高考数学文一轮复习 对数与对数函数.docx

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高考数学文一轮复习对数与对数函数

第五节　对数与对数函数

[考纲要求]

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．

3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a>0，且a≠1）．　　　

突破点一　对数的运算

1．对数的概念、性质及运算

概念

如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质

对数式与指数式的互化：

ax＝N⇔x＝logaN

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝_N_

运算法则

loga（M·N）＝logaM＋logaN

a>0，且a≠1，M>0，N>0

loga＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM（n∈R）

2.重要公式

（1）换底公式：

logab＝（a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0）；

（2）logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）（－2）3＝－8可化为log（－2）（－8）＝3.（　　）

（2）log2x2＝2log2x.（　　）

（3）存在这样的M，N使得log2（MN）＝log2M·log2N.（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√

二、填空题

1．已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝________（用p，q表示）．

解析：

lg5＝＝＝.

答案：

2．计算：

2

log3＋lg8＋lg25＋

＝________.

解析：

原式＝＋3（lg2＋lg5）＋＝5.

答案：

5

3．已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.

解析：

∵4a＝22a＝2，∴a＝.

∴lgx＝，∴x＝.

答案：

4．log225·log34·log59＝________.

解析：

原式＝··＝··＝8.

答案：

8

计算下列各式的值：

（1）log535＋2log

－log5－log514；

（2）[（1－log63）2＋log62·log618]÷log64.

解：

（1）原式＝log535＋log550－log514＋2log

2

＝log5＋log

2＝log553－1＝2.

（2）原式＝[（log66－log63）2＋log62·log6（2×32）]÷log64

＝÷log622

＝[（log62）2＋（log62）2＋2log62·log63]÷2log62

＝log62＋log63＝log6（2×3）＝1.

解决对数运算问题的常用方法

（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．

（2）将同底对数的和、差、倍合并．

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

（4）利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.

1．计算：

÷100

＝________.

解析：

原式＝lg×100

＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.

答案：

－20

2．计算：

lg5（lg8＋lg1000）＋（lg2）2＋lg＋lg0.06＝________.

解析：

原式＝lg5（3lg2＋3）＋3（lg2）2＋lg＝3lg5·lg2＋3lg5＋3（lg2）2－2＝3lg2（lg5＋lg2）＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.

答案：

1

3．（2019·宁波期末）已知4a＝5b＝10，则＋＝________.

解析：

∵4a＝5b＝10，∴a＝log410，＝lg4，b＝log510，＝lg5，∴＋＝lg4＋2lg5＝lg4＋lg25＝lg100＝2.

答案：

2

突破点二　对数函数的图象及应用

1．对数函数的图象

函数

y＝logax，a>1

y＝logax,0

图象

图象特征

在y轴右侧，过定点（1,0）

当x逐渐增大时，图象是上升的

当x逐渐增大时，图象是下降的

2.底数的大小决定了图象相对位置的高低

不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0

在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；

在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．

（无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大）

3．指数函数与对数函数的关系

指数函数y＝ax（a>0且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象过定点（1,0），且过点（a,1），，函数图象不在第二、三象限．（　　）

（2）函数y＝log2（x＋1）的图象恒过定点（0,0）．（　　）

答案：

（1）√　

（2）√

二、填空题

1．已知函数y＝loga（x－3）－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

解析：

y＝logax的图象恒过点（1,0），令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.

答案：

（4，－1）

2．函数y＝log3|2x－m|的图象关于x＝对称，则m＝________.

答案：

1

3．若f（x）＝log2x，则f（x）>0的x的范围是________．

答案：

（1，＋∞）

考法一　对数函数图象的辨析　

[例1]　（2019·海南三市联考）函数f（x）＝|loga（x＋1）|的大致图象是（　　）

[解析]　法一：

函数f（x）＝|loga（x＋1）|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f（x）≥0，结合对数函数的图象可知选C.

法二：

的图象可由y＝logax的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.

[答案]　C

[方法技巧]

研究对数型函数图象的思路

研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0

考法二　对数函数图象的应用　

[例2]　（2019·辽宁五校联考）已知函数f（x）＝|lnx|.若0

A．（4，＋∞）　　　　　B．[4，＋∞）

C．（5，＋∞）D．[5，＋∞）

[解析]　由f（a）＝f（b）得|lna|＝|lnb|，

根据函数y＝|lnx|的图象及0

令g（b）＝a＋4b＝4b＋，易得g（b）在（1，＋∞）上单调递增，

所以g（b）>g

（1）＝5.

[答案]　C

[易错提醒]

应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．

1.函数f（x）＝loga|x|＋1（0

解析：

选A　由函数f（x）的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g（x）＝loga|x|，先画出x>0时，g（x）的图象，然后根据g（x）的图象关于y轴对称画出x<0时g（x）的图象，最后由函数g（x）的图象向上整体平移一个单位即得f（x）的图象，结合图象知选A.

2.已知函数f（x）＝|log

x|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．

解析：

作出f（x）＝|log

x|的图象（如图），可知f＝f

（2）＝1，f

（1）＝0，由题意结合图象知：

1≤m≤2.

