高考数学《坐标系与参数方程》专项练习.docx
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高考数学《坐标系与参数方程》专项练习
、知识梳理.
极坐标与直角坐标的互化.设M是平面内任意一点,
《坐标系与参数方程》专项练习
它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（p,0），则它们之间的关系为:
（1）x
cos
y
sin
参数方程x
f（t）
y
g（t）
2.
（1）代入法/加减法消参.
（2）
tan
2
y
y
x
（t为参数）化为普通方程的常用方法.
22
（2）借助三角恒等式sin0+cos0=1（0为参数）消参.
3.直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系.
2
C的普通方程为—+y2=1
3
•/psin（0+—）=22
4
•••p（sin0cos+cos0sin）=2.244
p（—sin0+二cos0）=2.222
—psin0+—2pcos0=2222
psin0+pcos0=4
■/pcos0=x,psin0=y
x+y=45分
Y
t=-,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:
x
2y
（t为参数）距离的最小值.
x4cost
解：
（I）由C:
X4cost消去参数t得1分
•C2的普通方程为6；+七=12分
•C2为焦点在x轴上的椭圆
y3sint
（此处为消参的计算过程，可省略）1
卄计ex4cost
变形得
y3sint
（x4）cos21①
两边平方，得22「、
（y3）sint②
①+②，得（x+4）2+（y—3）2=1
•C1的普通方程为（x+4）2+（y—3）2=12分
•C为圆心是（一4,3），半径是1的圆
x8cos
由C2：
x8cos消去参数e得1分
y3sin
:
（此处为消参的计算过程，可省略）
X
—cos
变形得8
y—sin
3
I-
x2
名cos2①
I两边平方，得64
—sin2②
9
22
①+②，得—+仏=1
649i
2・・・’2
（n）当t时，P（4,4）,Q（8cos,3sin）
2
3
故M（24cos,2sin）
2
4.（2015全国I卷，文/理23,10分）在直角坐标系xOy中，直线C：
x=—2,圆C2：
（x-1）22
+（y—2）=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求C,C2的极坐标方程；
（n）若直线G的极坐标方程为0=（p€R）,设G与CC的交点为M汕求厶C2MN勺面积.解：
（I）把x=pcos0代入Ci:
x=—2得pcos0=—21分
•C的极坐标方程为pcos0=—22分
由C2:
（x—1）+（y—2）=1得（x2—2x+1）+（y2—4y+4）=1
22
x+y—2x—4y+1+4=1
22x+y—2x—4y+4=03分
ooo
把p=x+y,x=pcos0,y=psin0代入上式得4分
C的极坐标方程为p—2pcos0—4psin0+4=05分
（n）将0=..代入p—2pcos0—4psin0+4=0，得p2—3-讦2p+4=06分
解得p1=2-„',p2=.7分
故p1—p2=.，即|MN8分
由于G的半径为1
xyx2t
5.
y22t
（2014全国I卷，文/理23,10分）已知曲线C:
—-L1，直线|:
（t为参
（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（n）过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线，交I于点A,求|PA的最大值与最
x2cos
y3sin
x=2+t
曲线C的参数方程为（0为参数）.
由直线I:
卜=2—消去参数t得
（此处为消蔘的计算过程，可省略）"把③代入②,得]
1:
y=2-2（x-2）■
整理得2x+y—6=0
-由①得t二x—.2一③―，
直线l的普通方程为2x+y—6=0.
（n）曲线C上任意一点P（2cos0,3sin0）到I的距离为
d=^-|4cos0+3sin0—6|
d1頑4
则|PA|=^^=冷|5sin（0+a）—6|，其中a为锐角，且tana=当sin（0+a）=—1时，|PA|取得最大值，最大值为手
当sin（0+a）=1时，|PA|取得最小值，最小值为
6.（2014全国n卷，文/理23,10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为
极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p=2cos0,0€[0,].
（I）求C的参数方程；
（n）设点D在C上，C在D处的切线与直线I:
y=、3x+2垂直，根据（I）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
解：
（I）Tp=2cos0
2
•p=2pcos0
把x+y=p,x=pcos0代入上式得
22小
x+y=2x
22
•C的普通方程为（x—1）+y=1（0wy<1）
•半圆C的圆心为（1,0），半径为1
可得C的参数方程为
（t为参数，0WtWn）
（n）设D（1+cost,sint）
由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆•/C在点D处的切线与I垂直
•直线GD与I的斜率相同.tant=:
t=
故D的直角坐标为I-■'—二
acost
1asint
G：
p=
（t为参数,
4cos0.
（I）说明
（n）直线
由消去参数t得
y1asint
x
7.（2016全国I卷，文/理23,10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
y
a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C是哪一种曲线，并将G的方程化为极坐标方程；
C3的极坐标方程为0=ao,其中ao满足tanao=2，若曲线G与C2的公共点都在C3上，求a.
解：
（I）解法一：
C是圆的方程
xacost
移项，得x
y
两边平方，得
x2y12a2①
整理得x2y22y1
•••把xy22,y
22
2sin1a
•-G的极坐标方程为
（n）由C2:
p=4cos0得
2
两边同乘p得p=4pcos
22,2c
■/p=x+y,pcos0=x
22八
xy4x6分
即x22y24②……
sin
3分
代入上式得……
sin
C3:
化为普通方程为y2x8
由题意：
G和G的公共方程所在直线即为G
0,即为C3
①-②得：
4x2y1a
•1a20
10分
•-a1
x45cost
（t为参数），以
y55sint
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.
