高等数学教案一.docx
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高等数学教案一
湖南机电职业技术学院学期授课计划
学期2008年9月至2009年1月学年度第一学期
课程名称
高等数学
使用教材
名称及版别
《大学数学应用基础》湖南教育岀版社第二版
采用大纲名
称及拟定者
《高等数学》教学大纲校编
适用专业班级
酒管0801、02电子0801、02网络0801—03软件0801、02
本课程总课时
48
本期前已授课时0
本学期总课时
周课时
讲课
实验
测验
复习
机动
40
4
34
2
4
本计划制定教师谭洁
本计划使用教师谭洁田智关章才童丽娟
教研室主任
系主任
教务处长
本课程本学期教学目的及要求：
教学目的：
通过本课程的学习使学生掌握高等数学的思想与思维方式，提高理性
思维的能力，全面改善学生的素质，加强分析问题的能力，应用意识和创新意识的培养,注重高等数学教学中弘扬人文精神的教化作用，以期在数学教学中全面体现知
识，能力和素质的统一.
教学要求：
对高职学生来说，要掌握相关的高等数学的理论与知识，根据我校学
生的知识层次和课程设置的要求，在教学中从以下几方面提高学生的素质与能力，
做到学有所用，学以致用.首先精选教学内容，再精简相关的内容，把总课时控制在44左右，其次在教法上尽量使用现代教学方式，提高教学质量，培养学生科学的思维
方法和用数学的意识，了解常见的解题技巧与方法.重点知识掌握函数的极限、函数的导数与微分，函数的极值和最值的应用，以及不定积分的初步知识和定积分意义
与运用。
学期授课计划
序号
周次
授课内容提要
授课形式作业
1
1
§1.1-§1.6函数、函数的特性、反函数、幕函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数
面授P6:
3P10:
4,5
P12:
1
2
§1.9-§1.10数列的极限、函数的极限
面授P44:
4
3
2
§1.11-§1.12
无穷小与无穷大、极限的运算法则
面授P49:
4,5
4
§1.13极限存在准则，两个重要极限
面授P59:
3
5
3
§1.14函数的连续性
面授P66:
6,7
6
§2.1导数的概念
面授P87:
4，5
7
4
§2.2-§2.3函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则
面授P92:
1单P95:
1单
8
§2.4-2.5隐函数的导数、初等函数的导数
面授P101:
2
9
5
§2.7-§2.8高阶导数、函数的微分
面授P116:
3单，4
10
§3.2罗必达法则
面授P137:
2单
11
6
§3.3函数单调性的判别法
面授P140:
2单
12
§3.4函数的极值
面授P145:
1单
13
7
§3.5函数的最大值和最小值
面授P148:
6,7
14
§3.6-§3.7
曲线的凹凸与拐点，函数图像的描绘
面授
p155:
1
（1）
（2）;2
（1）
15
8
§4.1不定积分的概念
面授P176:
3
16
§4.2不定积分的运算法则与直接积分法
面授P181:
1
（1）—（8）
17
9
§4.3换元积分法
面授P189:
1
（1）—（8）
18
§4.4分部积分法
面授P193:
（1）—（8）
19
10
复习
（一）
面授
20
复习
（二）
面授
备注：
严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延
湖南机电职业技术学院教案
（一）
备课组长签名：
教师签名：
班级
日期
课题：
§1.1-§1.6函数、函数的特性、反函数、幕函数、指数函数与对数函数、三
角函数与反三角函数、复合函数、初等函数
教学目的（知识、技能、态度）：
1、介绍高等数学学习方法，了解与初等数学之间的区别与联系；
2、复习函数概念，认识几个特殊函数，掌握函数的几种特性。
3、复习几个常见函数的，掌握其特性和图像性质。
教学重点：
函数的特性
教学难点：
函数与反函数的关系
课型：
新授课
主要教学方法：
启发引导式讲授法
教学过程设计（时间大体分配）
教学方法
