线性代数练习册答案.doc

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第一章行列式

二、三阶行列式及阶行列式的定义部分知识概要

内容概要：

1.二阶行列式的定义：

.

2.三阶行列式的定义：

.

3.阶行列式

（1）阶行列式是项的代数和；

（2）每一项是取自不同行不同列的个元素的乘积（是的一个排列）；（3）当是偶排列时,带正号,当是奇排列时,带负号.

常用解题方法及注意事项：

1.求排列的逆序数：

（按自然数的从小到大次序为标准次序）

的一个排列的逆序数记为.其中是前面比大的数的个数.

2.确定行列式中的项及符号：

（1）中的项是取自不同行不同列的个数的乘积，因此，行下标和列下标都没有重复数字；

（2）将中的因子交换顺序使行下标是自然顺序，即，该项符号为.

二、三阶行列式及阶行列式的定义部分习题

1.计算下列二阶行列式

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

2.计算下列三阶行列式

（1）；

（2）；

（3）；

3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）；

（2）.

（3）

4.确定，使6元排列为奇排列.

5.写出4阶行列式中含有的项.

6.按定义计算下列行列式：

（1）；

（2）.

7.求的展开式中和的系数.

行列式的性质与展开部分知识概要

内容概要：

行列式的性质

1.行列式与其转置行列式相等（即）.

2.交换行列式的两行（或列）,行列式改变符号（即）.

3.行列式中某行（或列）的公因子可以提到行列式符号外面做因子.

（即（或）

4.阶行列式可以按第行（或列）拆成两个行列式与的和，即.其中的第行（或列）为与的第行（或列）的和；，，的其余各行（或列）对应元素则同的完全一样.

5.把行列式某一行（或列）的元素同乘一数后加到另一行（或列）的对应位置元素上,行列式的值不变.（即或）

行列式的展开

1.阶行列式的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为.

2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.

即

常用的解题方法及注意事项：

行列式的计算：

1.

（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）.

（2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）.

（3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）.

行列式化简时注意

1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号.

行列式的性质与展开部分习题

1.计算下列行列式：

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

（5）.

2.证明：

（1）；

（2）.

3.计算阶行列式

（1）=；

（2）.

4.利用范德猛行列式计算：

.

克拉默法则部分知识概要

内容概要：

1.设个变量，个方程的线性方程组为

如果该线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一解：

.

其中是中第列换成常数项其余各列不变得到的行列式，

即：

=,．

2.设齐次线性方程组为

（1）如果系数行列式，则该齐次线性方程组只有零解；

（2）如果该齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式．

常用解题方法及注意事项：

1.用克拉默法则解线性方程组；

2.利用系数行列式是否为零来判断齐次线性方程组只有零解或有非零解.

注意：

克拉默法则只适合方程个数与未知量个数相同，且系数行列式不为零的线性方程组的求解.

克拉默法则部分习题

1.用克拉默法则解线性方程组

（1）；

（2）.

2.当为何值时，齐次线性方程组

（1）仅有零解；

（2）有非零解．

第一章自测题与答案

第一章自测题

一.判断题（每题3分，共15分）

1..（）

2.在四阶行列式中，的余子式与代数余子式互为相反数.（）

3.则.（）

4.,则.（）

5..（）

二.填空题（每题4分，共16分）

1.已知，则.

2.已知，则.

.

3.由行列式确定的多项式中的系数分别为.

4..

三.计算下列行列式（各10分，共40分）

1.；2.；

3.；4..

四．（10分）设为阶行列式，,（为非零数）,

1.讨论的关系；2.讨论的关系.

五.（10分）,求.

六.（7分）设齐次线性方程组为

用克拉默法则解讨论应取何值时，方程组

（1）仅有零解；

（2）有非零解．

第一章自测题答案

一．1.错；2.对；3.错；4.错；5.对.

二．1.；2.；3.；4..

三.1.；2.；

3.；

4.各列加到第一列上，然后提取公因式

.

四．1.；2..

五..

六.系数行列式.

（1）；

（2）或.

第二章矩阵及其运算

矩阵的运算部分知识概要

内容概要：

1.矩阵的线性运算

（1）加法：

两同型矩阵与的和矩阵为.

（2）数乘法：

数与矩阵的数量乘积矩阵.

2.矩阵乘法运算

（1）矩阵称为矩阵与的乘积.

其中（）.

（2）为阶方阵的次幂，特别规定.