答案：

[1,2]

3.使log2（－x）

解析：

在同一坐标系中分别画出函数y＝log2（－x）和y＝x＋1的图象（如图所示），由图象知使log2（－x）

答案：

（－1,0）

突破点三　对数函数的性质及应用

对数函数的性质

函数

y＝logax（a>0，且a≠1）

a>1

0

性质

定义域

（0，＋∞）

值域

R

单调性

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

函数值变化规律

当x＝1时，y＝0

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；当00

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）当x>1时，logax>0.（　　）

（2）函数y＝lg（x＋3）＋lg（x－3）与y＝lg[（x＋3）（x－3）]的定义域相同．（　　）

（3）对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

二、填空题

1．函数y＝的定义域为________．

答案：

[2，＋∞）

2．函数y＝log

（3x－1）的单调递减区间为________．

答案：

3．函数y＝logax（a>0，a≠1）在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.

答案：

2或

考法一　与对数有关的函数定义域问题　

[例1]　（2018·西安二模）若函数y＝log2（mx2－2mx＋3）的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0,3）　　　　　　　B．[0,3）

C．（0,3]D．[0,3]

[解析]　由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，只需解得0

[答案]　B

[方法技巧]

已知f（x）＝loga（px2＋qx＋r）（a>0，且a≠1）的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．　　

考法二　与对数有关的比较大小问题　

[例2]　（2019·湖北华中师大第一附属中学期中）设a＝2018

，b＝log2018，c＝log2019，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．b>a>cD．c>b>a

[解析]　∵a＝2018

>20180＝1,1＝log20182018>b＝log2018>log2018＝，c＝log2019b>c.故选A.

[答案]　A

[方法技巧]　　　对数函数值大小比较的方法

单调性法

在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底

中间量过渡法

寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”

图象法

根据图象观察得出大小关系

考法三　与对数有关的不等式问题　

[例3]　设函数f（x）＝

若f（a）＞f（－a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（0,1）

[解析]　由题意得

或

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

简单对数不等式问题的求解策略

（1）解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

（2）对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．

（3）某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　　

考法四　对数函数性质的综合问题　

[例4]　若函数f（x）＝log

（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，则实数m的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.

二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f（x）＝log

（－x2＋4x＋5）的单调递增区间为（2,5）．要使函数f（x）＝log

（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，只需

解得≤m＜2.

[答案]　C

[方法技巧]

解决对数函数性质的综合问题的3个注意点

（1）要分清函数的底数是a∈（0,1），还是a∈（1，＋∞）．

（2）确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．

（3）转化时一定要注意对数问题转化的等价性．　　

1.函数f（x）＝的定义域是（　　）

A.　　　　　　B.∪（0，＋∞）

C.D．[0，＋∞）

解析：

选B　由解得x>－且x≠0，故选B.

2.设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b

C．cb>c

解析：

选B　a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1

3.（2019·湛江模拟）已知loga<1，那么a的取值范围是________．

解析：

∵loga<1＝logaa，故当01时，y＝logax为增函数，a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是∪（1，＋∞）．

答案：

∪（1，＋∞）

4.（2019·盐城中学月考）已知函数f（x）＝loga（0

解析：

由>0，解得－b0）．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝1.所以f（x）＝loga（0

答案：

[课时跟踪检测]

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．（log29）（log32）＋loga＋loga（a>0，且a≠1）的值为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．3

C．4D．5

解析：

选B　原式＝（2log23）（log32）＋loga＝2×1＋logaa＝3.

2．（2018·衡水名校联考）函数y＝

的定义域是（　　）

A．[1,2]B．[1,2）

C.D.

解析：

选D　由log

（2x－1）≥0⇒0<2x－1≤1⇒

3．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞cB．a＞c＞b

C．b＞a＞cD．b＞c＞a

解析：

选A　因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝（log23）2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.

4．（2019·武汉调研）函数f（x）＝loga（x2－4x－5）（a>1）的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，－2）B．（－∞，－1）

C．（2，＋∞）D．（5，＋∞）

解析：

选D　由函数f（x）＝loga（x2－4x－5）得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m（x）＝x2－4x－5，则m（x）＝（x－2）2－9，m（x）在[2，＋∞）上单调递增，又由a>1及复合函数的单调性可知函数f（x）的单调递增区间为（5，＋∞），故选D.

5．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga（2x－3）＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f（x）的图象上，则f（x）＝________.

解析：

设幂函数为f（x）＝xα，因为函数y＝loga（2x－3）＋的图象恒过点P（2，），则2α＝，所以α＝，故幂函数为f（x）＝x

.

答案：

x

6．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．

解析：

作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象（如图所示）．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为（－∞，－1），单调递增区间为（－1，＋∞）．

答案：

（－∞，－1）　（－1，＋∞）

[B级　保分题——准做快做达标]

1．（2019·广东普通高中学业水平考试）对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是（　　）

A．lgy－lgx＝lg　　　　B．lg（x＋y）＝lgx＋lgy

C．lgx3＝3lgxD．lgx＝

解析：

选B　由对数的运算性质可知lgx＋lgy＝lg（xy），因此选项B错误．

2．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，且f

（2）＝1，则f（x）＝（　　）

A．log2xB.

