绝对误差小者，其测量精度高。
第一种方法的绝对误差为：
1=（50.00550.000）mm=0.005mm第二种方法的绝对误差为：
2=（50.00350.000）mm=0.003mm21故第二种方法的测量精度高。
例例33若某一量值Q用乘积ab表示，而a与b是各自具有相对误差fa和fb的被测量，试求量值Q的相对误差。
解解：
式中a0、b0分别为a、b的真值。
则因此，Q的相对误差约为fa+fb。
例例44若某一测量值Q用a与b的商a/b表示，而a与b是各自具有相对误差fa和fb的被测量，试求量值Q的相对误差。
解解：
2则因此，Q的相对误差约为fa+fb。
例例55通过电阻R的电流I产生热量（单位J）Q=I2Rt式中的t为通过电流的持续时间，已知I与R测量的相对误差为1%，t测量的相对误差为5%，试求Q的相对误差。
解解：
例例66某一正态分布的随机误差的标准差为0.002mm，求误差值落在0.O05mm以外的概率。
解解:
误差落入0.O05，O.O05范围内的概率为而落在0.O05mm以外的概率则为例例77某一随机误差服从正态分布，其标准差为0.06N，给定a的概率为0.9，试确定a的值。
解解:
由对称区间概率计算公式可得由概率积分表可查得则3习习题题1-1研究误差的意义是什么？
误差理论研究的主要内容是什么？
1-2什么叫测量误差？
什么叫修正值？
含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到被测量的真值？
为什么？
1-3误差的绝对值与绝对误差是否相同？
为什么？
1-4测得某三角块的三个角度之和为1800002，试求测量的绝对误差和相对误差。
1-5用量角器测得某角度样板的面角为35182510，试求其相对误差。
1-6用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？
1-7在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m，试求其最大相对误差。
1-8测量某一矩形的两边长，其相对误差分别为3%和4%，试求矩形面积的相对误差为多少？
1-9在满足欧姆定律的电路中，电流I由关系式I=E/R来计算，其中E是电路的电动势，R是电阻。
试求由E和R的相对误差fE和fR引起的电流I的相对误差。
1-10已知某电子管灯丝的电阻为21，电子管灯丝上的电压为6.3V，若已知电阻绝对误差为0.01，电压绝对误差为0.001V，试求流过电子管灯丝的电流及其绝对误差。
1-11若y=x2/（1+x2），当
（1）x=3,x=0.1；
（2）x=2,x=0.05时，求y/y。
1-12某量值y按被测量x表示为y=4x2/x，若x的相对误差为1%时，y的相对误差为多少？
1-13由单摆公式g=42l/T计算g值，若l=l0（1+fl）,T=T0（1+fT），其中fl，fT分别为l和T的相对误差，试求g值的相对误差。
1-14用一旋转粘度计测量某液体的动力粘度，所用圆柱的半径各为a和b，今用力矩M转动圆柱，则有其中为转动角速度。
若已知a=0.04m，b=0.05m，两者最大测量误差为40.0001m，且M/的误差可忽略不计。
试求的相对误差。
1-15若y=sin（2t+a），当
（1）t=/2，
（2）t=/时，已知t的相对误差为1%，试求y的相对误差，并求y的相对误差为最小时的t值。
1-16若i=ktg，已知的测量误差为，求当i的误差为最小及i的相对误差为最小时的值各为多少？
1-17使用Kater（凯特）摆时，g由公式g=42（h1+h2）/T2给定。
今测出长度（h1+h2）为1.042300.00005m，振动时间T为2.04800.0005s。
试求g及其最大相对误差。
如果（h1+h2）测出为1.042200.00005m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？
1-18在某种状态下，简支梁的弯曲公式为f=PL3/48EI。
若弯曲量f的相对误差为0.1%，梁的跨度L的相对误差为0.05%，惯性矩I的相对误差为0.1%时，试求弹性模量E的相对误差？
1-19按焦耳定律测定电阻R在t时间内通过电流I时所发出的热量Q=I2Rt，今测得I=（4.00.1）A,R=（40.00.1）,t=（10.000.01）s，试求热量Q的测量误差。
1-20检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？
1-21检定一只3mA，2.5级电流表的全量程（满刻度）误差，现有
（1）10mA，0.5级；
（2）10mA，0.2级；（3）15mA，0.2级；（4）5mA，0.5级标准电流表各一只，试问应选哪一只比较合理？
为什么？
1-22为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
1-23用两种方法测量L1=50mm;L2=80mm。
分别测得50.004mm；80.006mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
1-24多级弹道火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？
1-25若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为11m和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误5差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。
1-26氢原子的质量等于（1.6730.001）1027kg，而电子的质量等于（9.110.01）1031kg，试问这两个测量值哪一个更精确些？
