高等代数北大版课件7.6线性变换的值域与核.ppt

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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.6线性变换的值域与核,一、值域与核的概念,二、值域与核的有关性质,7.6线性变换的值域与核,7.6线性变换的值域与核,一、值域与核的概念,定义1：

设是线性空间V的一个线性变换，,集合,称为线性变换的值域，也记作或,集合,称为线性变换的核，也记作,注：

皆为V的子空间.,7.6线性变换的值域与核,事实上，且对,有,即对于V的加法与数量乘法封闭.,为V的子空间.,再看,首先，,7.6线性变换的值域与核,又对有从而,即,故为V的子空间.,对于V的加法与数量乘法封闭.,7.6线性变换的值域与核,定义2：

线性变换的值域的维数称为的秩；,的核的维数称为的零度.,例1、在线性空间中，令,则,所以D的秩为n1，D的零度为1.,7.6线性变换的值域与核,1.（定理10）设是n维线性空间V的线性变换，,是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，,则,1）的值域是由基象组生成的子空间，即,2）的秩A的秩.,二、有关性质,7.6线性变换的值域与核,即,又对,证：

1）设,于是,有,7.6线性变换的值域与核,因此，,的秩，又,秩秩,等于矩阵A的秩.,2）由1），的秩等于基象组,由第六章5的结论3知，的秩,7.6线性变换的值域与核,2.设为n维线性空间V的线性变换，则,的秩的零度n,即,证明：

设的零度等于r，在核中取一组基,并把它扩充为V的一组基：

生成的.,由定理10，是由基象组,7.6线性变换的值域与核,但,设,则有,下证为的一组基，即证它们,即可被线性表出.,线性无关.,7.6线性变换的值域与核,设,于是有,由于为V的基.,的秩nr.,因此，的秩的零度n.,故线性无关，即它为的一组基.,7.6线性变换的值域与核,虽然与的维数之和等于n，但是,未必等于V.,如在例1中,注意：

7.6线性变换的值域与核,）是满射,证明：

）显然.,）因为若为单射，则,3.设为n维线性空间V的线性变换，则,）是单射,反之，若任取若,则,即,故是单射.,从而,7.6线性变换的值域与核,是单射是满射.,证明：

是单射,4.设为n维线性空间V的线性变换，则,是满射.,7.6线性变换的值域与核,例2、设A是一个n阶方阵，证明：

A相似于,证：

设A是n维线性空间V的一个线性变换在一,组基下的矩阵，即,一个对角矩阵,7.6线性变换的值域与核,由知,任取设,则,故有当且仅当,因此有,又,所以有,从而是直和.,7.6线性变换的值域与核,在中取一组基：

则就是V的一组基.,显然有，,在中取一组基：

用矩阵表示即,7.6线性变换的值域与核,所以，A相似于矩阵,7.6线性变换的值域与核,线性变换在此基下的矩阵为,1）求及,2）在中选一组基，把它扩充为V的一组基，,并求在这组基下的矩阵.,并求在这组基下的矩阵.,3）在中选一组基，把它扩充为V的一组基，,例3、设是线性空间V的一组基，已知,7.6线性变换的值域与核,解：

1）先求设它在,下的坐标为,故,由于有在下的坐标为,7.6线性变换的值域与核,解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：

从而,是的一组基.,由于的零度为2，所以的秩为2，,又由矩阵A，有,即为2维的.,再求,7.6线性变换的值域与核,2）因为,从而有,所以，线性无关，,就是的一组基.,7.6线性变换的值域与核,而,可逆.,从而，线性无关，即为V的一组基.,在基下的矩阵为,7.6线性变换的值域与核,3）因为,可逆.,而,7.6线性变换的值域与核,从而线性无关，即为V的一组基.,在这组基下的矩阵为,