因式分解经典题及解析讲解学习.docx
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因式分解经典题及解析讲解学习
2013组卷
i•在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事
实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法•例如，如果要因式分解x2+2x-3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？
这时，我们可以采用下面的办法：
222
x+2x-3=x+2*XI+1-1-3①
=（x+1）2-22②
=*■•
解决下列问题：
（1）填空：
在上述材料中，运用了__的思想方法，使得原题变为可以继续用平
方差公式因式分解，这种方法就是配方法；
（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x-3;
（3）请用上述方法因式分解x2-4x-5.
2•请看下面的问题：
把x4+4分解因式
分析：
这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲？
热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）
2222222
-4x=（x+2）-（2x）=（x+2x+2）（x-2x+2）
人们为了纪念苏菲？
热门给出这一解法，就把它叫做热门定理”请你依照苏菲？
热门的做法，将下列各式因式分解.
（1）x4+4y4；
（2）x2-2ax-b2-2ab.
3.下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程.解：
设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
2
=y+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的.
A、提取公因式B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底.（填彻底”或不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解.
4.找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a,并且将其进行因式分解.
5.利用因式分解说明：
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
2
6•已知关于x的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为（3x-2）,试求m的值并将
多项式因式分解.
7•已知多项式（a2+ka+25）-『，在给定k的值的条件下可以因式分解•请给定一个k值
并写出因式分解的过程.
&先阅读，后解题：
要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,
我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：
2
解：
2x+8x+10
=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）
=2（x+4x+2-2+5）
=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）
2
=2（x+2）+2（去掉中括号）
因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x=-2时，原式有最小值2.
请仿照上例，说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值
或者最小值是什么.
9•老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:
甲：
这是一个三次三项式；
乙：
三次项系数为1;
丙：
这个多项式的各项有公因式；
丁：
这个多项式分解因式时要用到公式法；
若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.
10.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x-1）
（x-9）,而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x-2）（x-4）,请你判断正确的二次
x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程:
三项式并进行正确的因式分解.
11•观察李强同学把多项式（
2
解：
设x+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81
=（y+9）2
2
=（x+6x+9）
（1）回答问题：
这位同学的因式分解是否彻底？
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后
结果：
•
（2）仿照上题解法，分解因式：
（x2+4x+1）（x2+4x-3）+4.
12・
（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解）•
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
2
1+x+x（x+1）+x（x+1）=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）2（1+x）②
=（1+x）③
1上述分解因式的方法是，由②到③这一步的根据是;
2若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）+--+x（x+1）2006,结果是__；
3分解因式：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2+--+x（x+1）n（n为正整数）.
13•阅读下面的材料并完成填空：
因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a-b=a+b=p，则有
2
x+px+q=（x+a）（x+b）•
如分解因式x2+5x+6•
解：
因为2>3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）•
再如分解因式x2-5x-6.
解：
因为—6>=-6,-6+1=-5,
所以x2-5x-6=（x-6）（x+1）.
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？
试试看.
2222
因式分解：
（1）x+7x+12;
（2）x-7x+12;（3）x+4x-12;（4）x-x-12.
答案
1•请看下面的问题：
把x+4分解因式
分析：
这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲？
热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）
2222222
-4x=（x+2）-（2x）=（x+2x+2）（x-2x+2）
人们为了纪念苏菲？
热门给出这一解法，就把它叫做热门定理”请你依照苏菲？
热门的做法，将下列各式因式分解.
（1）x4+4y4；
（2）x2-2ax-b2-2ab.
考点：
因式分解-运用公式法.
专题：
阅读型.
分析：
这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.
解答：
4,44222„22
解：
（1）x+4y=x+4xy+4y-4xy,
/2小2、2a22
=（x+2y）-4xy,
2222
=（x+2y+2xy）（x+2y-2xy）;
22
2.下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程.解：
设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
2
=y+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.
A、提取公因式B•平方差公式
C、两数和的完全平方公式D•两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底.（填彻底”或不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x-2）4.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解.
考点：
提公因式法与公式法的综合运用.专题：
阅读型.
分析：
（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;
（2）x2-4x+4还可以分解，所以是不彻底.
（3）按照例题的分解方法进行分解即可.
解答：
解：
（1）运用了C,两数和的完全平方公式;
（2）x2-4x+4还可以分解，分解不彻底;
（3）设x2-2x=y.（x2-2x）（x2-2x+2）+1,
=y（y+2）+1,
2t.
=y+2y+1,
2
=（y+1），
=（x2-2x+1）=（x-1）4.
按照提供的方法和样式解答
点评：
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力,
即可，难度中等.
3.找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a,并且将其进
行因式分解.
考点：
因式分解-十字相乘法等.
分析：
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：
a是-6的两个因数的和，则-6可分成3X
（-2）,-3>2,6X（-1）,-6X1,共4种，所以将x2+ax-6分解因式后有4种情况.
2
解答：
解：
x+x-6=（x+3）（x-2）;
x2-x-6=（x-3）（x+2）;
2
x+5x-6=（x+6）（x-1）;
2
x-5x-6=（x-6）（x+1）.
点评：
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数-6的不同分解是本题的难点.
4•利用因式分解说明：
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
考点：
因式分解的应用.
分析：
根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,禾U用平方差公式进行因式分解，即可证出
结论.
