七年级下数学第七章学案.docx
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七年级下数学第七章学案
7.1.1三角形的边
教学目标
1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形.毛
2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.
4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.
重点、难点
重点:
1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.
2.能从图中识别三角形.
3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.
难点:
1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.
2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.
指导学生阅读课本P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:
(1)什么叫三角形?
(2)三角形有几条边?
有几个内角?
有几个顶点?
(3)三角形ABC用符号表示________.
(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示.
做一做
画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题:
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.
a.从B→C
b.从B→A→C
(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.
从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.
经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的.
议一议
1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
想一想
三角形按边分可以,分成几类?
按角分呢?
(1)三角形按边分类如下:
三角形不等三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
(2)三角形按角分类如下:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
练一练
有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?
分析:
(1)三条线段能否构成一个三角形,关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.
(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.
错导:
∵3cm+6cm>2cm
∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.
错因:
三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.
7.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学目标
1.经历析纸,画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.毛
2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点.
重点、难点
1.重点:
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
2.难点:
(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)钝角三角形高的画法.
(3)不同的三角形三条高的位置关系.
看一看
把下面图表投影出来:
三角形的
重要线段
意义
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段
1.AE是△ABC的BC上的中线.
2.BE=EC=
BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=
∠BAC.
1.指导学生阅读课本P71-72的课文.
2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高?
三角形的高与垂线有何区别和联系?
三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.
(2)什么叫三角形的中线?
连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段,而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.
(3)什么叫三角形的角平分线?
三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.
3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?
三角形的高、中线和角平分线都代表线段,这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.
做一做
1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.(如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?
钝角三角形的三条高在那里?
)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?
三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.(如果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?
观察这三条中线的位置有何关系?
三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.
3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.
7.1.3三角形的稳定性
教学目标:
通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性,稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
重点:
了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点:
准确使用三角形稳定性与生产生活之中
看一看,想一想
课本P73投影出来
做一做
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
议一议
从上面实验过程你能得出什么结论?
与同伴交流。
三角形木架形状不会改变,四边形木架形状会改变,这就是说,三角形具有稳定性,四边形没有稳定性。
三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
7.2.1三角形的内角
教学目标
1经历实验活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理
2能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
重点:
三角形内角和定理
难点:
三角形内角和定理的推理的过程
想一想
如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?
已知
,说明
,你有几种方法?
结合图
(1)、图
(2)、图(3)
能不能用图(4)也可以说明这个结论成立
练习:
课本P80,练习1,2
作业:
P81
1,2,3,4,5
补充练习
1三角形中最大的角是
,那么这个三角形是锐角三角形()
2一个三角形中最多只有一个钝角或直角()
3一个等腰三角形一定是锐角三角形()
4一个三角形最少有一个角不大于
()
7.2.2三角形的外角
教学目标
1使学生在操作活动中,探索并了解三角形的外角的两条性质
2利用学过的定理论证这些性质
3能利用三角形的外角性质解决实际问题
重点:
(1)三角形的外角的性质;
(2)三角形外角和定理
难点:
三角形外角的定义及定理的论证过程
做一做
把
的一边AB延长到D,得
,它不是三角形的内角,那它是三角形的什么角?
它是三角形的外角。
定义:
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角
想一想:
三角形的外角有几个?
每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角
议一议
与
的内角有什么关系?
(1)
(2)
,
再画三角形ABC的外角试一试,还会得到这个性质吗?
同学用几何语言叙述这个性质:
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和;
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗?
已知:
是
的外角
说明:
(1)
(2)
,
结合下面图形给予说明
课本P81,练习
课本P82,6,7,8,9
备选题
1如图,
是三角形ABC的不同三个外角,则
2三角形的三个外角中最多有锐角,最多有个钝角,最多有个直角
3
的两个内角的一平分线交于点E,
,则
4已知
的
的外角平分线交于点D,
,那么
=
5如图,
是外角,
+,
是外角,
=+,
是外角,
=+,
>,
>
6在
中
等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于
的两倍,那么
,
,
7.3多边形及其内角和
7.3.1多边形
[教学目标]
1.了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念.
2.区别凸多边形与凹多边形.
[教学重点、难点]
1.重点:
(1)了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)区别凸多边形和凹多边形.
2.难点:
多边形定义的准确理解.
1.在平面内,由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形.
如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)
2.多边形的边、顶点、内角和外角.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3.多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
让学生画出五边形的所有对角线.
4.凸多边形与凹多边形
看投影:
图形见课本P85.7.3—6.
在图
(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图
(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.
5.正多边形
由正方形的特征出发,得出正多边形的概念.
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
课本P86练习1.2.
