第二章Z变换例题.ppt

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第二章Z变换例题重要概念：

连续系统：

傅里叶变换拉普拉斯变换离散系统：

傅里叶变换Z变换重点：

Z变换收敛域，零极点的概念，Z变换的基本性质和定理，单位取样响应h（n）的Z变换-系统函数与系统稳定性之间的关系。

例1求以下序列的Z变换，并求出对应的零极点和收敛域：

（1）

（2）（3）（4）分析：

中，n的取值范围是的有值范围，z变换的收敛域是满足的z值范围。

解：

（1）由z变换的定义可知：

收敛域为即极点为零点为

（2）由z变换的定义可知：

收敛域为：

极点为零点为：

（3）由z变换的定义可知：

收敛域为极点为零点为（4）由z变换的定义可知：

与的收敛域相同，所以的收敛域是极点零点例2假如的z变换表示式为下式，问可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序列？

分析：

有限长序列的收敛域为特殊情况：

右边序列的收敛域为Rx-|z|因果序列Rx-|z|;左边序列的收敛域为特例双边序列的收敛域为有三种收敛域：

圆内，圆外，环状。

（需单独讨论。

）解：

对X（z）的分子和分母因式分解，得从上式得出，X（z）的零点为1/2,极点为j/2,-j/2,-3/4。

所以X（z）的收敛域为：

（1）为双边序列。

（2）为左边序列。

（3）为左边序列。

例3用长除法，留数定理法，部分分式法求下列X（z）的z反变换。

分析：

（1）长除法：

对右边序列，分子分母都按z的降幂排列。

对左边序列分子分母都按z的升幂排列。

（2）部分分式法：

若X（z）用z的正幂表示，则按X（z）/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x（n）。

（3）留数定理法：

要化成的形式与抵消。

围线内极点留数时不取“”，围线外极点留数时要取“”，解：

（）长除法可知极点z=1/2，而收敛域为，故x（n）为因果序列，所以分子分母按降幂排列。

即所以：

（b）留数定理法：

设为内的逆时针方向闭合曲线。

当时在内有1/2一个单极点，则又因为x（n）是因果序列，故n0时x（n）=0，问相应的定理是什么？

讨论一个序列x（n），其Z变换为X（z）的收敛域包括单位圆，试求其x（0）值。

分析：

求如何由双边序列z变换X（z）求序列初值x（0）。

把序列分成因果序列和反因果序列两部分（它们求初值的表达式不同），分别求x（0）将两部分的x（0）相加即得所求。

解：

当序列满足n0，x（n）=0时有所以有若序列x（n）的z变换为所以X（z）的极点为z1=2，z2=1/2由题知，X（z）的收敛域包括单位圆，则其收敛域为因而，时有值的左边序列，时有值的右边序列。

则得例5有一信号y（n）与另两个信号的关系是其中已知利用Z变换的性质求y（n）的z变换Y（z）。

分析

（1）移位定理

（2）时域卷积定理解：

根据题目条件可得又由移位定理得而所以收敛域例6已知用下列差分方程描述一个线性移不变因果系统

（1）求这个系统的系统函数，并指出其收敛域；

（2）求此系统的单位抽样响应；（3）此系统为不稳定系统，请找出一满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。

分析：

系统函数求收敛域，要先求零极点。

收敛域为z平面某个圆外，则为因果系统（不一定稳定）收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一因果）。

解：

（1）对题中的差分方程两边作z变换，得所以可求得零点为极点为又因为是因果系统，所以是其收敛域。

因为所以式中由于H（z）的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统（3）若要系统稳定，则收敛域应包括单位圆，因此选H（z）的收敛域为，则式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。

所以有此系统是稳定的，但不是因果的。

第三章DFT例题重要概念DFT的定义DFT的周期性，对称性频率域采样定理；DFT的应用圆周卷积与线性卷积例1试求以下有限长序列的N点DFT

（1）

（2）分析：

利用有限长序列的DFT的定义解：

（1）因为所以

（2）因为所以例2设有两个序列各作15点DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为f（n），问f（n）的那些点对应应该得到的点。

分析：

本题相当于在时域作圆周卷积。

设线性卷积结果系列为N点，若作L点圆周卷积，则应将线性卷积结果以L点为周期作周期延拓，混叠相加，然后再取主值区间（n=0L-1）的序列，该序列即为L点圆周卷积结果。

混叠点数为N-L，故在-处发生混叠,n=N-L到N=L-1点处，圆周卷积结果相当于线性卷积结果。

解序列x（n）的点数为，y（n）的点数为，故的点数应为又f（n）为x（n）与y（n）的15点圆周卷积，即L=15。

所以混叠点数为N-L=20-15=5。

即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f（n）时，一个周期内在n=04这5点发生混叠，即f（n）中只有n=5到n=14的点对应于应该得到的点。

例3已知x（n）是N点有限长序列，X（k）=DFTx（n）。

现将长度变成rN点的有限长序列y（n）试求rN点DFTy（n）与X（k）的关系。

分析利用DFT定义求解。

y（n）是rN点序列，结果相当于在频域序列插值。

解由所以在一个周期内，Y（k）的抽样点数是X（k）的r倍，相当于X（k）的每两个值之间插入r-1个其他数值（不一定为零），而当k为r的整数倍时，Y（k）与相等。

例四已知x（n）是N点有限长序列，X（k）=DFTx（n）。

现将x（n）的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列y（n）试求rN点DFTy（n）与X（k）的关系。

分析利用DFT定义求解。

y（n）是rN点序列，结果相当于在频域以N为周期延拓r次。

解由所以Y（k）是将X（k）以N为周期延拓r次形成的。

第四章FFT例题重点概念基2FFT算法及IFFT的快速算法计算时间比较例1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5us,每次复加0.5us。

用它来计算512点的DFTx（n）,问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。

分析

（1）DFT计算：

复乘次数，复加次数N（N-1）。

（2）FFT计算：

复乘次数，复加次数。

解

（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以

（2）FFT计算复乘所需时间复加所需时间所以