外点法求约束最优化问题.doc
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数学规划课程设计
题目外点法求约束最优化问题
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摘要
罚函数是应用最广泛的一种求解式的数值解法，基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。
（这种惩罚体现在求解过程中，对于企图违反约束的那些迭代点，给予很大的目标函数值，迫使这一系列无约束问题的极小值或者无限地向可行解（域）逼近，或者一直保持在可行集（域）内移动，直到收敛于原来约束问题的极小值点。
）
本文.......
外点法可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。
关键词：
罚函数法、约束最优化问题、外点法
一、预备知识（基本理论）
看下是否还有定理、定义等等，可以加一些
外点惩罚函数法的一般形式
考虑不等式约束优化设计时：
对
构造一般形式的外点惩罚函数为：
其中：
（1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即
（2）当X违反某一约束条件，即时表明X在可行域外，惩罚项起作用，且若X离开约束边界越远，惩罚力度越大。
这样用惩
罚的方法迫使迭代点回到可行域。
（3）惩罚因子是一递增的正数数列，即
且一般
考虑等式约束的优化问题：
构造外点罚函数：
同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0；若不能满足，则且随着惩罚因子的增大而增大；
综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般约束优化问题的外点罚函数公式为：
实际计算中，因为惩罚因子不可能达到无穷大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题的最优点，而是落在它的外面，显然，这就不能严格满足约束条件。
为了克服外点惩罚函数法的这一缺点，对那些必须严格满足的约束（如强度、刚度等性能约束）引入约束裕度，即将这些约束边界向可行域内紧缩，移动一个微量，得到
这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数，得到最优设计方案。
外点惩罚函数法的迭代步骤：
1.给定初始点，初始惩罚因子，维数n迭代精度和递增系数；
2.构造外点惩罚函数；
3.选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点，即，
4.检验是否满足迭代终止条件
或若满足转6，若不满足转5；
5.令，转2；
6.输出最优解，迭代终止。
二、解问题
1问题重述
用外点法求解约束最优化问题
2问题求解
解：
构造罚函数
用解析法求解
即，
的解为
当时，，
即解为:
程序解法：
利用MATLAB编写程序如下：
m=zeros（1,50）;a=zeros（1,50）;
b=zeros（1,50）;f0=zeros（1,50）;%ab为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1f2最优点梯度。
symsx1x2e;%e为罚因子。
m
（1）=1;c=10;a
（1）=0;b
（1）=0;%c为递增系数。
赋初值。
f=x1^2+2*x2^2+e*（1-x1-x2）^2;f0
（1）=1;
fx1=diff（f,'x1'）;fx2=diff（f,'x2'）;fx1x1=diff（fx1,'x1'）;
fx1x2=diff（fx1,'x2'）;fx2x1=diff（fx2,'x1'）;
fx2x2=diff（fx2,'x2'）;%求偏导、海森元素。
fork=1:
100%外点法e迭代循环.
x1=a（k）;x2=b（k）;e=m（k）;
forn=1:
100%梯度法求最优值。
f1=subs（fx1）;%求解梯度值和海森矩阵
f2=subs（fx2）;
f11=subs（fx1x1）;
f12=subs（fx1x2）;
f21=subs（fx2x1）;
f22=subs（fx2x2）;
if（double（sqrt（f1^2+f2^2））<=0.001）%最优值收敛条件a（k+1）=double（x1）;b（k+1）=double（x2）;f0（k+1）=double（subs（f））;
break;
else
X=[x1x2]'-inv（[f11f12;f21f22]）*[f1f2]';
x1=X（1,1）;x2=X（2,1）;
end
end
if（double（sqrt（（a（k+1）-a（k））^2+（b（k+1）-b（k））^2））<=0.001）&&（double（abs（（f0（k+1）-f0（k））/f0（k）））<=0.001）%罚因子迭代收敛条件
a（k+1）%输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值
b（k+1）
k
f0（k+1）
break;
else
m（k+1）=c*m（k）;
end
end
得结果：
ans=
0.6666
ans=
0.3333
k=
5
ans=
0.6666
即min（）的最优结果为0.6666
写一些总结性内容
三、参考文献
[1]范玉妹，徐尔，赵金玲，胡毅庆.数学规划及其应用[M].北京：
冶金工业出版社，2009
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].北京：
高等教育出版社，2003
[3][沙特]M.H.Alsuwaiyel.算法设计技巧与分析[M].北京：
电子工业出版社，2009
[4]刘卫国.MATLAB程序设计及其应用[M].北京：
高等教育出版社，2006
[6]唐加福,汪定伟,许宝栋,李露.基于评价函数的遗传算法求解非线性规划问题[J].控制与决策学报，2000（5）
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