备用题:
一、判断题.
1.由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.()
2.由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形.()
3.由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形,且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧,叫做四边形.()
4.在同一平面内,四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形.()
二、填空题.
1.连接多边形的线段,叫做多边形的对角线.
2.多边形的任何所在的直线,整个多边形都在这条直线的,这样的多边形叫凸多边形.
3.各个角,各条边的多边形,叫正多边形.
三、解答题.
1.画出图
(1)中的六边形ABCDEF的所有对角线.
2.如图
(2),O为四边形ABCD内一点,连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形?
它与边数有何关系?
3.如图(3),O在五边形ABCDE的AB上,连接OC、OD、OE,可以得到几个三角形?
它与边数有何关系?
4.如图(4),过A作六边形ABCDEF的对角线,可以得到几个三角形?
它与边数有何关系?
7.3.2多边形的内角和
一、判断题.
1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.()
2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.()
3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.()
4.从n边形一个顶点出发,可以引出(n一2)条对角线,得到(n一2)个三角形.()
5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.()
二、填空题.
1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为边形.
2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为边形.
3.内角和等于外角和的多边形是边形.
4.内角和为1440°的多边形是.
5.一个多边形的内角的度数从小到大排列时,恰好依次增加相同的度数,其中最小角为100°,最大的是140°,那么这个多边形是边形.
6.若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是边形.
7.五边形的对角线有条,它们内角和为.
8.一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为.
9.多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为.
10.四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1:
2:
3:
4,那么∠A:
∠B:
∠C:
∠D=.
11.四边形的四个内角中,直角最多有个,钝角最多有个,锐角最多有个.
12.如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加,外角和增加.
三、选择题.
1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是()
A.互为余角B.互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角
2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是()
A.九边形B.十边形C.十一边形D.十二边形
3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为()
A.6条B.7条C.8条D.9条
4.随着多边形的边数n的增加,它的外角和()
A.增加B.减小C.不变D.不定
5.若多边形的外角和等于内角和的号,它的边数是()
A.3B.4C.5D.7
6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是()
A.五边形B.八边形C.十边形D.十二边形
7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形()
A.四边形B,五边形C.六边形D.七边形
8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为()
A.180°B.360°C.720°D.1080°
9.n边形的n个内角中锐角最多有()个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是()
A.八边形B.九边形C.十边形D,十一边形
四、解答题.
1.一个多边形少一个内角的度数和为2300°.
(1)求它的边数;
(2)求少的那个内角的度数.
2.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?
它共有多少条对角线?
n边形呢?
3.已知多边形的内角和为其外角和的5倍,求这个多边形的边数.
4.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的
,求这个多边形的边数.
5.多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数.
6.n边形的内角和与外角和互比为13:
2,求n.
7.五边形ABCDE的各内角都相等,且AE=DE,AD∥CB吗?
8.将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形?
9.四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D.求:
∠C或∠D的度数.
10.在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠DAC=2∠BAC.
求证:
∠DBC=2∠BDC.
7.4课题学习:
镶嵌
一、教学目标
1.会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。
2.让学生在应用已有的数学知识和能力,探索和解决镶嵌问题的过程中,感受数学知识的价值,增强应用意识,获得各种体验。
二、教学活动的建议
探究性活动是一种心得学习方式,它不是老师讲授、学生听讲的学习方式,而是学生自己应用已有的数学知识和能力,去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。
本节教学活动采用以下形式:
(1) 学生自己提出研究课题;
(2) 学生自己设计制订活动方案;
(3) 操作实践;
(4) 回顾和总结。
教学活动中,教师提供必要的指点和帮助。
引导学生对探究性活动进行反思,不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题,并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。
关于镶嵌
1.1. 镶嵌,作为数学学习的一项探究性活动,主要有以下两个方面的原因:
(1) 如果用“数学的眼光”观察事物,那么用正方形的地砖铺地,就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。
(2) “几何“中研究图形性质时,也常常要把图形拼合。
比如,两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形,或一个矩形,或一个平行四边形;又如,六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形,四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。
2.2. 各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件,是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。
(1)用同一种正多边形镶嵌,只要正多边形内角的度数整除360°,这种正多边形就能作平面镶嵌。
比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌,而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°,所以这些正多边形都不能镶嵌。
(2)用两种或三种正多边形镶嵌,详见163~166页内容。
(3)用一种任意的凸多边形镶嵌。
从正多边形镶嵌中可以知道:
只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌,而不必考虑其他多边形能否镶嵌(这是因为:
假如这类多边形能作镶嵌,那么这类正多边形必能作镶嵌,这与上面研究的结论矛盾)