（3）（为数）为方阵的多项式.

3.矩阵的转置

以的行为列，列为行构成的矩阵为的转置矩阵.

是阶方阵，如果，称为对称矩阵；如果，称为反对称矩阵.

4.方阵的行列式

以阶方阵的元素构成的行列式称为方阵的行列式.记为或.

常用解题方法及注意事项：

利用运算定义和运算律进行运算.

注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.

（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变.

（ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.即且，不一定有；且，不一定有.特别地，且，不一定有.

（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律.

（ⅴ）分别是矩阵，则.

（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别.

矩阵的运算部分习题

1.已知，且,求.

2.计算

（1）,求，,及.

（2）.

（3），求.

（4）

3.,,求及.

4.，,，求及

5.已知三个线性替换为

，，

求从到的线性替换.

6.如果,则称矩阵与可交换,求与可交换的矩阵具有的形式.

其中当时.

7.如果,证明:

当且仅当.

8.设都是阶对称矩阵，证明：

仍是对称矩阵当且仅当.

9.设维列向量满足，,

证明：

1）是对称矩阵；2）.

10.已知是3阶方阵,且,计算

（1）；

（2）；（3）.

可逆矩阵部分知识概要

内容概要：

1.设是阶方阵,如果存在阶方阵，使得，称为可逆矩阵，称为的一个逆矩阵.

2.可逆矩阵的逆矩阵唯一.

3.设,称由以的第行元素在中的代数余子式为第列元素构成的矩阵为的伴随矩阵.

4.设是阶方阵，是的伴随矩阵，则.

5.阶方阵是可逆的充分必要条件为.而且.

6.可逆矩阵具有如下运算性质：

（ⅰ）是阶可逆矩阵，的逆矩阵也可逆，且；

（ⅱ）是阶可逆矩阵，是非零数，则可逆，且；

（ⅲ）都是阶可逆矩阵,那么也可逆,且；

（ⅳ）是阶可逆矩阵,也可逆，且；

（ⅴ）是阶可逆矩阵，都是矩阵，且,则，

是阶可逆矩阵，都是矩阵，且,则.

常用解题方法及注意事项：

（设是阶方阵）

1.利用求可逆矩阵的逆矩阵：

（适用于具体给定的数字矩阵求逆）

2.利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵的逆矩阵：

找到阶方阵，使得，则可逆，且.

注意的第列元素是的第行元素在的代数余子式；

的第行元素是的第列元素在的代数余子式.

可逆矩阵部分习题

1.求下列矩阵的逆矩阵：

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

2.设,求矩阵使得.

3.设满足,其中,求.

4.设是阶方阵,且满足,利用定义证明:

可逆，并求.

5.设是阶方阵,且（为正整数），利用定义证明：

可逆，且

6.设是3阶方阵，且,求

（1）；

（2）；（3）.

分块矩阵及其运算部分知识概要

内容概要：

用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小矩阵，以小矩阵为元素的矩阵表示形式称为分块矩阵.我们将这些小块称为矩阵的子块.

1加法对两个矩阵,进行同样分块，则为对应块相加得到的分块矩阵；

2数乘法设是一个矩阵，是一个数，将为由数乘每个子块矩阵得到的分块矩阵；

3乘法设,，将分块为

，，则.其中为矩阵，为矩阵，.

4转置设是一个矩阵，将分块为

，则.

常用解题方法及注意事项：

1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；

2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即列数必须等于的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；

3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的绝对不能写成.

4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.

分块矩阵及其运算部分习题

1.将,进行适当分块，并计算.

2.,,都是阶方阵，其中为矩阵，为零矩阵，为矩阵，为矩阵，求,及.

3.设阶矩阵和阶矩阵都可逆，求

（1）；

（2）.

4.利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵

（1），求；

（2），求.

第二章自测题与答案

第二章自测题

一判断题（每题3分，共15分）

1.是阶方阵，如果,且,则；（）

2.是阶方阵,则；（）

3.是阶方阵,且可逆，，则；（）

4.都是阶方阵，则；（）

5.都是阶方阵，满足,且可逆，则.（）

二.填空题（每题4分，共20分）

1.=（1，1，2）,,则,=,=；

2.已知，，且,

则=.

3.，，则；

4.设,则；

5.是3阶方阵,是2阶方阵,且,，则；.

三.矩阵计算（10分）：

设，,求

（1），

（2）；（3）.

四.（10分）已知，都是3阶方阵,且，,求及.

