初中数学知识点总结(华师大).doc

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初中数学知识点总结

七年级上

有理数

1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。

2．正数和负数

像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。

像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

【注】0既不是正数也不是负数。

3．有理数

（1）整数：

正整数、零和负整数统称为整数。

分数：

正分数和负分数统称为分数。

有理数：

整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类

按有理数的定义分类2）按正负分类

正整数正整数

整数0正有理数

有理数负整数有理数正分数

正分数0负整数

分数负有理数

负分数负分数

【注】有限循环小数叫做分数。

（3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。

所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。

4．数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

【注】1）数轴的三要素：

原点、正方向、单位长度缺一不可。

2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．

（2）在数轴上比较有理数的大小 

1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2）由正、负数在数轴上的位置可知：

正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

5．相反数

（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

（几何意义） 

（3）0的相反数是0。

也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

（5）数a的相反数是—a。

（6）多重符号化简  

多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。

如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。

可简写为“奇负偶正”。

6．绝对值

（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 

（3）绝对值的主要性质 

一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． 

（4）两个相反数的绝对值相等． 

（5）运用绝对值比较有理数的大小 

两个负数，绝对值大的反而小. 

（6）比较两个负数的方法步骤是：

1）先分别求出两个负数的绝对值； 

2）比较这两个绝对值的大小； 

3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 

7．有理数的加法

（1）有理数加法法则

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3）互为相反数的两个数相加得零。

4）一个数与0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律

加法交换律：

a＋b＝b＋a

加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

8.有理数的减法

减去一个数等于加上这个数的相反数。

a-b=a+（-b）

9．有理数的加减混合运算

（1）省略加号和的形式：

在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。

例如：

把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。

读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。

（2）适当的应用加法运算律。

10．有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。

（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

（3）乘法运算律

乘法交换律：

ab=ba

乘法结合律：

（ab）c=a（bc）

乘法对加法的分配律：

a（b+c）=ab+ac

11．有理数的除法

（1）倒数：

乘积为1的两个数互为倒数。

【注】0没有倒数。

（2）有理数除法法则1：

除以一个数等于乘以这个数的倒数。

【注】0不能做除数。

（3）有理数的除法法则2：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不等于的数，都得零。

12．有理数的乘方

（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

个

（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。

（3）有理数乘方法则：

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。

13．科学记数法

（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。

（2）一个大于0的数就记成的形式。

其中n是正整数。

像这样的记数法叫做科学记数法。

（3）用科学记数法表示一个数时，10的指数等于原数的整数位数减1。

（或等于小数点向右移动的位数。

14．有理数的混合运算

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。

15．近似数和有效数字

（1）准确数：

完全符合实际的数。

（2）近似数：

和准确数非常接近的数。

近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

（4）近似数的精确度有两种形式：

1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。

第三章整式的加减

1．用字母表示数

2．代数式

（1）由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也叫代数式。

【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。

代数式中不可含有“>”、“<”、“=”、“”、“”、“”等表示相等或不等关系的符号。

（2）代数式书写要求

1）代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。

但数字与数字相乘时，要用“”。

2）数字与字母相乘时，数字写在字母的前面。

3）除法运算写成分数形式。

4）带分数与字母相乘时，要把带分数写成假分数。

5）在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在后面，若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在后面。

（3）解释简单代数式表示的实际背景

（4）列代数式

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列代数式。

【注】抓住题中表示运算关系的关键词：

如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。

（5）代数式的值

一般的，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。

【注】1）代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。

所以求代数式值时，在代入前必须写出“当……时”。

2）代数式里字母的取值必须确保代数式有意义。

3．单项式

（1）如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

（2）单项式的系数：

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

（3）单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

【注】1）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。

2）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。

4．多项式

（1）几个单项式的和，叫做多项式。

其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

（2）多项式的次数：

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

（3）一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：

x+2x+18是一个二次三项式。

【注】1）多项式的次数不是所有项的次数和。

2）多项式的每一项都包括它前面的正负号。

5．整式单项式与多项式统称为整式。

6．升幂排列与降幂排列

为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。

若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母降幂排列。

若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按这个字母升幂排列。

【注】重新排列的多项式，每一项一定要连同它的正负号一起移动。

含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。

7．整式的加减

（1）同类项：

所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。

（2）合并同类项：

根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。

合并同类项法则：

在合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

（3）去括号与添括号

1）去括号法则：

括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变正负号。

a+（b+c）=a+b+ca-（b+c）=a-b-c

2）添括号法则：

所添括号前面是“十”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括h号前是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号。

