完整word版六年级数学思维训练计数综合四.docx
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完整word版六年级数学思维训练计数综合四
2014年六年级数学思维训练：
计数综合四
一、兴趣篇
1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？
2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？
3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：
比赛过程一共有多少种不同的方式？
4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？
5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？
6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：
三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？
7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：
一共有多少种熄灯方案？
8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？
四位数共有多少个？
9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？
10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？
（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）
二．拓展篇
11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：
先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？
13．
（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？
15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？
如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？
16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？
17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？
18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：
共有多少种选菜方案？
20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？
如果站成一圈呢？
21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？
（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）
22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？
三．超越篇
23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？
24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：
记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：
245136→425136→125436．请问：
可以进行5次操作的六位数有多少个？
25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？
如果要穿成一个圈呢？
26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：
在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？
27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：
有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？
28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：
（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？
（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？
29．
（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？
（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？
（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）
2014年六年级数学思维训练：
计数综合四
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？
【分析】数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．
【解答】解：
观察图形可知：
在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，
所以不同的取法共有49×4=196（种）．
答：
一共有196种不同的取法．
2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？
【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有
=
=70种吃法．
【解答】解：
=
=70（种）
答：
共有70种吃法．
3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：
比赛过程一共有多少种不同的方式？
【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2×
=2×
=70种不同的方式．
【解答】解：
2×
=2×
=2×35
=70（种）
答：
比赛过程一共有70种不同的方式．
4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？
【分析】利用插板法可知：
10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个橘子，一共
=
=36种分法．
【解答】解：
=
=36（种）
答：
一共36种分法．
5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？
【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：
+
×
+
×
+
=165种安排播出的方法．
【解答】解：
+
×
+
×
+
=4+
×7+4×
+
=4+42+84+35
=165（种）
答：
共有165种安排播出的方法．
6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：
三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？
【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每组减1个人就剩下40个人了，而且满足有0的情况，所以共有
=
=861种．
【解答】解：
有
=
=861（种）
答：
三个选项的统计数字共有861种不同的可能．
7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：
一共有多少种熄灯方案？
【分析】根据插空法可知：
将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方案有
=
=792种．
【解答】解：
=
=792（种）
答：
一共有792种熄灯方案．
8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？
四位数共有多少个？
【分析】利用插板法：
9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．
【解答】解：
9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔，
共有
=
=28（个）
中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔，
共有
=
=56（个）
答：
三位数共有28个，四位数共有56个．
9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？
【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可．
【解答】解：
用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．
因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，
因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法．
所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒．
10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？
（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）
【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：
1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论．
【解答】解：
×2=5×2=10（种）
答：
共有10种不同的染色方式．
二．拓展篇
11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
【分析】先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排：
1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合：
①由如为3格的单列三个格子可以排成1个；
②4格可以排成2个；
…
可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；
2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：
①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；
②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）；
③384﹣48=336个；所以应该有336个．
【解答】解：
6×8×2×4﹣4×6×2
=384﹣48
=336（个）
答：
一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的“L”型．
12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：
先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？
【分析】由题意可知：
只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7个靶子，第一列三个靶子共
种顺序，第二列和第三列依次有
和
种，由此由乘法原理得共
×
×
种顺序．
【解答】解：
×
×
=35×6
=210（种）
答：
击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序．
13．
（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
【分析】
（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有
=6（种）；
（2）分为两类：
第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有
=24（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似
（1），有
×2=12（种），所以共24+12=36（种）．
【解答】解：
（1）
=6（种）
答：
这只青蛙共有6种可能的跳法．
（2）
+
×2
=24+12
=36（种）
答：
这只青蛙共有36种可能的跳法．
14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？
【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．
【解答】解：
一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形，
另一条直线也是如此，也有3个三角形．
以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．
其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2）
当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）．
答：
从图中最多可以数出210个三角形．
15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？
如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？
【分析】
（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；
当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；
当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；
当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法；
…
当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；
共有：
18+17+16+…+1=171（种）．
（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：
一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法．
【解答】解：
18+17+16+…+1=171（种）
20+1=21（种）
答：
每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．
16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？
【分析】每吃完一块，都有两种选择：
继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．
【解答】解：
29=512（块）；
答：
一共有512种不同的吃法．
17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？
【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：
当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，
当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，
当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，
…
当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，
由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．
【解答】解：
赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：
当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，
当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，
当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，
…
当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，
由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）
答：
共有71395种可能的三种票数的统计情况．
18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．
【解答】解：
7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”，
共有
=
=56（种）
答：
有56种不同的选法．
19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：
共有多少种选菜方案？
【分析】考虑两种方法：
①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；
②利用插空法解决：
相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有
=715种．
【解答】解：
方法一：
四盘都一样：
10，
三盘一样：
10×9=90，
两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，
两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360，
没有两盘一样的，
=210，
最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）．
方法二：
让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有
=715种．
答：
共有715种选菜方案．
20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？
如果站成一圈呢？
【分析】也有三种，
（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：
3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20×
×
种方法；
（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有
×
种．
【解答】解：
（1）20×
×
=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1
=604800（种）
答：
3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法；
（2）
×
=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1
=30240（种）
答：
如果站成一圈共有30240种排列方法．
21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？
（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）
【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：
2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．
【解答】解：
2310=2×3×5×7×11，
根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，
第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．
答：
这样的长方体有25个．
22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？
【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：
4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果．
【解答】解：
首先涂法可分两类：
用3种颜色和用4种颜色；
用三种颜色先分步：
4种颜色中选3种N=4，
每相对的2个面颜色相同，
先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，
涂邻面2种情况涂邻面的对面，
涂剩下的2个面1种，
此步情况数N=4×3×2=24（种）
当使用四种颜色，6个面4个颜色：
相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色
换成剩下的那个颜色有24×3=72（种）
所以，总情况数24+72=96（种）
答：
共有96种不同的染色方法．
三．超越篇
23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？
【分析】当3个红球都不相邻时，7
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