I.组织教学：
自我介绍，课程介绍与要求，考勤
U、新课教学
一、函数定义
设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x函数。
记作yf（x）。
其中x叫自变量，y因变量。
二、函数的几种特性
（1）函数的奇偶性
如果函数f（x）对于疋义域内的任何x，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。
例如，f（x）x2,由于f（-x）=f（x），所以，如果点M（x,f（x））在函数图形上，那么它关于y轴的对称点Mx（-x,f（x））也在图形上，因此，偶函数的图形关于y轴对称。
（2）函数的周期性
5'
5'
10'
对于函数y=f（x），如果存在不为零的常数T,使关系式f（xT）f（x）对于定义域内任何x值都成立，则称函数f（x）为周期函数，T叫做f（x）的周期，一般我们所说的周期是指最小正周期。
例如，sinx，cosx是周期函数，它的周期是2n。
（3）函数的单调性
如果对于区间（a,b）内的任意两点x1和x2，当x1f（x2），贝U称函数f（x）在区间（a,b）内是单调减少的。
单调增加的或单调减少的函数统称为单调函数。
类似地，可以定义无穷区间上的单调函数。
单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的；单调减少函数的图形是沿x
轴正向逐渐下降的。
（4）函数的有界性
设函数在区间I内有定义（I可以是函数f（x）的整个定义域，也可以只是定义域的一部分）。
如果存在正的常数M使得对于区间I内的任何x值，恒有f（x）M，贝U称函数f（x）在区间I内是有界的；如果这样的M不存在，则称函数f（x）在I内是无界的。
三、反函数
在自由落体运动中，我们选定时间t为自变量，距离S为函数，则距离S与t的函数关系为S；gt2.我们也可以选取距离S作为自变量，则时间t作函数,这时t与S的函数关系式为t捷,我们称t惨是S丄gt2的反函
\g\g2
数。
当然S1gt2也是t、2S的反函数，它们互为反函数。
2Vg
一般地，设给定y是x的函数y=f（x），如果把y当作自变量，x当作函数，则由y=f（x）所确定的函数x=（y）叫做函数y=f（x）的反函数，而f（x）叫直接函数。
习惯上，我们总是用x表示自变量，y表示因变量。
因此，我们把反函数x=（y）改写为y=（x），称y=（x）和y=f（x）互为反函数。
10'
15'
四、幕函数、指数函数、对数函数
幕函数：
函数yx，其中卩为任意实数，叫幕函数，它的义定域随卩的
不同而不同。
但不论卩取什么值，幕函数在（0,+x）内总有定义，且图形
1
都通过（1，1）。
yX中，卩=1,2，3，丄，-1是最常见的幕函数。
有些幕
2
函数具有奇偶性。
例如yx2是（-%，+x）内的偶函数，而yx3是（-X，+x）内的奇函数。
指数函数：
函数yax（a>0,1）叫做指数函数，它的定义域是（-x，+x）。
因为恒有ax>0,及a0=1,所以指数函数的图形总在x轴上方，且通过点（0,1）。
以常数e=2.71828…为底的指数函数yex，是科技中常用的指数函数，关于常数e的意义本章将详细说明。
指数函数具有单调性。
例如，ye在（-°°,+x）内是单调增加的，而ye1在（-^,+x）内是单调减少的。
对数函数：
指数函数yax的反函数，记作ylogax（a0,a1），叫做对数函数，它的定义域是（0,°）,对数函数的图形，可以从它所对应的指数函数yax的图形按反函数的作图规则作出。
工程实际问题中常遇到的以e为底的对数函ylog：
叫做自然对数函数，简记作y=lnx。
五、三角函数与反三角函数
常用的三角函数有，正弦函数y=sinx（-°（-°y=cotx（xn的全体实数），其中自变量要用弧度作单位，n为任意整数。
三角函数都具有周期性，正弦函数和余弦函数是以2n为周期的周期函
数；正切和余切函数是以n为周期的周期函数。
正弦函数和余弦函数的函数值介于-1和1之间，即lSinxl1,bos』1,因此，y=sinx和y=cosx在（-°,+°）内是有界的，而y=tgx和y=ctgx分别在'2’丿与（0,n）内是无界的。
10'
