材料力学内部习题集及答案.doc
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第二章轴向拉伸和压缩
2-1一圆截面直杆，其直径d＝20mm,长L=40m，材料的弹性模量E=200GPa，容重γ＝80kN/m3,杆的上端固定，下端作用有拉力F=4KN，试求此杆的：
⑴最大正应力；
⑵最大线应变；
⑶最大切应力；
⑷下端处横截面的位移。
解：
首先作直杆的轴力图
⑴最大的轴向拉力为
故最大正应力为：
⑵最大线应变为:
⑶当（为杆内斜截面与横截面的夹角）为时，
⑷取A点为轴起点，
故下端处横截面的位移为：
2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L。
已知杆横截面面积为A，长度为L,材料的容重为。
解：
距离为x处的轴力为
所以总伸长
2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。
在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P及其方位角θ的大小。
解:
由胡克定律得
相应杆上的轴力为
取A节点为研究对象，由力的平衡方程得
解上述方程组得
2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1＝F2＝F，已知杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为ε＝cσn，其中c、n为由试验测定的常数。
（1）试计算杆的总伸长；
（2）如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？
（3）当n＝1时，上述两解答是否相同？
由此可得什么结论？
解：
（１）轴力图如图（a）所示。
根据：
则
（２）采用叠加法。
单独作用F1时，轴力图如图（b）所示。
单独作用F2时，轴力图如图（c）所示。
则
（３）当n=1时，上述两解答相同。
结论：
只有当与成线性关系时，叠加法才适用于求伸长。
2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移，已知两根杆的抗拉刚度均为EA。
解：
取C点分析受力情况，如图（b）所示，得
因此只有CD杆有伸长
变形几何图如图（c）所示，得。
2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。
已知钢丝的E＝210GPa，绳横截面面积A＝100mm2，荷载F＝20KN，试求C点的铅垂位移（不计绳与滑轮间的摩擦）。
解：
首先要求绳的内力。
刚性梁的受力分析如图，
由平衡方程：
解得：
绳的原长
绳的伸长量为
在作用下结构变形如图，
可得：
再由三角几何关系得：
由、式联立可得：
又因为：
所以，
2-7图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径d1=20mm，E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆，直径d2＝25mm，E2=100GPa，试求：
（1）外力F作用在何处（x＝？
）时AB梁保持水平？
（2）如此时F＝30kN，则两拉杆横截面上的正应力各为多少？
解：
（1）.容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为
从而AC杆、BD杆的伸长量
若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即.
于是,
（2）.当时，两拉杆横截面上的正应力分别为
2-8图示五根杆的铰接结构，沿其对角线AC方向作用两力F＝20kN，各杆弹性模量E=200GPa，横截面面积A＝500mm2，L＝1m，试求：
（1）AC之间的相对位移△AC，
（2）若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移△BD又如何？
解：
（1）取节点为研究对象，受力分析如图（b）
由平衡方程：
得
同理，可得：
节点受力分析如图（c）
，
,,四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应变能相同，可求得整个杆件应变能为：
力作的功为：
由弹性体的功能原理得：
当两力移至两点时，可知，只有杆受力，轴力为
所以
从而
2-9图示结构，已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2,E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。
解：
取AB为研究对象，选取如图所示坐标轴，
故，即,
即,
于是得，
，即，
于是，
解得：
，
所有构件的应变能为
由功能原理得，作的功在数值上等于该结构的应变能
即：
所以.
2-10图示结构，已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力，并求下端B点的位移。
解：
（1）以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示
由得
得
以刚性杆为研究对象，受力图如图（b）所示
由得
由得
（2）由于1，2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降（如图（c））
由于3，4杆的伸长引起B点的继续下降（如图（d））
则
2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。
已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。
（1）如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？
（2）如改变ɑ角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少？
解：
（1）取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.
由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.
即
而
则
于是,此时绳子不会被拉断.
