自动控制大作业.docx
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自动控制大作业
自动控制原理课程大作业
班级：
1302011
成员：
刘罡130********
潘仕林130********
赵奇130********
2014年《自动控制技术》课程大作业
一、课程习题
1．带飞球式调节器的瓦特蒸汽机是近代工业革命兴起的标志，同样也是一个典型的反馈控制系统，请画出该系统的组成框图，并注明下列器件的位置，并说明与每个信号相关的装置。
受控过程过程要求的输出信号传感器
执行机构执行机构的输出信号调节器
调节器输出信号参考信号误差信号
图1.1瓦特离心式调速器示意图
解：
受控过程蒸汽机运行过程要求的输出信号转速传感器履带
执行机构蒸汽阀执行机构的输出信号蒸汽推力
调节器调速器调节器输出信号调速器转速参考信号规定转速误差信号转速偏差
2.倒立摆控制系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统。
倒立摆的控制问题就是给连接摆杆的小车施加控制力，使摆杆尽快的达到一个平衡位置，并且保证不出现过大的振荡。
当摆杆到达期望的平衡位置后，系统能克服随机扰动保持在平衡点。
如图2所示是一个简单的一阶倒立摆系统，这里忽略空气阻力和各种次要的摩擦力，将倒立摆系统看做是一个由小车和均匀刚性杆组成的系统。
假设系统初始状态时，摆杆垂直于小车处于平衡状态，此时摆杆受到冲激信号作用产生一个微小的偏移。
建立此时系统的控制系统数学模型。
图1.2小车-单摆系统示意图
解：
1.一阶倒立摆的微分方程模型
对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图1-2小车及摆杆受力图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
（1-2）
即：
（1-3）
把这个等式代入式（1-1）中，就得到系统的第一个运动方程：
（1-4）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
（1-5）
即：
（1-6）
力矩平衡方程如下：
（1-7）
由于所以等式前
面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（1-8）
设
，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ<<1弧
度，
。
用u代表被控对象的输入力F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：
2.一阶倒立摆的传递函数模型
对式（1-9）进行拉普拉斯变换，得：
注意：
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：
或
如果令
，则有：
把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：
整理后得到传递函数：
（1-9）
（2-2）
（2-3）
（2-4）
（2-6）
其中。
3.一阶倒立摆的状态空间模型
设系统状态空间方程为：
（3-1）
方程组（2-9）对
解代数方程，得到解如下：
整理后得到系统状态空间方程：
（3-3）
摆杆的惯量为，代入（1-9）的第一个方程为：
得：
化简得：
设，则有：
（3-4）
（3-5）
3.设计用来保持飞机俯仰姿态角的自动驾驶仪的方框图如图3所示
图1.3飞机俯仰控制系统示意图升降角和俯仰姿态角之间的传递函数为：
𝜃（s）
𝛿𝑒（𝑠）
=𝐺（𝑠）=
50（𝑠+1）（𝑠+2）
（𝑠2+5𝑠+40）（𝑠2+0.03𝑠+0.06）
自动驾驶仪控制者根据以下传递函数用俯仰姿态角误差来调整飞机升降：
𝜃（s）
𝛿𝑒（𝑠）
=D（s）=
𝐾（𝑠+3）
（𝑠+10）
计算输入参考为单位阶跃变化时K的值，使得系统超调量小于10%，上升时间小于0.5s.