10'
15'
反三角函数是三角函数的反函数，对于上述四种三角函数，其相应的反
函数为反正弦函数y=arcsinx（-Kx<1），反余弦函数y=arccosx
（-Kx<1），反正切函数y=arctanx（-x<^），反余切函数y=arc
cotx（-xWxWx）。
反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反
函数作图规则作出。
六、复合函数、初等函数
复合函数：
如果y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数u=（x），且（x）
的函数值的全部或部分在f（u）的定义域内，那么y通过u的联系也是x的函
10'
数，我们称后一个函数是由函数y=f（u）及u=（x）复合而成的函数，简称复
合函数，记作y=f[（x）]，其中u叫做中间变量。
例1设y=sinu,u=x2+1，贝Uy=sin（x2+1）就是x的复合函数。
例2函数yargtanpx可以看成是由y=arctanu和uv；x复合而成的复合函
数。
复合函数不仅可以由两个函数构成，也可以由更多的函数构成。
初等函数：
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构
成的并可用一个式子表示的函数，叫初等函数。
川作业（课后平行项目）：
P13第4题；P25第6题
IV课堂小结：
回顾几个基本初等函数的定义域、值域、反函数、图像等性质
V课堂情况记录及课后分析：
W下堂课预习要求：
湖南机电职业技术学院教案
（二）
备课组长签名：
教师签名:
班级
日期
课题：
1.9数列极限1.10函数极限
教学目的（知识、技能、态度）：
1、理解数列与函数极限概念；
2、了解极限性质与存在准则。
教学重点：
极限概念的理解，观察法求极限
教学难点：
极限思想的进一步形成，无穷小与极限之间的关系
课型：
新授课
主要教学方法：
类比、学导式教学法、讲授法
教学过程设计（时间大体分配）
教学方法
I.组织教学：
考勤，检查预习情况
U、新课教学
一、数列极限
对于数列yn,如果当n无限增大时，yn无限接近于某个常数A,那么常数A就叫做数列yn当n时的极限。
记作：
limynA或ynA（当n）其中n叫yn的极限过程。
n
可以看出：
nimn0，nim（2十）0，nim
（2）n0，”m55。
一般地，有如下结论：
1
（1）Hm—0,（0）;
nn
⑵”mqn0,（q1）；
（3）limcc,（c为常数）。
二、函数的极限
先考察卜面两个例子。
5'
10'
10'
10'
1
例1设函数f（x）—x1，当自变量x无限接近于0时，不难看出
3
1
f（x）1x1无限接近于1，如果用记号表示“无限接近”，上述事
3
1
实可以记作，当x0时，f（x）-x11。
常数1叫做当x0时函数
3
1
f（x）-x1的极限，x0叫做极限过程。
3
例2设函数f（x）1。
如果x>0且无限增大（记作x），可以想见
x
有同样，当x<0而绝对值无限增大（记作x）时，也有
两种情况合起来，就是当x时，
1.自变量无限接近于有限数时，函数的极限
对于函数y=f（x），如果当自变量x无限接近于X。
时，函数f（x）无限接近某个常数A,那么常数A叫做函数f（x）当x心时的极限。
记作
limf（x）A或f（x）A（当xx°），
xx
其中xX0叫f（x）的极限过程。
关于极限概念，应注意以下几点：
A所谓“x无限接近于X0”是指x与X0差的绝对值（在数轴上来说是距离）无限减小，至于x以什么方式接近于X0,定义中并不要求，x可以从大于X。
无限接近于X0,也可以从小于X。
无限接近于X0,还可以从两个方向交替地无限接近于Xo。
B所谓“f（x）无限接近于某个常数A”是指|f（x）A|可以任意小。
C定义中XX0是不包括XX0的，故有0|xx0|所以当XX0时，
f（x）有没有极限与f（x）在点X0是否有定义无关。
D函数对于不同的极限过程，可以存在也可以不存在极限，例如
ysin（），当x0时，可证明（性质）limsinx0
x1x0
但当X1时，ysin（——）的值恒在-1和1之间摆动，不无限接近于
x1
