交巡警服务平台的设置与调度方案.docx
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交巡警服务平台的设置与调度方案
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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B
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2011年9月12日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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交巡警服务平台的设置与调度方案
摘要
本文是对交巡警服务平台设置与调度问题的分析研究，分别完成了对城区A的辖区划分、快速封锁、添加平台方案的确定，然后对全市六个城区的交巡警服务平台设置的合理性进行了评价，最后完成了对犯罪嫌疑人围堵方案的确定。
问题一主要解决三个问题，分别是
（1）辖区划分；
（2）快速封锁；（3）添加平台。
（1）辖区划分时，先以就近原则为各个服务平台划分管辖范围；对于划分结果中出现的工作量不均衡的情况，我们定义了工作量均衡度，以工作量均衡度为优化目标，对辖区的划分进行了调整，使各平台的工作量更为平衡。
对于
（2）快速封锁问题，要从20个交巡警平台中选出13个去封锁进出路口，整个封锁过程所用时间由路程最长的路径所确定。
我们对所有方案中的最长路径进行筛选，得到快速封锁的最优方案。
对于（3）添加平台问题，我们以平台覆盖率最大及工作量均衡度最高建立双目标优化模型，得到结论添加4个平台，其位置分别在29、38、61、92四个节点。
问题二中，对于合理性的评价，我们首先建立了评价标准，考查案发率分布与平台分布的一致性，对现有平台设置作出了较为合理的评价，并提出了改进意见及解决方案。
对于P点犯罪嫌疑人的围堵，我们采用逐圏搜索方案，就是由中心点向外扩散，先寻找与它相连的点，测算是否能在犯罪嫌疑人到达之前封锁它们，如果能，则方案完成；否则，从未能封锁的第一圈中的点继续向外扩散，测算是否能封锁与该点相连的下一圈的点，如果能则结束，否则，依此类推进行搜索，最终完成对犯罪嫌疑人的围堵。
关键词：
平台覆盖率；工作量均衡度；双目标优化；逐圈搜索
一、问题重述
“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。
如果有明显不合理，请给出解决方案。
如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二、问题分析
问题一由三部分组成，分别是
（1）辖区划分；
（2）快速封锁；（3）添加平台。
其中，
（1）（3）问题联系紧密，我们将其放在一起讨论。
问题
（1）要求当管辖范围内发生突发事件时，交巡警尽量能在3分钟内到达事发地，即要求其管辖范围内的路口节点到该服务平台的路程小于等于3km。
同时，问题（3）要求在考虑出警时间的同时，还要考虑工作量的均衡性，因此通过确定新增服务平台的个数，并对服务平台的管辖范围进行适当的调整，从而使得管辖范围的划分更为合理。
对于
（2）快速封锁问题，要求从20个交巡警平台中选出13个去封锁这13个路口。
交巡警从各自平台出发到达13个交通要点，分别构成了13条路线。
在各种因素都相同的条件下，整个封锁过程所用时间的长短取决于这13条路线中路程最长的那一条路线所用的时间。
所以，遍历搜索所有方案，比较各方案的最长路程，其中，最长路程最短的那一种方案可最快完成封锁，即为最优方案。
问题二中，为了对全市六个城区交巡警服务平台设置的合理性进行评价，首先明确平台设置的原则和目的，建立合理的评价标准，用案发率与平台分布之间的关系来衡量平台设置的合理性。
对于P点犯罪嫌疑人围堵方案的确定，由于我们对犯罪嫌疑人的逃跑路线是完全不确定的，只能确定罪犯在三分钟时间内有可能达到的范围。
我们通过对犯罪嫌疑人可能到达的地段的推算，确定最小围堵的范围，使得所有交巡警人员到位时，罪犯还没有到达或逃出这个围堵范围。
此方案即为最佳围堵方案。
三、模型假设
1、整个模型以节点作为划分交巡警服务平台的管辖范围的基本单位；
2、警车的速度一定，交巡警到达事发现场的时间只与路程的远近有关，不考虑警车行驶过程中其它人为或自然因素对时间的影响；
3、假设每辆警车只会在图中所示道路上行驶，且只会在路口节点处转弯；