解：
系统根轨迹为：
编程计算：
clc;clear;closeall;mn=0;mx=1;ka=0.01;
kf=10;dk=0.01;
K=ka:
dk:
kf;b=50*conv（[1,3],conv（[1,1],[1,2]））;
a=conv（[1,10],conv（[1,5,40],[1,0.03,0.06]））;
sys=tf（b,a）;sys1=K*sys;j=1;k=1;
fori=1:
length（K）sys2（i）=feedback（sys1（i）,1,-1）;
[Y,T]=step（sys2（i））;post1=（find（Y>mx*Y（end）））;tr（i）=T
（2）*（post1
（1））;
or（i）=（max（Y）-Y（end））/Y（end）;
iftr（i）<0.5&or（i）<0.1k1（j）=i;j=j+1;end
endifj>1
mid=ceil（length（k1）/2）;subplot（2,2,1）;
pzmap（sys1（k1（mid）））;title（'开环零极点分布图'）;subplot（2,2,2）;
rlocus（sys）;title（'根轨迹曲线'）
gridon;subplot（2,2,3）;
pzmap（sys2（k1（mid）））;title（'闭环零极点分布图'）;subplot（2,2,4）;
step（sys2（k1（mid）））;
title（['阶跃响应\delta=',num2str（100*or（k1（mid）））,'%t_r=',num2str（tr（k1（mid）））]）;elsedisp（'不存在满足指标的K值'）;
end
K=2.6；
4.我们希望设计一个汽车的速度自动控制系统,假定（a）汽车的质量为
1500kg;（b）加速度计提供控制信号U,即当其角速度变化1度时,便在汽车上施加10N的力;（c）空气的摩擦阻力正比于速度,其比例系数为10N•s/m。
1）试求出从输入U到汽车转速间的传递函数
2）假设转速的变化由下式给出：
V（s）=
1
𝑠+0.002
𝑈（𝑠）+
0.05
𝑠+0.02
𝑊（𝑠）
其中V的单位为米/秒，U的单位为度，W为公路等级。
设计一个比例控
制器U=-kpV，使转速误差小于1m/s，此时路面的等级为常值的2%。
3）试讨论当对系统施加积分控制时，会带来什么好处。
4）若该系统在纯积分控制作用下，适当选择反馈增益使系统处于临界阻尼状态。
解：
（1）
（2）程序代码：
clc;clear;closeall;k=0.1:
5;j=1;
fori=1:
length（k）b=0.05*0.02*[1,0.002];
V（s）=
𝑈（𝑠）573𝑠+10
a=conv（[1,k（i）+0.002],[1,0.02]）;
sys（i）=tf（b,a）;
[y,t]=impulse（sys）;ifmax（y）<1
post（j）=i;j=j+1;
end
end
iflength（post）>0impulse（sys（post
（1）））;
else
disp（'无满足要求的K'）;
end
运行结果：
K=0.3
（3）对系统施加积分控制会提升系统类型号减小稳态误差。
（4）
特征方程：
573𝑠2+10𝑠+𝐾𝑝=0
临界阻尼方程有重根𝐾𝑝=0.0436
5.假设一种位置伺服控制系统中受控对象的传递函数为：
10
G（s）=
𝑠（s+1）（s+10）
在单位反馈结构中设计传递函数为D（s）的串联补偿，使以下闭环性能指标得到满足：
参考阶跃输入响应的超调量不大于16%；参考阶跃输入响应的上升时间不超过0.4秒。
单位斜坡输入的稳态误差小于0.021）设计超前补偿环节使系统满足动态响应指标。
2）如果D（s）为比例控制器，其值为kp，速度常数Kv为多少？
3）设计一个滞后补偿，与已经设计的超前补偿串联使用，是系统满足稳态误差指标。
4）绘制最终设计结果的根轨迹图及单位阶跃参考输入下的响应曲线。
解：
（1）采用根轨迹校正方法程序代码：
clc;clear;closeall;b=10;
a=conv（conv（[1,1],[1,10]）,[1,0]）;
sys=tf（b,a）;d=0.2;tr=0.4;
wd=（pi-acos（d））/tr;
x=-wd/tan（acos（d））;y=wd;
s1=x+y*j;z=x;