（I）把C的参数方程化为极坐标方程；
（n）求C与C2交点的极坐标（P>0,owBv2n）.
x45cost
解：
（I）将消去参数t得
y55sint
C的普通方程为（x—4）2+（y—5）2=25
即C:
x2+y2—8x—10y+16=0
cos代入上式得
sin
将X
y
2
p—8pcosB—10psinB+16=0
•-C的极坐标方程为p—8pcos9—10psin9+16=0
•/C2的极坐标方程为p=2sin9
•C2的普通方程为x2+y2—2y=0
x2y28x10y160①
田
提取x,得x（x—1）=0
•x=0或x—1=0
解得x=0或x=1
把x=0代入③，得y=2把x=1代入③，得y=1
x2y22y0②
（此处为解方程的过程，■可省略）
②—①，得8x+8y—16=0
整理，得y=2—x③把③代入②，得
x2+（2—x）2—2（2—x）=0整理，得x2—x=0
（特别注意，x是未知数，不能约去的
・■■：
・■■■KB■■■■n■■■KB■■■■■■■■■■
x0卡x1解得或
y2y1
C与G交点的直角坐标分别为（0，2），（1，1）
对于点（0，2）有：
p=.,：
x寸=v-02=2，9=—
2
9=丄=1,
x
【题型4】其它题型：
.求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等.
9.（2015全国n卷，文/理23,10分）在直角坐标系xOy中，曲线C:
其中0wavn.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:
p=2sin9，
C3：
p=2.3cos9.
（I）求C2与G交点的直角坐标；
（n）若C与C2相交于点A,C与G相交于点B,求IAB的最大值.
解：
（I）：
G:
p=2sin9
2
•p=2psin9
222
把p=x+y,y=psin9代入上式得
曲线C的直角坐标方程为x2+y2—2y=0①1分
TG:
p=2cos9
•p2=2“」pcos9
把p2=x2+y2,x=pcos9代入上式得
曲线G的直角坐标方程为x2+y2—2J3x=0②x2y22y0①
联立①②得22
xy2j3x0②
•G与
（n）曲线c的极坐标方程为e=
因此A的极坐标为（2sina,
•|AB|=|2sina—来Jcosa|=4
当a=p时，|AB取得最大值，最大值为
对应参数分别为t=a与t=2a（0VaV2n）,M为PQ的中点.
（I）求M的轨迹的参数方程；
（n）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
Ix=2cost
解：
（I）t动点P,Q都在曲线C:
.（t为参数）上
•P（2cosa,2sina）,Q（2cos2a,2sin2a）
•••M为PQ的中点
_2cos2cos2丄…
--Xm==cosa+cos2a
2
2sin2sin2.,.n
yM==sina+sin2a
2
•Mcosa+cos2a,sina+sin2a）.
•M的轨迹的参数方程为
（n）M点到坐标原点的距离当a=n时，d=0,
=a+cos2ai'“
[\斗厂|-；…（a为参数，0d=+=2旳a（0故M的轨迹过坐标原点
x2cos
11.（2012全国卷，文/理23,
10分）已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐
y3sin
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p=2.正方形
（2,3）-
ABCD勺顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为
（I）求点代B,C,D的直角坐标；
（H）设P为C上任意一点，求IPA2+|PB2+|PC2+|PD2的取值范围.
2cos
（a
22sin
12.（2011全国卷，文/理23,10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
为参数）,M是C上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线G.（I）求C2的方程；
（n）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=—与C的异于极点的交
3
点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解：
（I）设Rx,y），则由条件知MX,-）.
22
由于M点在C上
xc
2cos
...2
-22sin
2
x4cos
从而G的参数方程为（a为参数）
y44sin
（n）曲线C的极坐标方程为P=4sine
曲线C2的极坐标方程为p=8sine
射线e=—与C的交点A的极径为p1=4sin—
33
射线e=—与C2的交点B的极径为P2=8sin—
33
IAB|=|p2—p11=23
13.（2010全国卷，文/理23,10分）已知直线C:
x1tcos（t为参数），圆C2：
xcos（0ytsinysin
为参数）.
（I）当a=一时，求C与C2的交点坐标；
3
（H）过坐标原点0做C的垂线，垂足为A,P为0A的中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
解：
（I）当a=—时
3
C的普通方程为
C2的普通方程为
联立方程组y''3（x1）
x2y21
解得C与C2的交点为（1,0）,
（H）C的普通方程为.
A点坐标为，
故当变化时，P点轨迹的参数方程为
（为参数）
P点轨迹的普通方程为
故P点是圆心为，半径为的圆
（此处为消参的计算过程，可省略）
acost
1asint
x*12******（acost）2
222（
口口xacost①
即
（y1）2a2sin2t②
①+②，得
x2+（y-1）2=a2cos2t+a2sin2t
x2+（y-1）2=a2（cos2t+sin2t）
222
x+（y-1）=a
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