4、假设事发现场都在路口节点，不会出现在道路上；
5、假设犯罪嫌疑人在驾车逃跑的时候，选择的路线是随机的；
6、假设犯罪嫌疑人的驾车逃跑速度不超过60km/h；
7、假设全市交巡警在对犯罪嫌疑人进行围堵时，对罪犯的行驶路线完全不确定。
四、符号说明
符号
描述
（Xi,Yi）
第i路口坐标，单位km
Pi
第i路口的发案率
Dij
第i个路口到第j个路口的最短路径，单位km
Ri
第i个路口到
Ai
第i个交巡警服务平台的位置标号
Ui
第i个交巡警服务平台的管辖节点集
Eti
第i个出入口标号
Wi
第i个交巡警服务平台的工作量指标
交巡警服务平台的平均工作量
E
交巡警服务平台工作量的均衡程度
Cpi
第i个交巡警平台所覆盖的路口数量（以3分钟行程为界）
C
交巡警服务平台覆盖率
R
交巡警服务平台覆盖半径，单位km
N
路口总数
na
增加的交巡警服务平台数，
NA
交巡警平台总数
Sij
0-1变量，表征A区中第i号路口被第j号交巡警服务平台管辖与否
Qij
0-1变量，表征A区中第i号路口被j号交巡警服务平台覆盖与否
五、模型建立与求解
5.1数据预处理
根据图论知识，对附件2中的“全市交通路口节点数据”与“全市交通路口的路线”数据进行处理，将A区中92个路口节点之间的距离关系转换成对应的无向图的邻接矩阵表示形式（该邻接矩阵即为上述路口节点分布图的数字存储形式），然后利用Floyd最短路径算法，计算出两两路口节点之间的最短路径。
具体实施过程如下：
Step1:
图的邻接矩阵表示。
首先根据附件2中A区路口节点坐标和线路图计算出A区路口连通情况，并形成描述这92个路口节点位置分布关系的二维邻接表
，其中没有直接连通的两个路口节点之间的距离，以一个相对较大值表示（表示无穷大），以便于后面更新。
Step2:
迭代计算，计算最短路径。
对任意两节点
，若存在
，使
，则更新
Step3:
停止迭代，得到最短路径矩阵。
直到所有点的距离不再更新停止计算。
则得到最短路距离矩阵
，
。
上述求解过程可通过编程实现（具体程序见附录一），各路口节点之间的最短路径
见附录二。
5.2第一问
设置交巡警服务平台的首要目的是更好地维护社会稳定，保护人民群众的生命财产安全，及时迅速地做出反应，打击违法犯罪活动。
因此要求该服务平台反应迅速、灵活机动。
为保证出警速度，我们以三分钟内到达案发地点为标准，为交巡警平台划分辖区。
但是，我们一味强调出警速率，而不考虑警务资源的合理分配，会导致工作量的严重失衡。
所以在考虑出警迅速的同时，也要保证工作量的均衡。
我们建立了出警速度和工作量均衡性的双优化模型，得到较好的结果。
问题一的求解过程由三部分组成，分别是
（1）辖区划分；
（2）快速封锁；（3）添加平台。
5.2.1辖区划分
为交巡警服务平台划分管辖区域时，要求能在3分钟内有交巡警到达事发地。
由于警车的速度为60km/h，因此，服务平台能够管辖的范围最大为3km。
但是按这种原则进行划分时，会出现管辖范围交叉的现象，交叉范围内的节点如何划分将影响平台工作量的均衡性，因此我们将划分过程分为两步：
Step1：
对城区A中的每个路口节点，分别计算出它到该区内20个交巡警服务平台的路程大小，并暂时将其划分到路程最小的那个服务平台的管辖范围；
Step2：
分析Step1划分后的结果，以平台工作量的均衡性为标准，重新划分交叉节点的辖区归属。
在此，我们首先给出工作量指标的定义，工作量=交巡警服务平台到路口的距离×该路口的发案率。
由定义，第i个交巡警服务平台的工作量为：
。
则交巡警服务平台的平均工作量为：
工作量均衡程度可用各服务平台与平均值的偏离程度，即各服务平台工作量的方差之和来表示：
。
其中，E表示交巡警服务平台工作量的均衡程度。
首先，我们对城区A中的节点进行标号，如下图所示：
图5-1城区A中各个节点的标号
我们用Step1对城区A的所有路口节点进行辖区划分，得到划分结果如下：
表5-1Step1对所有节点的划分结果
交巡警平台号
所管辖节点
1
1
67
68
69
71
73
74
75
76
78
2
2
39
40
43
44
70
72
3
3
54
55
65
66
4
4
57
60
62
63
64
5
5
49
50
51
52
53
56
58
59
6
6
7
7
30
32
47
48
61
8
8
33
46
9
9
31
34
35
45
10
10
11
11
26
27
12
12
25
13
13
21
22
23
24
14
14
15
15
28
29