解答:
解：
设两个连续偶数为2n,2n+2,则有
（2n+2）2-（2n）2,
=（2n+2+2n）（2n+2-2n）,
=（4n+2）>2,
=4（2n+1）,
因为n为整数，
所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，
所以4（2n+1）是4的倍数，
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.
点评：
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单.
2
5•已知关于x的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为（3x-2）,试求m的值并将多项式因式分解.
考点：
因式分解的意义.
分析：
由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x-2,所以当x二时多项式的值为0,由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案.
解答:
解：
Tx的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x-2,
2
当x=—时多项式的值为0,
即3＞亠—=0
/•2+m=0,
/•m=-2;
22
•••3x+x+m=3x+x-2=（x+1）（3x-2）;
故答案为：
m=-2,（x+1）（3x-2）.
点评：
本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解.
6.已知多项式（a2+ka+25）-b2，在给定k的值的条件下可以因式分解•请给定一个k值
并写出因式分解的过程.
考点：
因式分解-运用公式法.
专题：
开放型．分析：
根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可．解答：
解：
k=±10，假设k=10，
则有（a2+i0a+25）-b2=（a+5）2-b2=（a+5+b）（a+5-b）.
点评：
此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
7•先阅读，后解题：
要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,
我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：
2
解：
2x+8x+10
=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）
222
=2（x2+4x+22-22+5）
2
=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）
=2（x+2）2+2（去掉中括号）
因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定
为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=-2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．
考点：
配方法的应用；非负数的性质：
偶次方．分析：
按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案．
解答：
解：
-2x2-8x-10
2
=-2（x2+4x+5）=-2（x2+4x+22-22+5）
2
=-2[（x+2）2+1]=-2（x+2）2-2因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么-2（x+2）2-2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=-2时，原式有最大值-2．
点评：
此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用．注意解此题的关键是将原代数式准确配方．
8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：
这是一个三次三项式；
乙：
三次项系数为1；
丙：
这个多项式的各项有公因式；丁：
这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
专题：
开放型．
分析：
能用完全平方公式分解的式子的特点是：
三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．
解答：
解：
由题意知，可以理解为：
甲：
这是一个关于x三次三项式；
乙：
三次项系数为1，即三次项为x3；
丙：
这个多项式的各项有公因式x；
丁：
这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.
故多项式可以为x（x-1）2=x（x2-2x+1）=x3-2x2+x.
点评：
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式.答案不唯一.
9•在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x-1）
（x-9）,而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x-2）（x-4）,请你判断正确的二次
三项式并进行正确的因式分解.
考点：
因式分解的应用.
分析：
此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可.
解答：
解：
2（x-1）（x-9）=2x2-20x+18,2（x-2）（x-4）=2x2-12x+16;由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：
2x2-12x+18;
再对其进行因式分解：
2x2-12x+18=2（x-3）2.
点评：
本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，冋学们要细心对待.
10.观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程:
解：
设x2+6x=y，则
原式=
:
（y+10）（y+8）+1
2
=y+18y+81
=（y+9）2
22
=（x+6x+9）
（1）回答问题：
这位同学的因式分解是否彻底？
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后
结果：
（x+3）4.
（2）仿照上题解法，分解因式：
（x2+4x+1）（x2+4x-3）+4.
考点：
因式分解-十字相乘法等.
专题：
换元法.
分析：
（1）根据x2+6x+9=（x+3）2,进而分解因式得出答案即可；
（2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.
解答：
解：
（1）这位同学的因式分解不彻底，原式=（y+10）（y+8）+1
2
=y+18y+81
=（y+9）2
22
=（x+6x+9）
=（x+3）4.
故答案为：
（x+3）4；
（2）设x2+4x=y，贝9
=y2-2y+1
=（y-1）2
2
=（x+4x-1）
键.
11.
（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：
多项式含有字母m和n,系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）.
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
2
1+x+x（x+1）+x（x+1）=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）2（1+x）②
3
=（1+x）3③
1上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幕
的乘法法则；
2若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+••+x（x+1）2006,结果是（1+x）2007；
3分解因式：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2+--+x（x+1）n（n为正整数）.
考点：
分析：
因式分解-提公因式法.
（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；
（2）首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案.
解答：
3222
解：
（1）m-mn=m（m-n）=m（m-n）（m+n）,
（2）①提公因式法，同底数幕的乘法法则；
2根据①中可发现结论：
（1+x）2007；
3（1+x）n+1.
点评：
此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式
得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力.
12.阅读下面的材料并完成填空：
22
因为（x+a）（x+b）=x+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数
满足a-b=a+b=p，则有
2
x+px+q=（x+a）（x+b）.
如分解因式x2+5x+6.
解：
因为2>3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）.
2
再如分解因式x-5x-6.
解：
因为-6>=-6,-6+1=-5,
所以x2-5x-6=（x-6）（x+1）.
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？
试试看.
因式分解：
（1）x2+7x+12;
（2）x2-7x+12;（3）x2+4x-12;（4）x2-x-12.
考点：
因式分解-十字相乘法等.
专题：
阅读型．
分析：
发现规律：
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于P,则x+px+q=（x+a）（x+b）.
解答：
2
解：
（1）x+7x+12=（x+3）（x+4）;
（2）x2—7x+12=（x-3）（x-4）;
2
（3）x+4x-12=（x+6）（x-2）;
（4）x2-x-12=（x-4）（x+3）．
2
点评：
本题考查十字相乘法分解因式，是x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，应识
2
记：
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
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