中考数学专题复习第十一讲平面直角坐标系与函数含答案.docx

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中考数学专题复习第十一讲平面直角坐标系与函数含答案

2016年中考数学专题复习

第十一讲平面直角坐标系与函数

【基础知识回顾】

一、平面直角坐标系：

1、定义：

具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称轴轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个

2、有序数对：

在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示，如A（a.b），（a.b）即为点A的其中a是该点的坐标，b是该点的坐标平面内的点和有序数对具有的关系。

3、平面内点的坐标特征：

①P（a.b）：

第一象限第二象限

第三象限第四象限

X轴上Y轴上

②对称点：

③特殊位置点的特点：

P（a.b）若在一、三象限角的平分线上，则

若在二、四象限角的平分线上，则

④到坐标轴的距离：

P（a.b）到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离

⑤坐标平面内点的平移：

将点P（a.b）向左（或右）平移h个单位，对应点坐标为（或），向上（或下）平移k个单位，对应点坐标为（或）。

名师提醒：

坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论。

二、确定位置常用的方法：

一般由两种：

1、2、。

三、函数的有关概念：

1、常量与变量：

在某一变化过程中，始终保持的量叫做常量，数值发生的量叫做变量。

名师提醒：

常量与变量是相对的，在一个变化过程中，同一个量在不同情况下可以是常量，也可能是变量，要根据问题的条件来确定。

2、函数：

⑴函数的概念：

一般的，在某个过程中如果有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有的值与之对应，我们就成x是，y是x的。

⑵自变量的取值范围：

主要有两种情况：

①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况

②、实际问题有意义的条件：

必须符合实际问题的背景

⑶函数的表示方法：

通常有三种表示函数的方法：

①、法②、法③、法

⑷函数的同象：

对于一个函数，把自变量x和函数y的每对对应值作为点的与

在平面内描出相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的同象

名师提醒：

①在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开方数应同时分母应。

②函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法

③函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，图象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上。

【重点考点例析】

考点一：

平面直角坐标系中点的特征

例1（2015•重庆）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（-3，2），则点P所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

思路分析：

根据点在第二象限的坐标特点即可解答．

解：

∵点的横坐标-3＜0，纵坐标2＞0，

∴这个点在第二象限．

故选：

B．

点评：

解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：

第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

跟踪训练：

1．（2015•柳州）如图，点A（-2，1）到y轴的距离为（　　）

A．-2B．1C．2D．

考点二：

规律型点的坐标

例2（2015•河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒

个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（　　）

A．（2014，0）B．（2015，-1）

C．（2015，1）D．（2016，0）

思路分析：

根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标．

解：

半径为1个单位长度的半圆的周长为：

×2π×1＝π，

∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒

个单位长度，

∴点P1秒走

个半圆，

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），

当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），

…，

∵2015÷4=503…3，

∴A2015的坐标是（2015，-1），

故选：

B．

点评：

此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．

跟踪训练

2．（2015•济南）在平面直角坐标系中有三个点A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（　　）