16
16
36
37
38
17
17
41
42
18
18
80
81
82
83
19
19
77
79
20
20
84
85
86
87
88
89
90
91
92
表5-2服务平台到其管辖范围内的各路口节点的距离
交巡警平台号
路口节点到服务平台的距离
1
0
1619
1207
500
1140
1029
626
930
1284
640
2
0
3682
1914
800
949
860
1606
3
0
2271
1266
1524
1840
4
0
1868
1739
350
1031
1937
5
0
500
849
1230
1660
1171
2084
2303
1522
6
0
7
0
583
1140
1281
1290
4190
8
0
828
930
9
0
2055
502
424
1095
10
0
11
0
900
1643
12
0
1789
13
0
2709
906
500
2385
14
0
15
0
4752
5701
16
0
608
1118
3406
17
0
850
985
18
0
806
671
1080
539
19
0
985
447
20
0
1175
447
361
1466
1295
949
1303
1599
3601
可计算出上述划分方案中所有交巡警服务平台的工作总量为113214.9（单位），而工作量的均衡程度为376406675.2095（单位）。
由表5-1中数据可知，服务平台1、2、5、20工作量较大，而平台6、10、12管辖范围内的节点过少，只有它本身，说明此方案在工作量均衡性方面存在很大问题。
由表5-2中的结果可知，整个辖区的划分结果中，始终有六个路口节点（28、29、38、39、61、92）到服务平台的距离大于3km。
我们用Step2对Step1结果进行调整，调整的步骤如下：
（1）对服务平台1、2、5、20中的所有路口节点重新调整，先计算出它到20个服务平台距离；
（2）对于距离小于3km的所有平台，该节点优先划分到包含节点数最少的那个平台的管辖范围；
（3）如果距离小于3km的所有平台包含的节点数相等，则优先选择距离最近的那个服务平台。
经过调整后的划分结果如下：
表5-3经过Step2调整后的辖区划分情况
巡警平台号
所管辖节点
1
1
67
69
71
73
74
75
2
2
39
40
68
70
72
3
3
44
54
55
65
66
4
4
57
60
62
63
64
5
5
49
52
53
56
58
6
6
47
50
51
59
7
7
30
32
48
61
8
8
33
46
9
9
31
34
35
45
10
10
26
11
11
27
12
12
25
13
13
22
23
24
14
14
21
15
15
28
29
16
16
36
37
38
17
17
41
42
43
18
18
81
82
83
84
90
91
19
19
77
79
76
78
80
20
20
85
86
87
88
89
92
由表5-3中数据可计算，所有服务平台的总工作量为124687.1（单位），而工作量的均衡程度为177506326.8095（单位）。
相对调整之前，虽然总工作量有所增加，但工作均衡程度改善了52.84%。
此方案中服务平台工作量分配较为平衡，但仍有六个路口节点（28、29、38、39、61、92）到服务平台的距离大于3km，这是由于现有平台分布状况本身所造成的，因此它具一定的不合理性。
我们将在5.2.3中，通过增加服务平台个数来改善这一情况。
5.2.2快速封锁
快速封锁方案需要从城区A中的20个交巡警平台中选出13个去封锁13个进出路口。
从平台出发到达指定的进出路口，共构成了13条路线。
在各种因素都相同的条件下，整个封锁过程所用时间由这13条路线中路程最长的那一条路线所确定。
其中，最长路程最短的那一种方案可最快完成封锁，即为最优方案。
快速封锁算法实现过程如下：
Step1：
分别将13个进出路口到20个平台的距离从小到大排序，形成13*20的矩阵T。
Step2：
在矩阵T加选定最左边的Col_num列，Col_num初始值取3，因为小于3列时，所包括的不重复的交巡警服务平台个数未达到13个，不可能实现围堵。
Step3：
在13*Col_num矩阵中搜索一条13*1的向量，搜索按由上至下，由左至右进行的顺序进行，要求该向量中不重复的交巡警服务平台。
若找不到则将Col_num自增1，并返回此步。
Step4：
找到符合要求的向量，解析成对应的封锁方案。
