苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版).docx
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八年级数学（上）期末复习+例题解析
第一章三角形全等
1、全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：
①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：
①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：
①边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：
①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：
①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：
①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.
A
B
C
D
E
例题评析
例1已知：
如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，
求证：
AB=AC．
B
C
D
E
F
A
例2已知：
如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：
△ABC≌△DEF．
B
C
D
E
F
A
例3已知：
BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：
①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．
例4如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,
BC、DE交于点O.求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE.
例5如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
例6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点
B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个三角形与△AED全等，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH的值会变化吗？
若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。
例7已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时
（2）中的结论是否成立？
请画出图形并给予证明．
复习作业：
解答题
1.
（1）如下图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=__________。
分析：
由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_____________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。
（2）请你利用第
（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如右图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：
EF2=BE2+FC2 。
2.如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：
（1）OA=OB；
（2）AB∥CD．
3.如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，
∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
4.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF.
5.已知：
如图，AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.
求证：
BC=ED.
6.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE相交于F.求证：
AF平分∠BAC.
7.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，M点在边AC上，且CM＝2，过M点作AC的垂线交AB边于E点.动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为每秒1个单位，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP，EC.在此过程中，
⑴当t为何值时，△EPC的面积为10？
⑵将△EPC沿CP翻折后，点E的对应点为F点，当t为何值时，PF∥EC？
8.在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD，AG，BD.
⑴如图1，求证：
AG＝BD.
⑵如图2，试说明：
S△ABC＝S△CDG.（提示：
正方形的四条边相等，四个角均为直角）
图1
图2
第二章轴对称
1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、轴对称的性质：
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；
3、线段的垂直平分线：
①性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：
三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
4、角的角平分线：
①性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
②判定定理：
到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：
三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
5、等腰三角形：
①性质定理：
⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
（三线合一）
②判断定理：
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。
（等角对等边）
6、等边三角形：
①性质定理：
⑴等边三角形的三条边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；
拓展：
等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。
②判断定理：
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7、直角三角形推论：
⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展：
直角三角形常用面积法求斜边上的高。
例题评析
1、线段的对称轴有条，是
9
2、线段垂直平分线上的点到的
距离相等
∵
∴
3、到距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵
∴
∵
∴
∴
例1：
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是_______；
（2）若△ABC的周长是30，△ABD的周长是25，则AC＝_______．
例2：
如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D.
（1）若BC＝8，则△ADE的周长是_______；
（2）若∠BAC=110°，那么∠EAD＝______
（3）若∠EAD=100°，那么∠BAC＝______
4、角的对称轴有条，是
5、角平分线上的点到的距离相等
∵
又∵
∴
6、角的内部到距离相等
的点在角的平分线上
∵
又∵
∴
例3：
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.
（1）若CD=5，则点D到AB的距离为.
（2）若BD：
DC=3：
2，点D到AB的距离为6，则BC的长是.
例4：
如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B．
下列结论中，不一定成立的是（）
A．PA=PBB．PO平分∠APB
C．OA=OBD．AB垂直平分OP
补充：
①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等
②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等
1.请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
2.如图，求作点P，使点P同时满足：
①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．
7、等边对等角
∵
∴
8、等角对等边
∵
∴
9、等腰三角形、
、
重合（三线合一）
（有条对称轴）
∵∵∵
又∵又∵又∵
∴∴∴
例5：
（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为
（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为
（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．
（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=．
例6：
（1）如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．
（2）如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=_____．
③
（3）如图③，AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=_____．
例7：
如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，
交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．
例8：
如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：
BD=CE．
例9：
在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：
BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：
△AEF≌△BCF．
10、
（1）等边三角形的性质：
等边三角形的三条边，三个角都是，每条边上都有三线合一，有条对称轴
（2）等边三角形的3个判定方法：
三条边都的三角形是等边三角形
三个角都的三角形是等边三角形
有一个角是的三角形是等边三角形
例10：
（1）如图①，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=____．
（2）如图②，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC＝_______．
A
B
C
D
（3）如图③，已知等边△ABC，AC=AD,且AC⊥AD，垂足为A，则∠BEC＝_______．
①②③
例11：
如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．下列五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________（填序号）．
例12：
如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．
求证：
AE∥BC．
11、直角三角形斜边上的中线等于
∵
又∵
∴
12、用等积法求直角三角形斜边上的高
SΔABC=
=
13、直角三角形中，30°的角所对的直角
边等于
∵
又∵
∴
例12：
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，且CD=4cm，则AB=_______．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD=．
例13：
如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，
连接GF，求证：
GF⊥DE．
例14：
如图，已知：
三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：
△DEF为等腰直角三角形．
相关练习：
1．如图，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．
2．如图，在边长为2等边△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．
3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明
（1）△DCF为直角三角形；
（2）DE=EF．
4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．
5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：
EC平分∠DEF．
6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．BE与DF相等吗？
请说明理由．
7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作
△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
试说明：
（1）△ACE≌△DCB．
（2）PC平分∠APB．
8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．
（l）求BE的长；
（2）试说明BD=ED
9．画图、证明：
如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．
②求证：
△CDF为等腰直角三角形
10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：
DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：
ME=BD．
11.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.
（1）小棒能无限摆下去吗？
答：
.（填“能”或“不能”）
（2）若已经摆放了3根小棒，则θ1=___________，θ2=__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）
（3）若只能摆放4根小棒，求θ的范围.
12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶
点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：
△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？
若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？
若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．
（1）试说明DE＝DF．
（2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数．
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _______．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于
16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；②MO＝NO；③OP⊥MN；④MD＝ND．其中正确的有
17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．
（1）当∠DQC＝30°时，求AP的长．
（2）作PE⊥AC于E，求证：
DE＝AE＋CD．
18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，
∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．
（1）求∠A的度数；
（2）若AC＝6cm，求AD的长度．
19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积为__________cm2．
20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．
AC=80m．BC=60m．
（1）若入口E在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口E到出口C的最短路线的长；
（2）若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元／m，则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低?
最低造价是多少?
第三章勾股定理
勾：
直角三角形较短的直角边
股：
直角三角形较长的直角边
弦：
斜边
1、勾股定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。
2、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：
3,4,5； 6,8,10；9,12,15； 5,12,13。
4、简单运用：
⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；
理解：
①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。
②用于证明线段平方关系的问题。
③利用勾股定理，作出长为的线段
⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；
理解：
①确定最大边（不妨设为c）；
②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
⑶难点：
运用勾股定理立方程解决问题。
例题评析
1、勾股定理：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
∵
∴
例1：
（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是8cm2、10cm2、14cm2，则正方形D的面积是_______cm2．
（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为
（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．
例2：
（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______.
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:
AB=3:
4，AB＝25，则AC＝______
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