（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
②当n>1时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）
图乙图1（1阶）图2（2阶）图3（3阶）
参考答案
一、基础·巩固达标
1.在比例尺为1∶40000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（）
A.0.2172kmB.2.172kmC.21.72kmD.217.2km
思路解析：
可设这两地的实际距离为xcm（要注意统一单位），根据比例尺=
得
54.3∶x=1∶40000，解得：
x=2172000（cm）=21.75（km）.
答案：
C
2如图27.3－4，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则DE与BC的比是（）
图27.1－4
A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶3
思路解析：
DE是△ABC的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
答案：
C
3.
（1）若
，则
=__________；
（2）若
则k=__________.
思路解析：
连等式时，可用比例系数（即公比）的办法解决.
（1）由
，得到a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，代入
中解得;
（2）用“若
=k（b+d+…+n≠0），则
”，但要注意只有当x+y+z≠0时才成立.
本题中，还需考虑x+y+z=0的情况，此时x=－（y+z），y=－（z+x），z=－（x+y），
所以k=－1.
答案：
（1）0.5,
（2）
或－1
4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.
图27.1－5
思路解析：
相同时刻的物高与影长成比例，设树高为x米，则1.5∶1=x∶5，解得x=7.5
答案：
7.5
5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?
图27.1－6
思路解析：
比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角形，但角的大小不同，形状不同，不相似.
答案：
两组图形都不相似
6.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.
图27.1－7
思路解析：
在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后
的位置，再由这些点构造新图形.
答案：
（不唯一）
7.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.
图27.1－8
思路解析：
依据多边形相似的特征：
对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、z的比例式，并得到∠D=∠D′=α、∠C=∠C′=110°，再由梯形的定义和平行的性质即可求出α和β.
解：
因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等.
所以
且∠D=∠D′=α，∠C=∠C′=110°.
解得:
x=3y=6z=3.
因为梯形ABCD中，AB∥CD,
所以α=180°－62°=118°,β=180°－110°=70°.
二、综合•应用达标
8.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?
图27.1－9
思路解析：
矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了.
解：
由图可知：
大矩形的四条边长分别是14、8、14、8；
而小矩形的长为：
14－2－2=10，宽为：
8－2－2=4，四条边分别是10,4,10,4.
∵14∶10≠8∶4,
∴这两个矩形不相似
9.判断下列各组线段是否成比例?
（1）3cm；5cm；7cm；4cm；
（2）12mm；5cm；15mm；4cm；
（3）1cm；5mm；10mm；2cm.
思路解析：
要解决此类问题,应先统一单位（当四条线段的长度单位不相同时），把它们
按从小到大（或从大到小）的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例.
解：
（1）四条线段按从小大的顺序排列为3，4，5，7.
∵3×7≠4×5，即3∶4≠5∶7，
∴3cm,4cm,5cm,7cm这四条线段不成比例.
（2）5cm=50mm,4cm=40mm,四条线段按从小大的顺序排列为12，15，40，50.
∵12×50=15×40，即12∶15=40∶50，
∴12mm,5cm,15mm,4cm这四条线段成比例.
（3）1cm=10mm,2cm=20mm,四条线段按从小大的顺序排列为5，10，10，20.
∵5×20=10×10，即5∶10=10∶20，
∴5mm,1cm,10mm,2cm这四条线段成比例.
10.试将一个正方形纸片（如图27.1－10）分割为8个相似的小正方形.
图27.1－10
答案：
11.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.
图27.1－11
思路解析：
依据多边形相似的特征：
对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、α和β
解：
因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以12∶6=8∶y=x∶3.解得y=4，x=6.
由α+β+115°=360°，α=β+15°，
得α=100°，β=85°.
三、回顾•展望达标
12.我们已经学习了相似三角形,也知道:
如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.
现给出下列4对几何图形:
①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.
思路解析：
根据相似形的定义，比较两个图形的对应边的比是否相等，对应角是否相等.
答：
①两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；
②两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；
③两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形
状不同；
④两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.
13.定义：
若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？
若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.
我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；
把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2），…
依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2[
（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
②当n>1时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）
图乙图1（1阶）图2（2阶）图3（3阶）
思路解析：
本题是阅读理解题，n阶分割实际是把原三角形分为4n个相同的小三角形，
所以每个小三角形的面积是原三角形的
.
解：
（1）正确画出分割线CD（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线）.
理由：
∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BCD∽△ACB.
（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为
.
∴Sn=
.
当n=5时，S5=
≈9.77;
当n=6时，S6=
≈2.44;
当n=7时，S7=
≈0.61.
∴当n=6时，2＜S6＜3.
②
=Sn－1×Sn+1.
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