（2）绳子被拉断时
其中
则
解得:
答：
（1）N=417N
（2）L=1.988m
2-12图示结构，BC为刚性杆,长度为L,杆1、2的横截面面积均为A，其容许应力分别为[σ1]和[σ2]，且[σ1]=2[σ2]，荷载可沿梁BC移动,其移动范围0＜x＜L,试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？
解：
分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A，而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式可知，破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。
本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即
此时，对力的作用点求矩得：
解得：
此时，由竖直方向的受力平衡得：
2-13图示结构，AC为刚性杆,BD为斜撑杆,荷载F可沿杆AC移动,试问：
为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角θ应取何值？
解：
如图所示，取整体为研究对象，对A点取钜，由得：
而
则
要想使重量最轻，应该使sin2θ最大，即2θ=90º
解得：
θ=45º
2-14铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力[σ]=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。
解：
由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。
取整体为研究对象，对A点取钜，由得：
解得：
取D节点为研究对象，由平衡方程得：
则可以解得：
同理，对于B节点，也有平衡方程：
则可以解得：
于是，由许用应力定义得：
2-15圆截面钢杆如图所示，已知材料的E=200GPa，若杆内应变能U=4N·m,试求此杆横截面上的最大正应力。
解：
各截面压力相同为
应变能
代入数据可得kN
MPa
2-16图示杆件的抗拉（压）刚度为EA，试求此杆的应变能。
解：
如图所示，为杆件的轴力图，则杆件的应变能计算应该分为两部分。
其中：
则：
第三章扭转
3-1直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力τmax=100Mpa，试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。
解：
法1距圆心处切应力为
阴影部分扭矩k
法2:
距离圆心处切应力为
kN
3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。
管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为GB和GA。
试分别求出该组合杆承受扭矩MT时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。
答：
实心杆：
，空心管：
解：
设实心杆受扭矩，空心管受扭矩，且两杆的最大切应力出现在外边缘处，
由已知得+=；
对两杆接触截面的相对转角相同，即=；
且=，=；
所以=，=；
则实心杆：
=，
空心管：
=
3-3图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑，轴的容许扭矩因此降低了多少（用百分比表示）？
解：
由题意可知，从强度方面考虑，
即：
截面为圆时，
当截面为正方形时，如图，边长
查表可得，当时，
所以
所以降低为：
3-4受扭转力偶作用的圆截面杆，长L=1m，直径d＝20mm，材料的剪切弹性模量G＝80GPa，两端截面的相对扭转角φ＝0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变γ、横截面上的最大切应力τmax和扭转力偶矩Me。
答：
γ=1×10－3，τmax＝80MPa，Me＝125.6N•m
解：
由公式,=
得出Me＝125.6N•m
且==80MPa，
由，得==.
3-5圆截面橡胶棒的直径d＝40mm，受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86º，如杆长L＝300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的G＝2.7MPa，试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。
解：
rad
所以rad
MPa
另外因为
所以
3-6一根在A端固定的圆截面杆AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。
杆在B端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面C处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位置。
如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MD和ME。
当刚性臂及指针仍保持水平时，试求MD和ME。
解：
扭矩图如图（a）所示
要保证指针及刚性臂保持水平
则
得
（1）
得
（2）
（1）、
（2）两式联立
得
3-7图示圆截面杆，其全长受集度为m=的均布扭转力偶作用，并在中点受其矩为T的扭转力偶作用，试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。
解：
对1-1截面，有
.
.
对2-2截面，有
.
.
作出扭矩图.
（2）杆的应变能
.