五.如果,则称矩阵与可交换,求与矩阵可交换的矩阵具有的形式.（10分）

；

六.求矩阵的伴随矩阵和逆矩阵（10分）.

七.（8分）设其中，求.

八.（7分）设是阶方阵,且满足,利用定义证明:

可逆，并求.

九.（10分）设实矩阵,且,证明.

*试将结论推广到是阶方阵的情况.

第二章自测题答案

一1.错；2.错；3.错；4.错；5.对.

二.1.，，；

2.；3.；

4.；5.；.

三.；；.

四.由，有，即得.

.

五..六.；.

七..

八.,可逆，.

九.,所以的任意位置元素为零，利用对角线上元素为零，即得.

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

初等变换与初等矩阵部分知识概要

内容概要：

初等变换

1.对调两行（或列）；2.以数乘矩阵某一行（或列）的所有元素；

3.把矩阵的某行（或列）所有元素乘一个数加到另一行（或列）对应位置的元素上.

矩阵的等价标准形

1.称具有如下特点矩阵为行阶梯形矩阵：

（ⅰ）的前行，每行元素均不全为0，后行元素都为零；

（ⅱ）第行的第一个非零元素为，且满足.

如果行阶梯形矩阵还满足：

（ⅲ）第行的第一个非零元素，且所在的列的其它元素都为0，就称为行最简形矩阵.

2.任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵.

3.任何一个矩阵都可以通过初等变换化为型矩阵.

初等矩阵

1.由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

2.设一个矩阵，左乘一个阶初等矩阵相当于对作一次相应的初等行变换，右乘一个阶初等矩阵相当于对作一次相应的初等列变换.

3.与等价当且仅当存在可逆矩阵与可逆矩阵，使得.

4.阶方阵可逆当且仅当可以写成一些初等矩阵的乘积.

5.阶方阵可逆当且仅当可以只用初等行变换化为单位矩阵.

常用解题方法及注意事项：

1.用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵的求法：

.

2.用初等行变换求矩阵方程（可逆）的求法：

则即可求得.

初等变换与初等矩阵部分习题

1.先用初等行变换化下列矩阵为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

2.,,

求:

（1）；

（2）.

3.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.

（1）；

（2）

4.设，且，求

矩阵的秩部分知识概要

内容概要：

1.设是一个矩阵，如果中存在阶子式不为零，而所有阶子式（如果有的话）全为零，我们称为矩阵的秩，记为或秩.

2.矩阵的秩具有如下性质：

（ⅰ）当且仅当；

（ⅱ）；

（ⅲ），其中为非零数；

（ⅳ）阶方阵的秩的充分必要条件；

（ⅴ）阶方阵可逆的充分必要条件为.

3.行阶梯形矩阵的非零行的行数等于的秩.

4.初等变换不改变矩阵的秩.

5.矩阵，可逆，则.

6.设是秩为的矩阵，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得.

常用解题方法与注意事项：

1.求矩阵的秩：

利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵的秩.

2.如果是阶方阵，时.

求元素含有参数的方阵的秩时，先求出时的参数取值，此时；对于使的参数再特别讨论.

注意：

1.的一个阶子式是一个行列式；

2.的秩为，则的高于阶的子式（如果有的话）都为零；

3.矩阵的秩就是矩阵非零子式的最高阶数.

矩阵的秩部分习题

1.求下列矩阵的秩.

（1）；

（2）.

2.已知，讨论为何值时

（1）;

（2）;（3）.

3.，讨论取何值时，可使

（1）;

（2）.

4.设是矩阵，证明：

.

5.设是矩阵，证明：

当且仅当存在维列向量矩阵和维行向量矩阵,使得.（提示：

使用的等价标准形）

线性方程组的解部分知识概要

内容概要：

1.线性方程组（是维列向量）的系数矩阵为,增广矩阵为，

则：

（ⅰ）线性方程组无解的充分必要条件为；

（ⅱ）线性方程组有唯一解的充分必要条件为；

（ⅲ）线性方程组有无穷多解的充分必要条件为.

2.齐次线性方程组（是维列向量）永远有零解.

（ⅰ）只有零解的充分必要条件为；

（ⅱ）有非零解的充分必要条件为.

3.矩阵方程（是矩阵）的系数矩阵为,增广矩阵为,

则关于方程的解有与1中相同的结论.

