正方形经典难题(有解析).doc
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正方形经典难题（有解析）
已知正方形ABCD是一个正方形。
一、F为CD上一点，，G为对角线BD上一点，且FG⊥BD，
M为BG中点，连接AM、MF。
求证：
AM=MF，AM⊥MF
方法一：
考虑到M是BG中点，GF∥BC，所以想到倍长中线
证明：
延长CB、FM交于点I，连接AI、AF
∵GF⊥CD，
∴GF∥BC
∴∠GFM=∠MIB
又GM=MB，∠IMB=∠FMG
∴△GMF≌BMI
所以MF=MI，BI=GF
在Rt△ADF与Rt△ABI中
AB=AD，
DF=GF=BI
∠ADF=∠ABI=90°
∴△ADF≌△ABI
所以AF=AI，∠1=∠2
∠IAF=∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=90°
所以△IAF是一个等腰直角三角形
又MI=MF
∴△AMF是一个等腰直角三角形
所以AM=MF，AM⊥MF
方法二：
可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点
旋转90°的结果，条件中又有MG=MB，所以想到构造一个
三角形与△MGF全等。
证明：
延长FG交AB于J，连接JM
∵GF⊥CD
∴四边形AJDF和四边形BJFC均为矩形
所以AJ=DF=GF，BJ=CF
在△BJG中，∠JBG=45°，GJ⊥BJ，又M为BG中点
故JM=BM=GM，∠BJM=45°
∵∠DGF=45°
∴∠MGF=∠AJM=135°
在△AJM和△FGM中，
JM=GM，AJ=GF，∠MGF=∠AJM
∴△AJM≌△FGM
∴AM=MF，∠AMF=∠JMG=90°，即AM⊥MF
二、E是BC上一点，F是CD上一点，∠EAF=45°，
AE、AF分别交BD于M、N，连接MF
求证：
AM⊥MF，AM=MF
方法一：
联想到上题的图形，仍然考虑过F做CD的垂线
证明：
过F做FH⊥CD交BD于H，过F做FG⊥AF交
AE延长线于G，连接AH、HG、BG
∵∠EAF=45°
∴△AFG为等腰直角三角形
∴AF=FG
又∠AFD=∠GFH=90°-∠AFH
DF=HF
∴△ADF≌△GHF
∴HG=AD，HG⊥HF
∴HG=AB，HG∥AB
所以四边形AHGB是平行四边形
∴M是AG中点
∴△AMF为等腰直角三角形
∴AM⊥MF，AM=MF
方法二：
首先证明一个题目
四边形ABCD是一个正方形，F为CD上一点，
QD为∠ADS的角平分线，且QF=BF
求证：
QF⊥BF
证明：
过F分别向QD、BD做垂线，垂足
分别为G、H
∵AD⊥SC
∴∠GDF=∠QDS=45°
又∠BDC=45°
所以CD是∠HDG的角平分线
又HF⊥BD、FG⊥DG
∴HF=FG
在Rt△QFG和Rt△BFH中
QF=BF，HF=FG
所以△QFG≌△BFH
∴∠Q=∠DBF
∴∠QFB=∠QDB=90°
即QF⊥BF
联想到此题的做法，给出以下证明
证明：
过A做AQ⊥AE，并截取AQ=AM，连接QF，
过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、H
∵AQ⊥AM，AD⊥AB
∴∠QAD=∠MAB
又AQ=AM，AD=AB
∴△AQD≌△AMB
∴∠ADQ=∠ABM=45°
又AD⊥CD
∴∠CDG=45°
∴CD平分∠BDG
又HF⊥BD，FG⊥DG
∴HF=FG
在△AQF和△AMF中
∠QAF=∠EAF=45°
AQ=AM，AF公共
所以△AQF≌△AMF
∴QF=FM
在Rt△QFG和Rt△MFH中，
QF=FM，FG=HF
∴△QFG≌△MFH
∴∠DQF=∠DMF
∴∠QFM=∠QDM=90°
又AQ=QM，QF=FM，∠QAM=90°
易证四边形AQFM为正方形
所以AM⊥MF，AM=MF
三、E为BC上一点，F为CD上一点，∠EAF=45°，
AE、AF分别交BD于M、N，连接EF。
（1）求证：
EF=BE+DF。
考虑使用截长补短来证明
证明：
在CD延长线上截取DG=BE，连接AG
AB=AD，∠ADG=∠ABE=90°，DG=BE
∴△ADG≌△ABE
∴AG=AE，∠GAD=∠EAB
∴∠GAE=∠DAE+∠GAD=∠DAE+∠BAE=90°
∵∠EAF=45°
∴∠GAF=45°
又AG=AE，AF公共
所以△GAF≌△EAF
∴EF=GD+DF=BE+DF
（2）求证：
∠AFD=∠AFE=∠AMN，∠AEB=∠AEF=∠ANM
证明：
∵△GAF≌△EAF
∴∠AFD=∠AFE
在△DNF和△ANM中，
∠NAM=∠NDF=45°
∠DNF=∠ANM