op=pi+angle（s1+z）-angle（s1）-angle（s1+1）-angle（s1+10）;p=x-y*tan（op）;
k=abs（prod（[s1,s1+1,s1+10,s1-p]））/abs（s1-z）/10;b1=k*[1,-z];
a1=[1,-p];
sys1=tf（b1,a1）;den1=conv（b1,b）;num1=conv（a1,a）;sysg1=tf（den1,num1）;sysf1=feedback（sysg1,1,-1）;subplot（2,2,1）;pzmap（sysf1）;subplot（2,2,2）;rlocus（sysg1）;subplot（2,2,3）;
step（sysf1）;subplot（2,2,4）;bode（sysg1）;
运行结果：
超前矫正装置：
sys1=
83.43s+75.45
---------------
s+18.59
（2）
（3）采用根轨迹矫正程序代码：
clc;clear;closeall;b=10;
a=conv（conv（[1,1],[1,10]）,[1,0]）;
sys=tf（b,a）;d=0.2;tr=0.4;
wd=（pi-acos（d））/tr;
x=-wd/tan（acos（d））;y=wd;
s1=x+y*j;z=x;
𝑘𝑣=lim𝑠𝐺（𝑠）=𝑘𝑝
𝑠→0
op=pi+angle（s1+z）-angle（s1）-angle（s1+1）-angle（s1+10）;p=x-y*tan（op）;
k=abs（prod（[s1,s1+1,s1+10,s1-p]））/abs（s1-z）/10;b1=k*[1,-z];
a1=[1,-p];
sys1=tf（b1,a1）;den1=conv（b1,b）;num1=conv（a1,a）;sysg1=tf（den1,num1）;sysf1=feedback（sysg1,1,-1）;
%subplot（2,2,1）;
%pzmap（sysf1）;
%subplot（2,2,2）;
%rlocus（sysg）;
%subplot（2,1,2）;
%step（sysf1）;
%bode（sysg）;wa=13.7;k2=60;k1=50;
b2=[1,wa/k2];a2=[1,wa/k2/k1];sys2=tf（b2,a2）;den2=conv（b2,den1）;num2=conv（a2,num1）;sysg2=tf（den2,num2）;sysf2=feedback（sysg2,1,-1）;subplot（2,2,1）;pzmap（sysf2）;subplot（2,2,2）;rlocus（sysg2）;subplot（2,2,3）;
step（sysf2）;subplot（2,2,4）;bode（sysg2）;
运行结果：
滞后校正装置：
sys2=
s+0.2283
------------
s+0.004567
开环增益：
K=202.9446
斜坡输入稳态误差为1/K=0.0049
（4）见（3）结果
6.表1.1中给出的频率响应数据来自于一个直流电机，该电机用于一个位置控制系统。
假定该电机模型为线性的且为最小相位。
1）估计该系统的传递函数G（s）。
2）为该电机设计一个串联补偿器，使得该闭环系统满足以下性能指标：
a）对单位斜坡输入的稳态误差小于0.01。
b）PM≥45°。
表1.1直流电机控制系统频率响应数据表
解：
（1）
经观察曲线拐点为𝑤1=4和𝑤2=80增益K=100；
𝐾
100
G（s）=
𝑠（𝑠+1）（𝑠+1）=
𝑠（𝑠+1）（𝑠+1）
拟合曲线如下：
𝑤1
𝑤2
480
（2）采用滞后校正程序代码：
clc;clear;closeall;k=100;w1=4;w2=80;
b=k;a=conv（conv（[1/4,1],[1/80,1]）,[1,0]）;
sys=tf（b,a）;
[mag,phase,wout,sdmag,sdphase]=bode（sys）;magdb=20*log10（mag）;
pm=45;rpm=10;
om=-180+pm+rpm;post=find（phase<=om）;
wo=wout（post
（1））;k=mag（post
（1））;k1=50;