a+b+c=a+（b+c）a-b-c=a-（b+c）

（4）整式的加减先去括号，再合并同类项。

第五章图形的初步认识

1．生活中常见的立体图形

（1）球体

（2）柱体：

包括圆柱和棱柱。

1）圆柱：

有两个底面是圆，侧面是曲面。

2）棱柱：

上下两个底面是两个平行且相同的多边形，侧面是平行四边形。

棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（3）椎体：

包括圆锥和棱锥。

1）圆锥：

有一个底面是圆，侧面是曲面。

2）棱锥：

底面是多边形，侧面是三角形。

棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

（4）多面体：

由平的面围成的立体图形。

2．画立体图形

（1）视图：

就是从正面、上面、和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图。

正视图：

从正面看到的图形。

俯视图：

从上面看到的图形。

侧视图：

从侧面看到的图形。

依观看方向不同，有左视图、右视图。

三视图：

通常把正视图、俯视图、与左（或右）视图称作一个物体的三视图。

（2）球体的三视图都是圆。

正方体的三视图都是正方形

圆柱体的正视图和左视图都是长方体，俯视图是圆。

圆锥体的正视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，中心有一个点。

3．由视图到立体图形

主视图：

可分清物体的长与高。

俯视图：

可分清物体的长与宽。

左视图：

可分清物体的宽与高。

口诀：

主俯长对正，主左高齐平，俯左宽相等。

4．立体图形的表面展开图

多面体是由平面图形围成的的立体图形，沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体的表面展开成一个平面图形，这个平面图形叫做多面体的表面展开图。

正方体的表面展开图：

有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型”

口诀：

一行不过四，“田”“凹”应弃之，相间、Z端是对面。

5．平面图形

（1）圆是由曲线围成的封闭图形。

（2）多边形：

由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。

按照组成多边形的边的个数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……

在多边形里，三角形是最基本的图形，每个n边形都可以分割成（n-2）个三角形。

6．最基本的图形——点和线

（1）点：

通常表示一个物体的位置。

（2）线段、射线、直线

线段：

有两个端点，不向任何一方延伸，可度量。

有两种表示方法线段AB（BA），或线段a。

a

A

B

O

A

射线：

有一个端点，向一方无限延伸，不可度量。

有一种表示方法射线OA.。

l

A

B

直线：

没有端点，向两方限延伸，不可度量。

有两种表示方法直线AB（BA），直线l。

（3）两点之间，线段最短。

经过两点有且只有一条直线。

（4）线段长短的比较

1）度量法

2）叠合法，就是把其中一条线段移到另一条线段上，使其一个端点重合，然后去加以比较。

（5）画一条线段等于已知线段。

已知：

线段MN,

求作：

一条线段AC，使AC=MN。

做法：

1）画一条射线AB

2）用圆规量出线段MN的长

3）在射线AB上截取AC=MN，则线段AC就是要画的线段。

（6）线段中点把一条线段分成相等的点，叫做这条线段的中点。

7．角

（1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

（2）角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的中边。

【注】角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短无关。

（3）角的表示方法

1）用数字表示单独的一个角。

如∠1，∠2等

2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。

如∠，∠等

3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只有一个角）的角。

如∠O，∠A等。

4）用三个大写的英文字母表示任意一个角，但必须把表示角的顶点的字母写在中间。

如∠AOB，∠BOC等。

（4）角的分类

锐角<∠<

直角∠=

钝角<∠<

平角角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角。

∠=

周角角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角。

（5）角的度量

1周角=1平角=。

（6）用角表示方向

一般以正北、正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向。

例如，北偏东。

（7）角的比较

1）度量法

2）叠合法把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。

（8）画一个角等于已知的角

已知：

∠AOB

求作：

∠CDE=∠AOB

作法：

1）画射线DE

2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

3）以点D为圆心，以OM长为半径作弧，交DE于P。

4）以点P为圆心，以MN长为半径作弧，交前一条弧于Q。

5）经过点Q画射线DC。

则∠CDE为所求。

（9）角的平分线

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

（10）角的特殊关系

1）互为余角：

两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。

互为补角：

：

两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

2）等角或同角的余角相等。

等角或同角的补角相等。

3）对顶角两条直线相交得到的，有公共的顶点，没有公共边的两个角。

4）对顶角相等

8．相交线

（1）两条直线相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

若直线AB、CD互相垂直。

记作“”