某个确定的常数，所以limsinx不存在。
X1
前面已经指出，极限概念中的X
X0,X无限接近于X0的方式是任意的。
但有时只能或只需考虑x仅从小于Xo,即仅从X0的左侧（在数轴上看）无限接近于Xo（记作XXo-0）的情形，或X仅从大于Xo,即仅从Xo的右侧
无限接近于Xo（记作Xxo+O）的情形。
当xXo-0时，f（x）A,A叫做函数f（X）当xXo时的左极限，记作
15'
limf（x）A或f（xoo）A。
xXoo
当XXoo时，f（x）A,A叫做函数f（x）当xXo时的右极限，记
作limf（x）A或f（xoo）A。
Xo
根据上述极限的定义，容易证明。
函数f（x）当XXo时极限存在的必要且充分条件是左极限、右极限各自
存在并且相等。
即f（xoo）f（xoo）
例3,讨论函数
x,xo；f（x）
x1,xo
当xo时是否存在极限。
解：
limf（x）
limx11,lim
f（x）
limxo
xoo
xooxoo
xoo
由于
limf（x）
xoo
lim
xoo
f（x）,
io'
所以limf（x）不存在。
xo
2•自变量趋向无穷大时，函数的极限
对于函数y=f（x），如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数f（x）无限接近某个常数A,那么常数A叫做函数f（x）当X时的极限，记作
limf（x）A或f（x）A（当x），
X
其中x叫f（x）的极限过程。
很明显，自变量x的绝对值无限增大包含两种基本形式，即x从某个值开
始取正值无限增大（记作X）和X从某个值开始取负值时其绝对值无限增大（记作X）。
如果当x，（X）时，函数f（x）无限接近某个常数A,那么常
io'
数A叫做函数f（x）当x,（x
）时的极限，记作:
limf（x）A,or,f（x）A,（x）
x
limf（x）A,or,f（x）A,（x））
x
例如，考察函数yarctanx的图象，求出下列极限:
limarctanx,limarctanx,limarctanx。
10'
xxx
m作业（课后平行项目）：
P38:
3；P45:
6
IV课堂小结：
本节通过观察一个数列的变化趋势引入了数列极限及函数极限概念，并认真地对自变量的不同变化趋势情形，讨论了数列和函数极限的存在条件。
最后介绍了无穷小量和无穷大量概念，研究了无穷小量的性质、与极限的关系以及无穷小量与无穷大量之间的关系，内容较多。
V课堂情况记录及课后分析：
W下堂课预习要求:
湖南机电职业技术学院教案（三）
备课组长签名：
教师签名:
班级
日期
课题§1.11-§1.12无穷小与无穷大、极限的运算法则
教学目的（知识、技能、态度）：
理解无穷小量与无穷大量定义，了解它们之间的关系以及与极限间的关系；熟悉极限的四则运算法则和复合函数的极限法则；提高理解能力与运算技能。
教学重点：
无穷大与无穷小概念，性质；极限的四则运算法则，复合函数的极限求解。
教学难点：
无穷大与无穷小的理解与运用，极限运算法则的熟练掌握。
课型：
新授课
主要教学方法：
启发式教学法；讲授法。
教学场所、设备要求：
教学过程设计（时间大体分配）
教学方法
I.组织教学：
考勤，检查预习情况
复习引入：
以极限定义及观察法求极限，一般函数的极限的计算有其法则和技巧吗？
U、新课教学
一、无穷小与无穷大
1.无穷小：
在研究函数f（x）的极限时，常常遇到这样的情况：
当自变量xx0或x时，函数f（x）的极限为零，即limf（x）0
XXo
这时，我们把函数f（x）叫做当xXo（或x）时的无穷小或无穷小
量。
例1因为lim10,所以1是当x时的无穷小。
Xx
例2因为limsinx0，所以sinx是当x0时的无穷小。
x0
例3因为lim（x2）20，所以（x—2）2是当x2时的无穷小。
x
5'
10'
应该明白，无穷小是一个以零为极限的变量，不能把它与一个很小的数混淆起来。
因为一个很小的数，如10-8，10-26等，无论它多么小，总是不变的，因此它不能以零为极限。
但是零是唯一可以看作无穷小的数。
无穷小的性质：
（1）有限个无穷小的和是无穷小。
（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。