A．（0，0）B．（0，2）C．（2，-4）D．（-4，2）

考点三：

函数自变量的取值范围

例3（2015•内江）函数

中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x≠1

思路分析：

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

解：

根据二次根式有意义，分式有意义得：

2-x≥0且x-1≠0，

解得：

x≤2且x≠1．

故选：

B．

点评：

本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：

分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

跟踪训练

3．（2015•黔南州）函数

的自变量x的取值范围是（　　）

A．x≤3B．x≠4C．x≥3且x≠4D．x≤3或x≠4

考点四：

函数的图象

例4（2015•菏泽）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（　　）

思路分析：

由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择．

解：

因为开始以正常速度匀速行驶---停下修车---加快速度匀驶，可得S先缓慢减小，再不变，在加速减小．

故选：

D．

点评：

此题主要考查了学生从图象中读取信息的能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

例5（2015•重庆）某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（　　）

A．小强从家到公共汽车在步行了2公里

B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟

C．公共汽车的平均速度是30公里/小时

D．小强乘公共汽车用了20分钟

思路分析：

根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．

解：

A、依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；

B、依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；

C、公交车的速度为15÷

=30公里/小时，故选项正确．

D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；

故选D．

点评：

本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．

跟踪训练

4．（2015•新疆）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（　　）

5．（2015•湖北）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）

A．凌晨4时气温最低为-3℃

B．14时气温最高为8℃

C．从0时至14时，气温随时间增长而上升

D．从14时至24时，气温随时间增长而下降

考点四：

动点问题的函数图象

例6（2015•荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

思路分析：

首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：

①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．

解：

由题意可得BQ=x．

①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，

则△BPQ的面积=

BP•BQ，

解y=

•3x•x=

x2；故A选项错误；

②1＜x≤2时，P点在CD边上，

则△BPQ的面积=

BQ•BC，

解y=

•x•3=

x；故B选项错误；

③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9-3x，

则△BPQ的面积=

AP•BQ，

解y=

•（9-3x）•x=

x-

x2；故D选项错误．

故选：

C．

点评：

本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

跟踪训练

6．（2015•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（　　）

A．A→O→BB．B→A→CC．B→O→CD．C→B→O

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2015•金华）点P（4，3）所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．（2015•宿迁）函数

，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2

3．（2015•营口）函数

中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥-3B．x≠5C．x≥-3或x≠5D．x≥-3且x≠5

4．（2015•绵阳）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（-2，1）和B（-2，-3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是．

5．（2015•六盘水）观察中国象棋的棋盘，其中红方“马”的位置可以用一个数对（3，5）来表示，红“马”走完“马3进四”后到达B点，则表示B点位置的数对是：

．

6．（2015•威海）若点A（a+1，b-2）在第二象限，则点B（-a，b+1）在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

7．（2015•广安）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（　　）

A．y=x+2B．y=x2+2C．

D．

8．（2015•自贡）小刚以400米/分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是（　　）

9．（2015•贵阳）一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：

①l1描述的是无月租费的收费方式；

②l2描述的是有月租费的收费方式；

③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

10．（2015•西藏）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2015的坐标是（　　）

A．（5，3）B．（3，5）

C．（0，2）D．（2，0）

11．（2015•黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（　　）

12．（2015•资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直 的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：

度），那么y与点P运动的时间x（单位：

秒）的关系图是（　　）

二、填空题

13．（2015•南平）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：

．

14．（2015•郴州）函数

中，自变量x的取值范围是．

15．（2015•广安）如果点M（3，x）在第一象限，则x的取值范围是．

16．（2015•齐齐哈尔）在函数

中，自变量x的取值范围是．

17．（2015•广元）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是．

18．（2015•铁岭）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（-1，1）、（-1，-1）、（1，-1），则顶点D的坐标为．

19．（2015•青岛）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的

，那么点A的对应点A′的坐标是．

20．（2015•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，

）、B（-1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为．

21．（2015•甘孜州）如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．

三.解答题

22．（2015•大连）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤

，

＜x≤m时，函数的解析式不同）．

（1）填空：

n的值为；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

2016年中考数学专题复习

第十一讲平面直角坐标系与函数参考答案

【重点考点例析】

考点一：

平面直角坐标系中点的特征

跟踪训练：

1．C

解：

点A的坐标为（-2，1），则点A到y轴的距离为2．

故选C．

考点二：

规律型点的坐标

跟踪训练

2．A

解：

设P1（x，y），

∵点A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，

∴

，

解得x=2，y=-4，

∴P1（2，-4）．

同理可得，P1（2，-4），P2（-4，2），P3（4，0），P4（-2，-2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，-4），…，…，