1-27用毫米钢尺测量某一被测件的长度为80mm，其绝对误差为0.5mm；又用一量角器测量另一被测件的角度为90，其绝对误差为30，试比较二者测量精度的高低。
1-28通过将液体注入U形管来求液体密度为的表面张力，U形管两端的半径分别为r1和r2。
两端高度差经测得为h，由公式hgrr211121=计算。
若h=1.06cm，r1=0.07cm,r2=0.14cm，而它们的测量误差都不大于0.005cm时，试估计的相对误差。
1-29若用测量范围为025mm的级千分尺（示值误差为8m）来测量某轴轴径，读数为12.472mm，试写出测量结果。
1-30什么叫系统误差？
什么叫随机误差？
试比较它们的异同点。
1-31如何根据系统误差与随机误差相互转化的特性来减小测量结果的误差，并举例说明之。
1-32若某一被测件和标准器进行比对的结果为D=20.008mm，现要求测量的准确度、精密度及精确度均高，下述哪一种方法测量结果符合要求？
（1）D=20.0120.004mm；
（2）D=20.0150.003mm；（3）D=20.0150.002mm；（4）D=20.0050.002mm。
1-33什么是有效数字?
规定有效数字有何意义?
1-34如何确定数据的数字位数?
1-35什么是舍入误差?
它对测量结果有何影响?
1-36下列数据的有效数字各是几位?
230，18.5，0.072,0.0720,7.2l0-21-37正确写出下面的结果
（1）26.250.12940.0266
（2）4.25101251011（3）25.238=6（4）6.96710.62=1-38下列数据的最大相对误差各是多少?
哪个数据的精度高?
（l）2.63103;
（2）2630；（3）2.6310-3；1-39试述服从正态分布的随机误差的特性。
1-40试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。
1-41什么叫母体均值？
什么叫子样均值？
1-42什么叫方差？
为什么算术平均值也有标准差？
1-43什么叫不等精度测量？
如何处理其测量结果？
1-44设误差服从正态分布，那么误差落在2,+2中的概率如何？
若服从均匀分布，则概率又如何？
1-45试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在2,+2中的概率。
7第二章第二章误差分析与处理误差分析与处理例例题题例例11测量小轴直径共10次，得到一系列等精度测得值如下（单位mm）：
25.0360，25.0365，25.0362，25.0364，25.0367，25.0363，25.0366，25.0363，25.0366，25.0364。
若已排除了系统误差的影响和剔除了粗大误差，试求其算术平均值及标准差，并写出测量结果。
解解：
列表计算如下：
算术平均值：
标准差，按贝塞尔公式：
算术平均值的标准差：
测量结果为:
8例例22对某一1等米尺，在20C的条件下，进行不等精度测量，获得以下三组测量结果：
试求其最终测量结果。
解解：
已知各组标准差，即可确定各组的权：
加权算术平均值为各组相应的残余误差为加权算术平均值的标准差为9最终测量结果为例例33对某一角度值，分两个测回进行测量，其权等于测量次数，测得值如下试求该角度的最可信赖值及其标准差？
解解：
第一测回的加权平均值及标准差10第二测回的加权平均值及标准差两个测回的权比最可信赖值或例例44在万能测长仪上测量某校对量具。
重复测量8次，测得值（单位mm）为150.0015，150.0017，150.0016，150.0014，150.0013，150.0015，150.0016，150.0014。
试分别以99.73%和95%的概率确定测量结果。
解解：
列表计算如下：
11因测量次数n较小，应按t分布。
置信概率为99.73%时，1=0.0027，1=7置信概率为95%时，2=0.05，2=7查t分布表得t1=4.53,t2=2.36则算术平均值的极限误差为最后测量结果为例例55在立式光学比较仪上鉴定L0=10mm的量块。
所用基准量块4等，其中心长度的实际偏差-0.1m，检定的极限误差lim1=0.2m。
测量时恒温条件为t=202C。
10次重复测得值（单位m）为+0.5，+0.7，+0.4，+0.5，+0.3，+0.6，12+0.5，+0.6，+1.0，+0.4。
试求此测量方法的极限误差，并写出最后结果。
解解：
按测量顺序，用表格记下测得数据。
（1）求算术平均值
（2）求各测得值的残余误差（3）求标准差（4）判断有无粗大误差1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第9个测得值含有粗大误差，将其剔除，根据剩下的9个测得值计算算术平均值及标准差，得选取显著度=0.05，已知n=10查表得k（10,0.05）=2.4313则k9=2.430.00012=0.00029因故第9个测得值含有粗大误差，应予剔除。
剩下9个测得值，再重上述步骤，由判别可知不再含有粗大误差。
2）按格罗布斯准则，按测得值的大小，顺序排列得今有两测得值x
（1）,x（10）可怀疑，但由于故应先怀疑x（10）是否含有粗大误差查表得则故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除。
剩下9个测得值，再重复上述步骤，判别x
（1）是否含有粗大误差。
查表得14故可判别x
（1）不含有粗大误差，而各q（i）皆小于2.11，故可认为其余测得值也不含有粗大误差。
3）按狄克松准则，将测得值从小到大顺序排列得首先判别最大值x（10），因n=10，故计算统计量11查表得则故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除。
再判别最小值x
（1），计算统计量11则故表中第5个测得值不含有粗大误差。
剔除测得值10.001后，再检查其余测得值，此时n=9，检查结果不含有粗大误差。
根据以上三个粗大误差判断准则，均判断第9个测得值含有粗大误差，故应将第9个测得值予以剔除。