∴∠AFD=∠AMN
∴∠∠AFD=∠AFE=∠AMN、
同理可得∠AEB=∠AEF=∠ANM
（3）求证：
联想到勾股定理，所以考虑把三条线段移到一个直角三角形中
证明：
过A做AH⊥AM，并截取AH=AM，连接HN，HD
显然有∠HAD=∠MAB，AH=AM，AD=AB
∴△HAD≌△AMB
所以HD=BM，∠HDA=∠ABD=45°
∴HD⊥DN
∵∠MAN=45°
∴∠HAN=45°
又AH=AM，AN公共
∴△ANH≌△ANM
∴HN=MN
在△HDN中，
即
（4）求证：
构造直角三角形，应用勾股定理
证明：
过N分别向AD、AB做垂线，垂足分别为I、J
显然有
所以
同理有
（5）连接NE、MF，求证：
AM=MF，AM⊥MF；AN=NE，AN⊥NE
见第二题
（6）求证：
注意到△AMF是等腰直角三角形，AD⊥DF，回归到基本图形
下面给出一种证明
证明：
过M做ML⊥DM交DA延长线于L
则△LMD为等腰直角三角形
∴LM=DM，∠L=∠MDF=45°
又∠LMA=∠DMF=90°-∠AMD
∴△LAM≌△DFM
∴LA=DF
∴
同理可得
（7）过M向CF做垂线，垂足为P，求证：
P为CF中点；
过N向CE做垂线，垂足为Q，求证：
Q为CE中点。
证明：
连接MF，CM
在△AMB和△CMB中
AB=BC，∠ABM=∠CBM=45°，BM公共
∴△AMB≌△CMB
∴AM=CM
由第二题结论，AM=MF
∴MF=CM
则△FMC是等腰三角形
又MP⊥CF
∴P为CF中点
同理，Q为CE中点
（8）求证：
证明：
过M做MT⊥BE于T
则△BMT为等腰直角三角形
∴
由（7）的结论，CF=2CP=2MT
∴
同理
（9）求证：
证明：
由（3）的结论，
由（8）的结论，
∴
∴
即
（10）过F做CD的垂线FR交BD于R，求证：
RM=BM
证明：
延长FR交AM于S，交AB于T，连接TM、MF
由第二题的结论有，AM=MF，AM⊥MF
∵FT⊥AB，∠AST=∠FSM
∴∠TAS=∠SFM
又AT=DF=RF
∴△ATM≌△FRM
∴TM=RM
又△RTB为等腰直角三角形
∴RM=MB
（11）分别过E、F向BD做垂线，垂足分别为S、R
求证：
看到（10）中的结论，此题迎刃而解
证明：
过F做FT⊥CD交BD于T
则△DFT为等腰直角三角形
又RF⊥DT
∴DR=RT
又由（10）中结论有TM=BM
∴
同理有
（12）求证：
证明：
连接MF、NE，过N做AE的垂线NK交AE于K
由第二题的结论，
△ANE和△AMF均为等腰直角三角形
∴KN=AK=KE
∵
∴
（13）P为EF中点，连接PM、PN
求证：
△PMN是等腰直角三角形
证明：
连接MF，由第二题的结论
∠EMF=90°
又P为EF中点
∴
同理有
∠1=180°-2∠AEF
∠2=180°-2∠AFE
又∠AEF+∠AFE=180°-∠EAF=135°
∴∠1+∠2=90°
∴∠MPN=90°
∴△PMN是等腰直角三角形
（14）过M、N分别做AB、AD的平行线交于点Q，
连接AQ，求证：
AQ⊥EF，AQ=QM=QN
证明：
由（13）的结论，△PMN为等腰直角三角形
∵QM∥AB
∴∠QMN=∠ABD=45°
同理∠QNM=45°
∴△QMN为等腰直角三角形
∴四边形PNQM为正方形
连接NE
由第二题结论，∠ANE=90°
∴∠ANQ=∠PNE=90°-∠QNE
又AN=NE，QN=PN
∴△ANQ≌△ENP
∴∠NAQ=∠NEP，AQ=PE
又PE=NP=QN=QM
∴AQ=QM=QN
延长AQ交EF于H
∵∠NEP+∠NFE=90°
∴∠NAQ+∠NFE=90°
∴AQ⊥EF
（15）已知正方形边长为a，令DF=x，BE=y，
请问x、y之间有何数量关系？
解：
由
（1）中结论
EF=DF+BE=x+y
CF=a-x，CE=a-y
∵
∴
展开，整理得
∴
∴
四、如图，已知正方形纸片ABCD，E为BC延长线上一点，
F为边AB上一点，将纸片沿直线EF翻折，点B恰好落在
AD边上的点G，连接GE交CD于H点。
若AG=2，CH=3，
求正方形边长。
解：
过B向GH做垂线BM，垂足为M
连接BG、BH
由于△GFE是由△BFE翻折得到
所以很容易得到
∠BGE=∠GBE
∵AD∥BC
∴∠GBE=∠AGB
∴∠AGB=BGE
又∠BAG=∠BMG=90°
BG公共
∴△AGB≌△MGB
∴GM=AG，∠ABG=∠GBM
同理有MH=CH，∠CBH=∠MBH
∴∠GBH=∠GBM+∠MBH=°
设正方形ABCD边长为a，
由第三题（15）问结论有，
解得，舍去
∴正方形边长为6
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