∴每6个数循环一次．

∵

，

∴点P2015的坐标是（0，0）．

故选A．

考点三：

函数自变量的取值范围

跟踪训练

3．A

考点四：

函数的图象

跟踪训练

4．C

解：

∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：

当小红走到灯下以前：

l随S的增大而减小；

当小红走到灯下以后再往前走时：

l随S的增大而增大，

∴用图象刻画出来应为C．

故选：

C．

5．C

解：

A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点-3，∴凌晨4时气温最低为-3℃，故本选项正确；

B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；

C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上上升，不是从0点，故本选项错误；

D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．

故选C．

考点四：

动点问题的函数图象

跟踪训练

6．C

解：

A、从A点到O点y随x增大一直减小到0，故A不符合题意；

B、从B到A点y随x的增大先减小再增大，从A到C点y随x的增大先减小再增大，但在A点距离最大，故B不符合题意；

C、从B到O点y随x的增大先减小再增大，从O到C点y随x的增大先减小再增大，在B、C点距离最大，故C符合题意；

D、从C到M点y随x的增大而减小，一直到y为0，从M点到B点y随x的增大而增大，明显与图象不符，故D不符合题意；

故选：

C．

【备考真题过关】

一、选择题

1．A

2．C

3．D

4．（2，-1）

解：

因为A（-2，1）和B（-2，-3），

所以可得点C的坐标为（2，-1），

故答案为：

（2，-1）．

5．（4，7）

解：

如图所示，

B点位置的数对是（4，7）．

故答案为：

（4，7）．

6．A

解：

由A（a+1，b-2）在第二象限，得

a+1＜0，b-2＞0．

解得a＜-1，b＞2．

由不等式的性质，得

-a＞1，b+1＞3，

点B（-a，b+1）在第一象限，

故选：

A．

7．C

8．C

解：

由题意，得

以400米/分的速度匀速骑车5分，路程随时间匀速增加；在原地休息了6分，路程不变；以500米/分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，

故选：

C．

9．D

解：

①l1描述的是无月租费的收费方式，说法正确；

②l2描述的是有月租费的收费方式，说法正确；

③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱，说法正确．

故选：

D．

10．C

解：

∵小球第一次碰到正方形的边时的点为P1的坐标是（5，3），

小球第二次碰到正方形的边时的点为P2的坐标是（3，5），

小球第三次碰到正方形的边时的点为P3的坐标是（0，2），

小球第四次碰到正方形的边时的点为P4的坐标是（2，0），

∴每四次一个循环，则2015÷4=503…3，

∴P2015的坐标是（0，2）；

故选C．

11．C

解：

∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；

∴S△CPO=

CP•CO=

x•2x=x2．

∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：

y=x2（0≤x≤3），

故选：

C．

12．B

解：

（1）当点P沿O→C运动时，

当点P在点O的位置时，y=90°，

当点P在点C的位置时，

∵OA=OC，

∴y=45°，

∴y由90°逐渐减小到45°；

（2）当点P沿C→D运动时，

根据圆周角定理，可得

y≡90°÷2=45°；

（3）当点P沿D→O运动时，

当点P在点D的位置时，y=45°，

当点P在点0的位置时，y=90°，

∴y由45°逐渐增加到90°．

故选：

B．

二、填空题

13．（-1，-1）（答案不唯一）．

14．x≠2

15．x＞0

16．x≥-3，且x≠0

17．（-3，5）

解：

∵|x|=3，y2=25，

∴x=±3，y=±5，

∵第二象限内的点P（x，y），

∴x＜0，y＞0，

∴x=-3，y=5，

∴点P的坐标为（-3，5），

故答案为：

（-3，5）．

18．（1，1）

解：

∵正方形两个顶点的坐标为A（-1，1），B（-1，-1），

∴AB=1-（-1）=2，

∵点C的坐标为：

（1，-1），

∴第四个顶点D的坐标为：

（1，1）．

故答案为：

（1，1）．

19．（2，3）

解：

点A变化前的坐标为（6，3），

将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的

，则点A的对应点的坐标是（2，3），

故答案为（2，3）．

20．（-31008，0），

解：

∵A（0，

）、B（-1，0），

∴AB⊥AA1，

∴A1的坐标为：

（3，0），

同理可得：

A2的坐标为：

（0，-3

），A3的坐标为：

（-9，0），

…

∵2015÷4=503…3，

∴点A2015坐标为（-31008，0），

故答案为：

（-31008，0）．

21．（5，-5）

解：

∵

=5，

∴A20在第四象限，

∵A4所在正方形的边长为2，

A4的坐标为（1，-1），

同理可得：

A8的坐标为（2，-2），A12的坐标为（3，-3），

∴A20的坐标为（5，-5），

故答案为：

（5，-5）．

三.解答题

22．解：

（1）如图1，

，

当x=

时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，

∵PQ=

，QR=PQ，

∴QR=

，

∴n=S=

×（

）2=

×

=

．

（2）如图2，

，

根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：

当0＜x≤

时，

S=

×PQ×RQ=

x2，

当点Q点运动到点A时，

x=2AD=4，

∴m=4．

当

＜x≤4时，

S=S△APF-S△AQE=

AP•FG-

AQ•EQ，

AP=2+

，AQ=2-

，

∵△AQE∽△AQ1R1，

，

∴QE=

（2−

），

设FG=PG=a，

∵△AGF∽△AQ1R1，

，

∴AG=2+

-a，

，

∴a=

（2+

），

∴S=S△APF-S△AQE

=

AP•FG-

AQ•EQ

=

（2+

）•

（2+

）-

（2-

）•

（2−

）

=

，

∴

．

综上，可得

。