第四章弯曲应力
4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。
解：
（a）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AC段：
CB段：
3、作剪力、弯矩图
（b）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AB段：
3、作剪力、弯矩图
（c）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AC段：
CB段：
3、作剪力、弯矩图
（d）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AC段：
CB段：
3、作剪力、弯矩图
4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。
解：
（a）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
CA段：
AB段：
3、作剪力、弯矩图
（b）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
CA段：
AD段：
DB段：
3、作剪力、弯矩图
（c）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AB段：
BC段：
3、作剪力、弯矩图
（d）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AC段：
CD段：
DB段：
3、作剪力、弯矩图
（e）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AB段：
BC段：
3、作剪力、弯矩图
（f）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
CA段：
AD段：
DB段：
3、作剪力、弯矩图
4-3已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图。
梁内若有集中力偶，则作用在右端。
解：
依据剪力与弯矩的微分关系作图
4-4已知简支梁的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图。
解：
依据剪力与弯矩的微分关系作图
4-5试作图示简单刚架的内力图。
解：
（a）1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
即得
2、列内力方程
AB段：
BC段：
3、作内力图
（b）1、计算支反力由平衡方程得
2、列内力方程
AB段：
BC段：
3、作内力图
（c）1、计算支反力由平衡方程得
2、列内力方程
AB段：
BC段：
CD段：
3、作内力图
（d）1、计算支反力由平衡方程得
2、列内力方程
AB段：
BC段：
CD段：
3、作内力图
4-6试作图示梁的内力图。
解：
对系统进行受力分析（如图b1）
由得
由得，由得
因此图示梁的内力图如图b2所示。
（M图有问题）
4-7试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成？
解：
由题意只需要考虑两种临界情况即可。
1、当力F在中间位置时，由对称可知
最大弯矩发生在正中，即
2、当力F在最边缘位置时，由平衡条件：
即得
即得
最大弯矩发生在B处，即
所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时最佳，即
即
4-8试推导梁受均布弯曲力偶m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。
解：
由题意如图所示，由平衡条件：
即得
即得
所以AB段：
4-9已知悬臂梁及其剪力图如图a、b所示，若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。
从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画出其方向和转向。
解：
由剪力图知AC段受均布力作用，大小为；C点受集中力；BC段受均布力，大小为
则可作出荷载图与弯矩图如下：
4-10一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为M（x）=ax3+bx2+c，其中a、b和c为有量纲的常数。
x的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义。
解：
当x=0时，因此c表示自由端作用的弯矩为c。
由为三元一次函数得知,集中荷载为一元一次函数，令并且以自由端为原点建立坐标系（如图所示）
得
即
所以。
4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的长度a与梁长L之比。
解：
1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、列剪力、弯矩方程
AB段：
BC段：
3、作弯矩图
4、由弯矩图可知，当时，最大弯矩值最小，
解得或（舍去）
4-12独轮车过跳板，如跳板的支座A是固定铰支座，试从最大弯矩考虑，支座B放在什么位置时，跳板的受力最合理？
解：
如图（ａ）所示，当Ｆ位于AB中点Ｃ或者位于跳板的右端点D时，会在跳板上产生最大的弯矩。
当F位于C处时：
所以
又所以
所以此时弯矩图如图（b）所示。
当Ｆ位于Ｄ处时：
所以
所以
得因此
此时弯矩图如图（c）所示。
最合理时，即，得，因此当时最合理。
4-13开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为h（垂直于纸面），p为均匀压强，试求此环在任意截面1-1上的弯矩。
解：
如图，在任意截面1-1处，
在1-1截面与开口之间取一小段长为，宽为，则所受合力
对截面1-1处的弯矩为
所以对整段环的合弯矩为
4-14如图所示，已知b×h的矩形截面杆，其弹性模量为E，承受三角形分布载荷P（x），其方向与x轴夹角为，试导出杆的内力与载荷的微分关系。
解：
取坐标为和处的两横截面，设坐标为处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。
该处的荷载集度为，则在坐标为处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。
梁段在以上所有外力作用下平衡。
故，
即，
解得：
；
又，即,
解得：
；
再由，即，
二阶无穷小项得：
.