（5）分析有无不变系统误差发现和消除不变系统误差的基本措施可用实验对比法，若不能从误差源上及在测量过程中消除不变系统误差，应确定修正值，对算术平均值进行修正。
本例除所用的10mm四等量块有一修正值-0.1m外，别无其他显著的不变系统误差。
（6）检查有无变化的系统误差用残余误差校核法进行检查15因为代数和值为零，故测量列中无变化系统误差。
（7）计算算术平均值的极限误差lim2因n较少，按t分布确定lim2，取显著度=0.0027，自由度=n-1=9-1=8,查t分布表得：
t=4.28则（8）确定此测量方法总的极限误差lim除了算术平均值的极限误差lim2和4等基准量块的检定的极限误差lim1外，作为随机量的温度误差，在有限次重复测量的短时间内不能充分反映在测量结果里，故计算时要另作考虑。
但由于被检量块与基准量块材料基本相同，其线膨胀系数相差甚微，同时被检量块基本尺寸较小，故其温度误差的影响可与忽略不计。
则总的极限误差lim为（9）最后测量结果16习习题题22-11测量误差的数学期望和方差的意义是什么?
22-22若某一误差的数学期望为零，应怎样解释?
22-33测量误差与标准差有何区别与联系?
22-44标准差大的测量数据的误差是否一定大?
22-55随机误差有哪些表征参数?
它们之间有何联系?
22-66极限误差与标准差有何差别与联系?
22-77均匀分布的随机误差有无抵偿性?
为什么?
22-88比较均匀分布与正态分布随机误差的极限误差异同点。
22-99测量某物体重量共8次，测得数据（单位g）为236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47,236.40。
试求算术平均值及其标准差？
22-1010用别捷尔斯法，极差法和最大误差法计算习题2-1的标准差，并比较之。
22-1111测量某电路电流共5次，测得数据（单位mA）为168.41,168.54,168.59,168.40,168.50。
试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差？
22-1212测定雨滴中带有电荷的概率分布密度函数为（式中x表示雨滴数）试求其标准差？
22-1313试论述公式的实际意义及其应用。
22-1414在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位mm）为20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。
试以99%的置信概率确定测量结果。
22-1515对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差=0.005mm,若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置信限？
22-1616用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差=0.004mm，若要求测量结果的置信限不大于0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数？
1722-1717用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差=0.001mm，若要求测量的允许极限误差不超过0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？
22-1188若某量具的系统误差已排除，其测量的标准差为5m，而被测轴径的公差为15m，试问应用该种量具进行测量是否合适，是否可采取其它技术措施？
并写出相应的测量结果。
22-1919已知某仪器测量的标准差为0.5m。
若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。
若重复测量10次，测得值（单位mm）为26.202526.202826.202826.202526.202626.202226.202326.202526.202626.2022试写出测量结果。
若手头无该仪器测量的标准差值得资料，试由问中10次重复测量的测量值，写出上述、问的测量结果。
22-2020测定溴的原子量共10次，测定结果如下：
79.286379.305579.306479.319779.3114,79.315079.306379.314179.291579.3108试求测量结果及其平均误差。
22-2121测定水的气化热共20次，测定结果（单位J）为542.98542.91542.03542.68542.32543.08541.23542.12540.64541.82541.48540.96542.37541.66542.15541.73541.36541.79541.34541.84试求最可信赖值、平均误差和或然误差，并写出测定结果。
22-2222应用基本尺寸为30mm的3等量块，检定立式测长仪的示值稳定性。
在一次调整下作了9次重复测量，测得数据（单位mm）为30.001130.000830.000630.000830.001330.000830.000630.000430.0008若测量值服从正态分布，试确定该仪器的示值稳定性。
22-2323某时某地由气压表得到的读数（单位Pa）为102523.85102391.30102257.97102124.6518101991.33101858.01101724.69101591.36其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差？
22-2424测量某角度共两次，测得值为1=241336，2=241324，其标准差分别为1=3.1，2=13.8，试求加权算术平均值及其标准差？