C．log

xD．2x－2

解析：

选A　由题意知f（x）＝logax（a>0，且a≠1）．

∵f

（2）＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f（x）＝log2x.

3．已知函数f（x）＝lg（＋2x）＋2，则f（ln2）＋f＝（　　）

A．4B．2

C．1D．0

解析：

选A　由函数f（x）的解析式可得：

f（x）＋f（－x）＝lg（＋2x）＋2＋lg（－2x）＋2＝lg（1＋4x2－4x2）＋4＝4，

∴f（ln2）＋f＝f（ln2）＋f（－ln2）＝4.故选A.

4．（2019·衡水中学模考）函数y＝的图象可能是（　　）

解析：

选B　易知函数y＝为奇函数，故排除A，C；当x>0时，y＝lnx，只有B项符合．故选B.

5．（2019·菏泽模拟）若函数f（x）＝（a>0，a≠1）的值域为[6，＋∞），则a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（0,1）∪（1,2）

C．（1,2]D．[2，＋∞）

解析：

选C　当x≤2时，f（x）∈[6，＋∞），所以当x>2时，f（x）的取值集合A⊆[6，＋∞）．当01时，A＝（loga2＋5，＋∞），若A⊆[6，＋∞），则有loga2＋5≥6，得1

6．设a，b，c均为正数，且2a＝log

a，b＝log

b，c＝log2c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜cB．c＜b＜a

C．c＜a＜bD．b＜a＜c

解析：

选A　∵a＞0，∴2a＞1，∴log

a＞1，∴0＜a＜.

∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜log

b＜1，∴＜b＜1.

∵c＞0，∴c＞0，∴log2c＞0，∴c＞1.

∴0＜a＜＜b＜1＜c，故选A.

7．已知函数f（x）＝loga（2x－a）在区间上恒有f（x）>0，则实数a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　当00，即0<－a<1，解得1时，函数f（x）在区间，上是增函数，所以loga（1－a）>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.

8．（2019·六安一中一模）计算：

－lg＋81

＝________.

解析：

原式＝＋lg3＋3

＝1－lg3＋lg3＋25＝26.

答案：

26

9．已知函数f（x）＝loga（8－ax）（a>0，且a≠1），若f（x）>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：

当a>1时，f（x）＝loga（8－ax）在[1,2]上是减函数，由f（x）>1在区间[1,2]上恒成立，得f（x）min＝loga（8－2a）>1，解得11在区间[1,2]上恒成立，得f（x）min＝loga（8－a）>1，解得a>4，且0

答案：

10．若函数f（x）＝loga（x2－2x＋a）（a>0，且a≠1）有最小值，则实数a的值等于________．

解析：

令g（x）＝x2－2x＋a，则f（x）＝loga[g（x）]．①若a＞1，由于函数f（x）有最小值，则g（x）应有最小值，而g（x）＝x2－2x＋a＝（x－）2＋a－6，当x＝时，取最小值a－6，因此有解得a＝9.②若0＜a＜1，由于函数f（x）有最小值，则g（x）应有最大值，而g（x）不存在最大值，不符合题意．综上，实数a＝9.

答案：

9

11．已知函数f（x）＝lg，其中a是大于0的常数．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）当a∈（1,4）时，求函数f（x）在[2，＋∞）上的最小值；

（3）若对任意x∈[2，＋∞）恒有f（x）>0，试确定a的取值范围．

解：

（1）由x＋－2>0，得>0，当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为（0，＋∞）；当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；当01＋}．

（2）设g（x）＝x＋－2，当a∈（1,4），x∈[2，＋∞）时，∴g′（x）＝1－＝>0.因此g（x）在[2，＋∞）上是增函数，∴f（x）在[2，＋∞）上是增函数．则f（x）min＝f

（2）＝lg.

（3）对任意x∈[2，＋∞），恒有f（x）>0.即x＋－2>1对x∈[2，＋∞）恒成立．∴a>3x－x2.令h（x）＝3x－x2，x∈[2，＋∞）．由于h（x）＝－2＋在[2，＋∞）上是减函数，∴h（x）max＝h

（2）＝2.故a>2时，恒有f（x）>0.因此实数a的取值范围为（2，＋∞）．

12．（2019·邯郸模拟）已知函数f（x）＝loga（3－ax）．

（1）当x∈[0,2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）∵a>0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

当x∈[0,2]时，t（x）的最小值为3－2a，

∵当x∈[0,2]时，f（x）恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0，∴a<.

又a>0且a≠1，

∴a∈（0,1）∪.

（2）由

（1）知函数t（x）＝3－ax为减函数．

∵f（x）在区间[1,2]上为减函数，

∴y＝logat在[1,2]上为增函数，∴a>1，

当x∈[1,2]时，t（x）的最小值为3－2a，f（x）的最大值为f

（1）＝loga（3－a），

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

[C级　难度题——适情自主选做]