下表为Step1中所得到的13*20矩阵。
表5-413个进出路口到20个平台的距离从小到大排序情况（部分）
进出路口号
从左往右各节点距离进出路口逐渐变远
1
12
11
13
10
14
9
8
16
……
2
14
13
16
9
11
8
7
12
……
3
16
9
8
7
3
5
6
15
……
4
13
14
11
12
10
16
9
8
……
5
13
11
14
12
10
16
9
8
……
6
13
11
14
12
10
16
9
8
……
7
13
12
11
10
14
9
8
16
……
8
15
7
9
8
5
16
6
10
……
9
15
7
8
5
6
9
16
10
……
10
7
8
5
6
9
15
16
10
……
11
16
2
9
17
4
1
8
3
……
12
7
5
6
8
9
15
16
4
……
13
4
3
1
19
5
6
2
20
……
通过编程实现上述计算过程（具体见附录三），可得如下封锁方案。
表5-5快速封锁的最优方案
封锁的路口号
12
14
16
21
22
23
24
28
29
30
38
48
62
交巡警平台号
12
14
16
13
11
10
9
15
7
8
2
5
4
5.2.3添加平台
辖区划分得到的结果（表5-3）中，我们可知：
（1）在“路程最短”原则下，为各交巡警服务平台划分管辖范围时，各服务平台工作量会出现严重不均衡的现象。
（2）在重新对管辖范围进行调整后，仍有6个节点到服务平台的距离大于3km。
因此，在增加服务平台时，首先应使所有节点满足到服务平台的路程小于等于3km这一条件。
在此基础上，为了进一步确定新增平台的数量和位置，我们以出警时间最少且工作量均衡性最好为优化目标建立规划模型进行求解。
除了之前定义的工作量均衡程度指标，我们用交巡警服务平台覆盖率来衡量出警时间。
出警时间长短可用交巡警服务平台在一定行程内的覆盖率来衡量，由于认为警车行驶速度为常量，故出警时间长短可与出警行程进行等效折算，所以若路口节点距服务平台距离过远，则出警时间过长，出警行程也相应较大，因此这些路口节点将超出一定行程范围，从而不在巡警服务平台的有效覆盖范围之内，从而反映到巡警服务平台的有效覆盖指标上。
在此，给出交巡警服务平台覆盖率指标定义：
交巡警服务平台覆盖率是指以交巡警服务平台为中心，以警车3分钟行程（3km）为半径作覆盖区域圆，整体覆盖率指所有交巡警服务平台覆盖路口数与总路口数的比值，即：
在本问的“辖区划分”环节中，我们的两个指标分别为：
（1）工作量的均衡程度为
177506326.8095（单位）
（2）有效交巡警服务平台覆盖率C=93.5%
假设增加的平台数为Na（2≤Na≤5）,我们从剩下的72个节点中选出Na个节点，以平台覆盖率最大及工作量均衡度最高为优化目标，建立如下多目标优化模型。
Ø优化目标：
（1）交巡警服务平台的平均工作量尽可能的均衡，即E尽可能小；
（2）交巡警服务平台覆盖率尽可能高，即C尽可能大。
Ø约束条件：
（1）增加的交巡警服务平台数Na，（2≤Na≤5）；
（2）增加的交巡警服务平台的位置只能在A区剩余的72个路口中选取；
（3）以“路口到交巡警服务平台最近”为各平台管辖范围划分原则。
具体表述如下：
其中，
●NA表示交巡警平台总数，NA=20+na
●na表示增加的交巡警服务平台数，
●N表示路口总数，这里N=92
●Wi表示第i个交巡警服务平台的工作量指标，I=1,2,…,20+NA
●
表示交巡警服务平台的平均工作量
●Cpi第i个交巡警平台所覆盖的路口数量（以3分钟行程为界）
●
●Dij表示第I个路口到第j个路口的最短路径，单位km
●Pi表示第i路口的发案率
●Cpj表示第i个交巡警平台所覆盖的路口数量（以3分钟行程为界）
●
●R表示交巡警服务平台覆盖半径，这里为3km
此优化模型的求解比较复杂，如果直接全局搜索，在运行时间上无法承受。
为此，我们以有效交巡警服务平台覆盖率为优先考虑目标，以到最近服务平台距离大于3km的6个路口节点及其领接节点为搜索集，在此基础上进行遍历搜索，得到如下结果：
（1）增加交巡警服务平台数na=4；
（2）各交巡警服务平台所在节点为29、38、61和92。
经过上述调整后，两个指标分别为：
（1）工作量的均衡程度为
106506326.1025（单位）
（2）有效交巡警服务平台覆盖率C=100%
前后对比，工作量的均衡程度改善了近
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