（2）垂线的性质

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

简述为“垂线段最短”。

（3）点到直线的距离

1

2

4

3

5

6

7

8

l

a

b

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

9．相交线中的角

直线l截直线a、b得到八个角。

同位角：

在截线l的同一侧，被截直线a、b的同一方，这样位置的一对角叫做同位角。

如∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

内错角：

在截线l的两侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做内错角。

如∠5与∠3，∠6与∠4。

同旁内角：

在截线l的同一侧，被截直线a、b的内部，这样位置的一对角叫做同旁内角。

如∠3与∠6，∠4与∠5。

10．平行线

（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

若直线a与直线b互相平行，记作“//b”。

【注】1）在同一平面内两条直线的位置关系只有平行与相交。

2）线段、射线平行是指它们本身所在的直线平行。

（2）平行公理：

经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（3）画一条直线与已知直线平行一贴二靠三推四画

（4）平行线的判定

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

垂直于同一条直线的两条直线平行

（5）平行线的性质

两直线平行，同位角相等

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

第五章数据的收集与表示

数据的收集

明确调查对象确定调查对象选择调查方法展开调查记录结果得出结论

频数：

表示每个对象出现的次数

频率：

表示每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。

即频率=频数/数据总数。

所有小组的频率之和等于1

频数和频率都能够反映每个对象的频繁程度。

5．数据的表示

（1）扇形统计图：

是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形的面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图。

它可以直观的反映出各部分数量在总量中所占的份额。

（2）条形统计图：

是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图。

它们可以直观的反映出数据的数量特征。

如果有两个研究对象，常常把两个对象的相应数据并列表示在同一张条形统计图中。

（3）折线统计图：

是用折线表示数量变化规律的统计图。

它能反映出各部分数据的变化趋势。

（4）统计图表：

可以准确的反映出数据的不同特征。

七年级下

一元一次方程

1．解一元一次方程

（1）方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。

方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变。

（2）移项将方程的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。

（3）一元一次方程：

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

（4）解一元一次方程的一般过程

去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。

但要灵活运用。

（5）列方程解应用题的一般思路

实际问题审题找出等量关系设未知数（分直接设法和间接设法）列方程解方程检验解得合理性

二元一次方程

二元一次方程：

有两个未知数，并且未知项的次数是1，这样的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：

把两个二元一次方程合起来。

二元一次方程组的解：

使二元一次方程组中的两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值。

二元一次方程组的解法：

（1）代入消元法

从方程中选出系数比较简单的方程进行变形，即将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的的代数式表示出来。

代入消元，即将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

解这个一元一次方程，求出未知数的值。

回代求解，即将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。

把求得的未知数的值联立写成的形式。

（2）加减消元法

方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，是其中一个未知数的系数互为相反数或相等。

把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

解这个一元一次方程。

将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数。

把求得的未知数的值联立写成的形式。

一元一次不等式

不等式

用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子，叫做不等式。

【注】常见的不等号有：

“>”、“<”、“”、“”、“”五种。

不等式的解

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

不等式的解集

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。

【注】不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，大于向右，小于向左，有等号画实心圆，无等号画空心圆。

a

a

不等式的基本性质

性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。

性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b，并且c<0，那么ac

一元一次不等式

只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

一元一次不等式的解法

同解方程类似，主要有去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。

但这里的去分母和系数化为1时需要注意若乘以或除以的数是负数，不等号需要改变方向。

一元一次方程的解只有1个，但一元一次不等式的解有无数个。

一元一次不等式组把两个一元一次不等式和在一起，就得到了一元一次不等式组。

一元一次不等式组的解集不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。

解集的确定方法

口诀：

同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见。

a

b

x

a

x>b

b

a

b

a

b

a

无解

10利用一元一次不等式解决实际问题

和列方程解应用题步骤类似，有审设列解验答

多边形

三角形

（1）三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。

这三条线段就是三角形的边。

（2）在三角形里，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，一个三角形有三个内角。

（3）三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。

【注】CB的反向延长线是从点B到点C方向延长得到的一条射线。

（4）在三角形中，每两边的交点叫做三角形的顶点，三角形共有三个顶点。

2．三角形的分类

（1）按内角的大小分类

直角三角形

三角形

斜三角形锐角三角形

钝角三角形

（2）按边分类

不等边三角形

三角形

等腰三角形等边三角形（正三角形）