（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
由（3）可以直接推得：
常数与无穷小的乘积是无穷小。
函数极限与无穷小的关系：
定理1:
设函数f（x）的极限为A（xx0或x），即limf（x）A，则
有lim[f（x）A]limf（x）limA=A-A=0
所以，f（x）-A是无穷小，记为a（x），即f（x）A（x）o于是有
f（x）A（x），其中lim（x）0o
因此得到：
有极限的函数可以表示为它的极限与一个无穷小之和，反之，如果函数可以表示为常数与一无穷小之和，则该常数就是函数的极限。
2.无穷大
定义2:
如果当xx0（或x）时，y=f（x）的对应函数值的绝对值无限增大，贝U应当说函数f（x）当xX。
（或x）时为无穷大或无穷大量。
这时按极限的定义，函数的极限是不存在的，但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作
limf（x）（或limf（x））。
Xx°x
如果在无穷大的定义中，对于X。
邻近的x或|x相当大的X，对应的函数值都是正的（或都是负的），则记作limf（x）（或lim
XX°xx0
（x）（X）
111
例如，lim—;limtgx;lim—2;lim（―）。
x0xxZ2Dx0x2X0x2
必须注意，x不是数，不可与很大的数（如108、1020等）混为一谈。
3.无穷大与无穷小的关系
10'
10'
5'
定理2：
在自变量的同一变化过程中，如果f（x）的绝对值无限增大，
那么1就会无限减小而趋于零，反之亦然。
所以有：
如果f（x）是无穷大,f（x）
则1是无穷小；反之，如果f（x）为无穷小（f（x）0,则1为无穷大。
f（x）f（x）
4.无穷小的比较
（1）若lim—0，则称a是比B高阶的无穷小，记作0（）。
（2）
若lim
，则称a
是比B低阶的无穷小。
（3）
若lim一c0，则称
a是比B是同阶无穷小；若
C=1,即lim1，
15'
则称
a与B是等价无穷小,
记作a
B。
例如sinx~x（x0）。
3x2
4因为lim3x2
x0x
0，所以当x0时，3x2是比x高阶的无穷小，即
0（x）,（x0）。
例5因为lim1x?
x11x
lim（1x）（1x）
x1
2，所以当x1时，1x与1x是
等价无穷小，即1x2~1x,（x
1）。
极限的运算法则
1.极限的四则运算法则。
求出了某些简单函数的极限，本节再给出
lim下边不标明
上节通过观察函数的变化趋势，
极限的运算法则。
为叙述简便起见，在下面的讨论中，记号
自变量的变化过程，意思是说对
xx0或x
所建立的结论都成立。
设limf（x）=A，limg（x）=B
，C是任意常数，n是正整数。
法则Ilim[f（x）g（x）]lim
f（x）limg（x）AB。
法则Ulim[f（x）g（x）]lim
f（x）limg（x）AB
特别地，当g（x）=C时，有limcf（x）Climf（x）
这就是说，求极限时，常数因子可以提到极限符号外面。
又
Iim[f（x）]n[limf（x）]n。
f（x）limf（x）A,
法则川lim（B0）
g（x）limg（x）B
法则W如果f（x）>g（x），那么A>Bo
必须注意，上述法则成立的前提是参与运算的函数存在极限，否则法则不能使用。
例6求lim（3x25x6）
x1
limxcosx,lim
x0x—
2
1sinx
cosx
lim
x
3x22x6
8'
2'
例7求01汨小叫呼」
2、复合函数的极限法则
可以证明下述复合函数的极限法则：
定理2设函数yf（u）与函数u（x）满足条件：
（1）limf（u）A；
ua
（2）当xX。
时，（x）a，且lim（x）a。
则复合函数f[（x）]当xx°
xxo
时的极限存在，且limf[（x）]f[lim（x）]A。
xxoxxo
例8求limx8x8
m作业（课后平行项目）：
P49:
4,5
IV课堂小结：
本节介绍了无穷大与无穷小的概念，无穷小的比较，以及它们在求极限中的应用；介绍了极限
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