量子力学的矩阵表示.doc

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§4.2量子力学的矩阵表示

一、态的表示

二、算符的表示

三、量子力学公式的矩阵表示

用力学量完全集的正交、归一和完备的本征态矢量的集合作基底的表象，称为表象。

为书写简便，用代表，用代表，用代表本征值谱.把表象简称为表象。

以分立谱为例

本征方程：

基底：

正交归一化：

封闭关系：

一、态的表示

态在表象上的表示为一个列矩阵

矩阵元代表态在基底上的投影，或称为展开系数。

它可在坐标表象上计算

态和的内积可以通过列矩阵相乘得到

其中

，.

这是因为

若，则称态和正交。

而则是指态是归一化的。

基底在自身表象上的表示为

¬第行

基底的正交归一化写成.

态向基底的展开写成

展开系数

.

对于连续谱情况

本征方程：

基底：

正交归格化：

封闭关系：

态在表象上的表示矩阵成为本征值的函数

态和的内积为

因为

归一化条件为

.

而基底在自身表象上表示为

.

二、算符的表示

1．算符用矩阵表示

算符是通过对态的作用定义的。

因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。

矩阵是算符在表象上的表示

矩阵元为

可以在坐标表象上计算。

下面会看到，在坐标表象上矩阵元的计算公式为

式中.

【例】用包括Hamilton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。

在一维谐振子的能量表象上，计算坐标，动量和本身的表示矩阵。

利用矩阵元公式

得坐标，动量和的表示矩阵

2．在自身表象上力学量算符的表示

在自身表象上力学量算符的表示是一个对角矩阵，而对角元素就是这个力学量的本征值。

因此，求解力学量的本征值问题，可以通过选择合适的基底，使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。

对角元素就是待求的本征值，而所用的基底就是待求的本征态。

3．Hermite共轭矩阵和Hermite矩阵

（1）Hermite共轭矩阵

矩阵的Hermite共轭矩阵定义为：

将转置且矩阵元取复共轭

.

例如

，.

若算符的表示矩阵为，则Hermite共轭算符的表示矩阵必为的Hermite共轭矩阵．

证明：

即«，«.

（2）Hermite矩阵

若，则称为Hermite矩阵。

若为Hermite矩阵，则

Hermite矩阵的非对角元是关于主对角线复共轭反射对称的，对角元为实数。

（对角元）

例如，的Hermite矩阵一定取下面形式

其中和为实数。

Hermite算符的表示矩阵必为Hermite矩阵。

4．算符在坐标和动量表象上的表示

（1）在坐标表象上的表示

例如Hamilton量表示为

注意，式中的函数代表“矩阵”是对角的，只在积分运算中起作用。

上述动量的表示可作如下理解

将上式中的被积函数写成

则原式为

即

为什么被积函数不写成的形式呢？

这完全是为了符合基本假定.

为导出算符在坐标表象上的表示，首先把按和作展开。

如果二元函数在附近可作展开

则算符可展开为

然后计算矩阵元，即可得到

.

【例】证明坐标表象上矩阵元的计算公式为

其中.

证明：

【例】证明

证明：

要证明的第二式是第一式的复数共轭。

（2）动量表象

例如在动量表象上Hamilton量表示为

.

【例】一维谐振子能量本征方程的动量表象形式为

.

证明：

其中

代入后积分，即证。

【例】设质量为的粒子处于势场中，为非零常数。

求与能量对应的本征波函数。

解.显然无束缚态解。

本征方程坐标表象形式为

而动量表象形式为

比坐标表象形式容易求解。

通过Fourie变换可得本征态的坐标表象表示

.

【思考】证明

三、量子力学公式的矩阵表示

下面列出量子力学重要公式在表象上的矩阵形式。

1．薛定谔方程的矩阵形式

其中

，

，

证明：

，

2．力学量平均值公式的矩阵形式

，

证明：

【例】在自身表象上，写出力学量在态上的平均值。

解.

3．本征方程的矩阵形式

有非零解的条件称为“久期方程”

这是一个次幂代数方程，为表象空间的维数。

求解久期方程可得个实根，构成本征值谱

把代回本征方程可得相应本征态

，

若有重根，则出现简并。

【例】已知在正交归一化基底所张开的三维空间中，体系能量算符的表示矩阵为

求能量的本征值和本征态。

解.在以为基底的表象上，的本征方程为

久期方程为

解得能量本征值，和，分别代入本征方程并利用归一化条件可得到相应本征波函数

，，

，，

，，