高等代数北大版课件5.1二次型的矩阵表示.ppt

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第五章二次型,5.1二次型的矩阵表示,5.2标准形,5.3唯一性,5.4正定二次型,章小结与习题,5.1二次型的矩阵表示,一、n元二次型,二、非退化线性替换,三、矩阵的合同,四、小结,5.1二次型的矩阵表示,5.1二次型的矩阵表示,解析几何中,选择适当角度,逆时针旋转坐标轴,（标准方程）,中心与坐标原点重合的有心二次曲线,问题的引入:

5.1二次型的矩阵表示,代数观点下,作适当的非退化线性替换,只含平方项的多项式,二次齐次多项式,（标准形）,5.1二次型的矩阵表示,一、n元二次型,1、定义：

设P为数域，,称为数域P上的一个n元二次型,n个文字的二次齐次多项式,5.1二次型的矩阵表示,注意,2）式也可写成,1）为了计算和讨论的方便,式中的系数,写成,5.1二次型的矩阵表示,1）约定中aij=aji，ij，由xixjxjxi，有,2、二次型的矩阵表示,5.1二次型的矩阵表示,则矩阵A称为二次型的矩阵.,5.1二次型的矩阵表示,5.1二次型的矩阵表示,于是有,5.1二次型的矩阵表示,注意:

2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.,若且，则,1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即,（这表明在选定文字下，二次型完全由对称矩阵A决定.）,5.1二次型的矩阵表示,例11）实数域R上的2元二次型,3）复数域C上的4元二次型,它们的矩阵分别是：

5.1二次型的矩阵表示,二、非退化线性替换,1、定义：

是两组文字,，关系式,称为由的一个线性替换;,若系数行列式|cij|0,则称为非退化线性替换.,5.1二次型的矩阵表示,它是非退化的.,系数行列式,例2解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度,即变换,5.1二次型的矩阵表示,2、线性替换的矩阵表示,则可表示为X=CY若|C|0，则为非退化线性替换.,注,2）若XCY为非退化线性替换，则有非退化线性替换.,5.1二次型的矩阵表示,即，B为对称矩阵.,3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,事实上，,是一个二次型.,5.1二次型的矩阵表示,三、矩阵的合同,1）合同具有,对称性：

传递性:

即C1C2可逆.,反身性:

注:

1、定义：

设，若存在可逆矩阵,使，则称A与B合同.,5.1二次型的矩阵表示,3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.,2）合同矩阵具有相同的秩.,2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与,A与B合同.,二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型YBY,进而，有:

C可逆,原二次型矩阵是合同的.,5.1二次型的矩阵表示,例2证明：

矩阵A与B合同，其中,一个排列.,证：

作二次型,5.1二次型的矩阵表示,故矩阵A与B合同.,对作非退化线性替换,则二次型化为（注意的系数为）,5.1二次型的矩阵表示,练习写出下列二次型的矩阵,其中,5.1二次型的矩阵表示,答案,5.1二次型的矩阵表示,-,-,4.解：

5.1二次型的矩阵表示,四、小结,n元二次型：

非退化线性替换：

，或X=CY，|C|0.,基本概念,矩阵的合同：

5.1二次型的矩阵表示,基本结论,1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.,3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.,2、二次型XAX可经非退化线性替换化为二型YBY,