22-2525在三台测角仪器上测量某角度时，若已知它们的标准差分别为1=0.04，2=0.06，3=0.03，试确定三台仪器上所得测量值相应的权。
22-2626用同一台仪器对同一距离进行两组测量，测得距离分别为227.80.1m和228.30.1m，两者总平均值为228.050.14m，试求此测量结果与两组测得值的权之比。
22-2727甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次，测得值如下：
甲：
7220,730,7235,7220,7215乙乙：
7225，7225，7220，7250，7245试求其测量结果。
22-2828对某被测量x进行间接测量得2x=43.24，3x=64.80，其权分别为9，4，试求x的测量结果及其标准差？
22-2929对某被测量z进行间接测量得2z=1.44，3z=2.18，4z=2.90，其权分别为5，1，1，试求z的测量结果及其标准差？
22-3030试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测得值的权。
22-3131重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2，标准差为0.014m/s2。
另外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为0.022m/s2。
假设这两组测量属于同一正态总体。
试求此50次测量的平均值和标准差。
22-3232200人的平均身高为1.7050.006m，而另一组300人的平均身高为1.7520.005m。
试求这500人的平均身高及其标准差？
22-3333某量的10个测得值的平均值为9.52，标准差为0.08；同一量的20个测得值的平均值为9.49，标准差为0.05。
当权为正比于测得值个数及反比于标准差的平方时，试分别求出30个测得值的平均值及其标准差？
22-3434测定某玻璃棱镜的折射系数，测得数据为1.531.571.541.541.501.511.551.541.561.53若测得数据的权为等权的及权为1，2，3，3，1，1，3，3，2，1时，19试分别求出算术平均值及其标准差。
22-3535对某量进行10次测量，测得数据为14.715.015.214.815.514.614.914.815.115.0试判断该测量列中是否存在系统误差？
22-3636对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位mH）：
前4次:
50.8250.8350.8750.89；后6次:
50.7850.7850.7550.8550.8250.81。
试判断前4次与后6次测量是否存在系统误差？
22-3737等精度测量某一电压10次，测得结果（单位V）为25.94，25.97，25.98，26.03，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。
测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判断是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位V）为25.93，25.94，26.02，25.98，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。
试用t检验法（=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差？
22-3838对某量进行12次测量，测得数据为20.0620.0720.0620.0820.1020.1220.1120.1420.1820.1820.2120.19试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差？
22-3399对某量进行两组测量，测得数据如下：
xi：
14.615.115.414.715.214.8yi：
14.714.815.014.915.315.2试用各种方法判断两种间有无系统误差？
22-4040某量进行两组测量，测得数据如下xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差？
2022-4141为检定某杠杆千分表的示值误差，采用实验统计法，对20mm的量块作20次重复测量，测得数据如下（单位mm）：
20.00220.00120.00020.00120.00019.99819.99820.00119.99819.99920.00220.00020.00020.00320.00020.00219.99419.99820.00219.998。
试判断并剔除粗大误差及确定千分尺示值误差。
22-4242对某量进行15次测量测得数据为28.5328.5228.5028.5228.5328.5328.5028.4928.4928.5128.5328.5228.4928.4028.50若这些测得值已经消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值？
22-4343对某一个电阻进行200次测量，测得结果列表如下：
绘出测量结果的统计直方图，由次可得到什么结论？
求测量结果并写出表达式。
写出测量误差概率分布密度函数式。
22-4444在立式测长仪上，对某尺寸L作100次重复测量，测得其对基准尺寸的偏差Li，经整理后如下表所列：
试写出测量结果试确定对基准尺寸的偏差值在0.75m范围内的概率。
22-4545用三种方法测量某一锥体角度，测得数据分别为1=4355121=52=4355022=10213=4355083=6试求出测量结果及标准差，并写出最终结果表
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