常用解题方法与注意事项：

1.求解线性方程组（是维列向量）的步骤：

（ⅰ）对进行初等行变换，把化为行阶梯形矩阵（是列向量）.利用与同解有：

如果,则无解；如果，则有解.

2.若，继续初等行变换，将化为行最简形矩阵.

3.如果，解唯一，的最后一列对应的元素为方程组的解；如果，解无穷多，将的每个台阶的头对应的未知量用其余未知量（其余的未知量即为自由未知量）表示出来，并令自由未知量取任意常数，即得含有个自由参数的通解.

注意：

1.解线性方程组时，对增广矩阵的初等行变换实际上是方程之间的初等变换，因此不能利用对增广矩阵进行初等列变换来解方程组.

2.时，必须是的行最简形，的最后一列对应的元素才为方程组的解.

线性方程组的解部分习题

1.用初等行变换求解下列线性方程组

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

2.用初等行变换求解下列齐次线性方程组

（1）；

（2）

3.讨论取何值时，下面线性方程组：

（1）有惟一解；

（2）没有解；（3）有无穷多个解？

并在有解时求解.

第三章自测题与答案

第三章自测题

一.判断题（每题3分，共15分）

1.方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解.（）

2.在秩为的矩阵中，所有阶子式都不为零.（）

3.设是矩阵，是阶方阵，是阶方阵，.（）

4.是矩阵，且，则非齐次线性方程组有无穷多解.（）

5.是矩阵，线性方程组满足，用初等行变换将化为行阶梯形矩阵，则的最后一列对应的元素为方程组的解.（）

二.填空题（每题4分，共20分）：

1.的行最简形矩阵为；

2.,则；

3.设是阶方阵，,是的伴随矩阵，则;

4.矩阵的乘积；

5.分别为矩阵，，，

则与的关系为，与的关系为.

三.求下列矩阵的秩（第一题5分，第二题10分，共15分）

1.；2..

四.用初等行变换求解下列线性方程组（每题10分，共20分）

1.；2..

五.（10分）讨论取何值时,下面线性方程组有解,并在有解的情况下求其通解.

.

六．（10分）设，且，求.

七.（10分）设是秩为1的3阶方阵，证明:

存在不全为零的数和不全为零的数，使得；并求

第三章自测题答案

一.1.对；2.错；3.对；4.错；5.错

二.1.；2.则；3.（利用,则）；4.（利用左乘相当交换的2，3两行；右乘相当于的第3列乘加到第一列）；

5.，.

三.1.；

（2）

四.1.（为任意数）；2.（为任意数）.

五.时，方程组无穷多解（为任意数）；时，方程组有唯一解；时，方程组无解.

六．，.

七.证明：

的秩为1，存在3阶可逆矩阵，,使得，

，，它们均为非零向量，且，则；

其中.

第四章向量组的线性相关性

向量组及其线性关系部分知识概要

内容概要：

1.，是一组维向量，存在数使得，则称可由线性表示；设与是两组维向量，如果两个向量组能够相互线性表示，称这两个向量组等价.

2.设为一组维向量，如果齐次线性方程组有非零解，称向量组是线性相关；如果有只有零解，称向量组是线性无关.

4.等价定义：

设是一组维向量，如果其中至少存在一个向量可以由其余的向量线性表示,称线性相关；如果任何一个向量都不能由其余向量线性表示,称线性无关.单独一个零向量称为线性相关的；单独一个非零向量称为线性无关的.

5.向量组线性相关，则扩充组线性相关；向量组线性无关，则部分组也线性无关.

常用解题方法与注意事项：

1.判断是否可由线性表示：

令,可由线性表示当且仅当有解，当且仅当；

2.令，,与等价当且仅当.

3.讨论向量组线性相关：

设，解齐次线性方程组（*）.（ⅰ）如果（*）只有零解，线性无关；（ⅱ）如果（*）有非零解，线性相关.

向量组及其线性关系部分习题

1.设，求向量，

使得.

2.设,问：

是否能由线性表示？

如能表示，判断表示的方法是否唯一？

3.设可由唯一的线性表示，求满足的条件.

4设是一组维向量，

，证明向量组与向量组等价.

5.设

，讨论：

（1）为何值时，不能由线性表示？

（2）为何值时，能由唯一的线性表示？

（3）为何值时，能由线性表示，但表示方法不唯一？

6.判断下列向量组是线性相关还是线性无关？

（1）；

（2）.

7.是一组维向量，

，证明：

如果线性无关，则也线性无关.

*8.设线性无关，