4-15宽为b=30mm，厚为t=4mm的钢带，绕装在一个半径为R的圆筒上。
已知钢带的弹性模量E=200GPa，比例极限σp=400MPa，若要求钢带在绕装过程中应力不超过σp，试问圆筒的最小半径R应为多少？
解：
由题意钢带的曲率为即可知越大，R越大；
所以
4-16空心圆截面梁如图所示。
试求横截面1-1上K点处的正应力，并问哪个截面上相应于此K点位置的正应力最大，其值等于多少？
解：
1、求支反力由平衡方程
即得
即得
2、求1-1截面处的弯矩
3、求该截面上K点处的正应力
4、求由于无均布荷载，根据微分关系可知最大弯矩在拐点处，
其中，，，
所以，则
4-17用相同材料制成的两根梁，一根截面为圆形，另一根截面为正方形，它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。
试求两梁横截面上最大正应力的比值。
解：
设截面面积为A，圆形截面直径为d，正方形截面边长为a，则有
即由公式得最大正应力分别为
所以
4-18T形梁截面如图所示。
已知截面上M=3.1kN·m，Iz=53.1×10－6m4，试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上部分截面的正应力构成的总压力及压力作用点的位置。
解：
根据得
（“-”号表示压应力）
解得
4-19梁的横截面如图所示。
如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变ε=－0.0003，下端纵向纤维拉伸应变ε=0.0006。
试求截面上阴影部分总的法向内力。
已知材料的E=200GPa。
解：
由及得：
，
由于同一截面上、及相同，故与成正比。
由上端，下端得：
，
故，
阴影部分总的法向内力为：
4-20矩形截面梁的截面尺寸如图所示。
已知梁横截面上作用有正弯矩M=16kN·m及剪力Fs=6kN，求图中阴影面积Ⅰ及Ⅱ上的法向内力及切向内力。
解：
分析截面：
由对称知中性轴既是形心主轴
由积分得
（压力）
（拉力）
4-21为了提高梁的弯曲强度，如图所示在矩形截面上增加肋板，如肋板的高度较小时，反而会使弯曲强度降低，已知尺寸b、b1、h，试求抗弯强度为最低时的肋板高度h1。
解：
梁的正应力强度条件为
由题意可知
而，所以只需求解，将梁截面分为三部分
令得：
所以
4-22图示圆形截面悬臂梁，受均布荷载q作用，试计算梁横截面上最大切应力、最大正应力及它们两者的比值。
解：
剪力图，弯矩图如图所示。
由圆形截面知
所以，。
4-23矩形截面梁高为h，试问在距中性轴多远处，横截面上的切应力等于平均切应力？
解：
距截面中性轴为y处的切应力
题4—23图
其中为截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。
则
平均切应力为，式中，要使截面上切应力等于平均切应力，即使，
解得
4-24木制悬臂梁受载如图所示。
试求中性层上的最大切应力及此层水平方向的总剪力。
答：
τmax=0.3MPaFs*=30kN
解：
分析截面
梁所受剪力为
则中性层上的最大切应力为
此层水平方向的总剪力为
4-25T形截面梁如图所示。
已知Fs=100kN，Iz=11340×10－8m4，试求中性轴及翼缘与腹板交界点处的切应力。
解：
分析截面
由得
中性轴上
交界点处
4-26已知梁横截面上的弯矩M=60kN·m，横截面尺寸如图所示。
试求此截面上的最大正应力。
解：
分析截面
所以
4-27由50ａ号工字钢制成的简支梁如图所示。
试求横截面上的最大正应力和最大切应力。
解：
1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、作剪力图与弯矩图
由图可知
3、求最大正应力和最大切应力
4-28试求图示梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并绘出危险截面上正应力和切应力的分布图。
解：
1、计算支反力由平衡方程：
即得
即得
2、作剪力图与弯矩图
由图可知
3、求最大正应力和最大切应力
分析截面
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