最优控制与滤波作业解答.doc
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·变分学
1．求泛函，的极值曲线。
解：
两端固定，无约束泛函极值。
Euler方程：
其中：
∴Euler方程为：
解为：
代入边界条件得：
c1=1，c2=2∴x*（t）=cost+2sint
或用Laplace变换解：
2．已知线性系统的状态方程
其中
给定，，求，使性能指标为最小。
解：
始端时间和状态固定，终端时间固定tf=2，终端状态约束，终端约束条件为：
，即g（x（tf）,tf）=x1（tf）=0（一个约束方程）。
等式约束条件下的泛函极值问题。
泛函极值的必要条件为：
系统方程：
伴随方程：
控制方程：
横截条件：
边界条件：
解上述方程:
代入上述方程，有：
将边界条件以及代入上述方程，有：
故，使性能指标J达到最小的最优控制为：
u*（t）=[-9/149t/14-18/14]T
3．受控系统的状态方程、初始条件和目标集分别为
试写出使为最小的必要条件，其末端时间是可变的。
解：
系统方程：
伴随方程：
控制方程：
横截条件：
H在最优轨线末端满足：
边界条件：
4．已知受控系统，试求和tf，使系统在tf时刻转移到坐标原点，且使为最小。
解：
终点时间未定，终点状态固定，起点固定。
f=u，
使J最小的必要条件：
系统方程：
伴随方程：
控制方程：
H在最优轨线末端满足：
边界条件：
x（0）=1
x（tf）=0
解得：
5．已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为
求最优控制，使
a），
b），
c），
d），，
e）为最小。
注：
其中a）,b）求最优解，c）,d）,e）只需写出必要条件。
解：
，
a.，
两端固定，使J最小的必要条件：
系统方程：
伴随方程：
控制方程：
边界条件：
解得：
u*（t）=18t-10
b.，
起点固定，终点时间固定，终点状态等式约束。
使J最小的必要条件：
系统方程：
伴随方程：
控制方程：
横截条件：
边界条件：
解得：
u*（t）=6t-6
c.，
起点固定，终点时间不定，终点状态等式约束。
状态方程：
伴随方程：
横截条件：
边界条件：
控制方程：
H在最优轨线末端满足：
解得：
tf=2.3c1=1.623c2=3.733
d.，，
解：
起点固定，终点时间不定，终端状态等式约束
状态方程：
伴随方程：
横截条件：
边界条件：
H在最优轨线末端满足：
控制方程：
e.为最小。
解：
起点固定，终点时间固定，终点状态自由
状态方程：
伴随方程：
横截条件：
边界条件：
控制方程：
上述方程可写为齐次微分方程：
最小值原理习题
1．设受控系统为，，，试写出在约束条件下，系统由初始条件转移到目标集：
，，且使性能指标为最小的必要条件，其中未定。
解：
起点固定，终点时间不定，终点状态等式约束。
（除极值条件外，其余同无闭集约束）
，
状态方程：
，，
伴随方程：
H在最优轨线末端满足：
横截条件：
边界条件：
极值条件：
2．考虑二阶系统。
控制约束为，试确定将系统在时刻转移到零状态，且使性能指标最小的最优控制，其中未定。
解：
起点固定，终点时间不定，终点状态固定。
根据极小值原理，使J取极小的必要条件是：
状态方程：
，
伴随方程：
边界条件：
H在最优轨线末端满足：
极值条件：
分别讨论上述三种情况：
①u（t）=0.5，且l2（t）≤-1tf=0.5tf=1结果矛盾，无解
②u（t）=-0.5，且l2（t）≥1tf<0无解
③u（t）=0.5c1t-0.5c2
由上述必要条件得：
验证在0≤t≤tf=3时，0≤u<1/2，即控制在容许范围内，所以最优控制为：
最优时间习题
1．已知受控系统，试求满足约束条件，将系统由任意给定的初态转移到坐标原点的时间最优控制。
解：
起点固定，终点时间未定，终点状态固定。
闭集约束极值问题。
性能指标：
根据极小值原理，使J取极小的必要条件是：
状态方程：
伴随方程：
边界条件：
H在最优轨线末端满足：
极值条件：
解上述方程：
LQ习题
1．已知一阶受控系统。
性能指标函数取为：
，试求使性能指标J为最小的最优控制律。
解：
F=1,Q=1,R=1,A=0,B=1标量系统
2．一阶受控系统。
性能指标函数取为：
，试求使J为最小的最优控制律。
解：
F=0，Q=2，R=1，A=1,B=1,标量系统
3．设线性系统及二次型性能指标分别为，，试求最优控制律。
解：
R=r,
无限时间状态调节器问题，判定能控性：
∑（A,D）能观，∴闭环系统渐进稳定。
4.设线性系统的状态方程为：
，初始条件为：
，试求最优控制，使性能指标:
取极小值，并证明Riccatti方程及终端条件分别为：
，
式中。
（F（t）≥0对称,R（t）>0对称,Q（t）-M（t）R-1（t）MT（t）≥0对称）
解：
思路：
将性能指标转化为原有定理中指定的形式：
其中：
（将上式变成二个二次型函数，需要将x或u变形，由于性能指标的终端项存在，因此x不能变；x的权阵配方方法可以直接从题目条件“Q（t）-M（t）R-1（t）MT（t）≥0对称”得到）
系统状态方程为：
其中，P（t）满足：
5．设系统为，其中，，
（1），自由，求使J最小的最优控制序列；
（2）时，求使J最小的最优控制序列；
（3）最小的最优控制律。
解：
（2）
（3）
要求P非负定
滤波习题
1．分析如下系统，
其中x为标量，为1维零均值高斯白噪声序列，其协方差矩阵大于零且有界。
假设x（0）为零均值高斯随机向量且独立于，且其方差矩阵是任意大的正数，即。
试利用Kalman滤波公式证明：
，。
解:
F（k）=1G（k）=0H（k）=1
根据Kalman滤波公式：
2.设标量系统，其中模型噪声和量测噪声为互不相关的零均值高斯白噪声序列，即
，，，,
，,
已知初始状态的统计特性为：
，，且与都互不相关。
，，。
试求：
（1）最优滤波估计和；
（2）稳态滤波增益与滤波方程。
解：
Fk=1Gk=1Hk=1
Kalman滤波公式：
（1）
（2）由
（1）得：
①如果在某个k，Pk>2.11，则Pk+1-Pk<0，Pk递减，且Pk+1>1.875有下界
∴极限存在
②如果在某个k，Pk<2.11，则Pk+1-Pk>0，Pk递增，且Pk+1<3有上界
∴极限存在
设，则
于是，
滤波方程：
稳态时滤波方程为：
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