wo1=wo/k1;T=1/sqrt（k）/wo1;b1=1/k*[1,1/T];a1=[1,1/k/T];sys1=tf（b1,a1）;den=conv（b1,b）;num=conv（a1,a）;sysg=tf（den,num）;bode（sysg）;
运行结果：
矫正装置：
sys1=
0.03663s+0.01128
-------------------
s+0.01128
开环增益K=100
斜坡输入稳态误差为1/K=0.01
7.考虑图1.4所示的电路，输入电压源为u（t）、输出电流为y（t）。
1）使用电容电压和电感电流作为状态变量，写出该系统的状态方程和输出方程。
2）使系统不可控，求出R1、R2、C和L应满足的条件。
找出一组类似的条件使
系统不可观测。
3）从系统时间常数的角度解释2）中求出的条件。
4）求出该系统的传递函数，并证明2）中的条件存在零极点抵消的现象。
解：
（1）
𝑥1̇=−
1
𝑅1𝐶
𝑥1+
𝑢
𝑅1𝐶
𝑅2𝑢
𝑥2̇=−
𝑥2+
𝐿𝐿
𝑦=−𝑥1+𝑥+𝑢
{𝑅1
2𝑅1
−101
A=[
𝑅1𝐶
0−𝑅2
𝐿
]B=[𝑅1𝐶]
𝐿
C=[−
（2）
1
𝑅1
0]D=1
𝑅1
可控性：
11
[𝐵𝐴𝐵]=𝑅1𝐶
（𝑅1𝐶）2
1𝑅2
[𝐿𝐿2]
rank[BAB]<2
𝑅2=1
可观性：
[𝐶
𝐿𝑅1𝐶
1
−1
𝑅1
𝐶𝐴]=
1
1
[𝑅2𝐶
−𝑅2
𝐿]
rank[𝐶]<2
𝐶𝐴
𝑅2=1
𝐿𝑅1𝐶
（3）
1
RC电路时常数𝑇1=𝑅𝐶
𝑅2
RL电路时常数𝑇2=𝐿
电路不可控与不可观条件为𝑇1=𝑇2
（4）
H（s）=
𝑌（𝑠）
𝑈（𝑠）
1
=
1+𝑅
1
+
𝑠𝐿+𝑅2
经化简：
𝑠𝐶1
11
1𝑠2+（𝑇2+𝑇𝐿𝐶）𝑠+𝐿𝐶H（s）=1
当𝑇1=𝑇2=T时
𝑅1（𝑠+𝑇1）（𝑠+𝑇2）
1（𝑠+𝑇）（𝑠+1）
（𝑠+1）
H（s）=𝑇𝐿𝐶=1
𝑇𝐿𝐶
𝑅1
传递函数出现零极点相消。
（𝑠+𝑇）2
𝑅1
（𝑠+𝑇）
二、综合设计热水开了没？
——恒温控制设计
温度控制系统是以温度作为被控变量的反馈控制系统，广泛应用与工业生产的各个领域。
温度控制系统常用来保持温度恒定或者使温度按照某种规定的程序变化。
这里，我们研究的就是大家每天在教学楼里都可见到的热水器。
如图2所示，假设水箱高水位容量为50升，水温98℃以上为沸水。
热水器在加电启动后，控制电磁阀进行注水，同时接通加热管电源进行加热。
基本的调节规则包括：
1）水位检测与加热控制只要水位高于低水位，加热管就通电加热；水位低于低水位点则停止加热。
2）水位检测与电磁阀控制热水器工作时，实际水位只要低于高水位点则打开电磁阀注水；实际水位高过高水位点后电磁阀关闭，停止注水；
3）当温度传感器检测到水温达到预设温度值后，加热器停止加热。
4）热水嘴由外部使用者控制，随时有可能打开出水。
设计要求：
图2热水器内部结构示意图
1）根据实际情况估计或设计热水器各部件的物理参数，建立热水箱的系统数学模型，并分析水箱从无水到加满水并烧开最少需要多长时间？
2）假设热水嘴不放水，而水箱存在热耗散，为了达到满水温度保持的目标，考虑合适的预期温度设定，设计数字控制器对热水器的温度进行恒温控制。
3）假设热水嘴每次放水500ml，如果每次放水后就打开电磁阀注水，那么需要间隔多长时间才能喝到开水？
如果课间休息10分钟，有100人排队接水，热水器能够保证每个人都喝上开水吗？
如果不能，如何调整控制策略来满足要求？
解：
（1）系统参数：
加热功率P高水位容量𝑉𝐻低水位容量𝑉𝐿进水流量𝑄𝑖𝑛预定温度𝑇1初始水温𝑇0
水的比热容C
水密度ρ
数学模型：
𝑇00<𝑡<𝑡1
𝑃（𝑡−𝑡0）
𝑇0+
𝐶𝜌𝑄𝑖𝑛
𝑡1<𝑡<𝑡2
𝑡
T=
𝑇0+
𝑃（𝑡−𝑡0）
𝐶𝜌𝑉𝐻
𝑡1<𝑡<𝑡2
𝑉𝐿
𝑉𝐻
{
（𝑇1−𝑇0）𝐶𝜌𝑉𝐻
𝑇1𝑡2<𝑡<𝑡3
𝑉𝐿
其中𝑡1=𝑄
𝑖𝑛
𝑡2=𝑄
𝑖𝑛
+
P𝑄
𝑖𝑛
模型求解：
P=3000W𝑉𝐻=50dm3𝑉𝐿=10𝑑𝑚3𝑄𝑖𝑛=1𝑑𝑚3/𝑠𝑇1=98𝐶𝑇0=20C
C=4.2kJ/（kg*k）ρ=1kg/𝑑𝑚3
𝑡3=92𝑚𝑖𝑛
（2）
建立数学模型
控制算法即控制器的操作方式，是控制器对过程变量的实测值与设定值之间的误差信号的响应。
温度控制在工业领域应用非常广泛，由于其具有工况复杂、参数多变、运行惯性大、控制滞后等特点,它对控制调节器要求较高。
温度控制不好就可能引起生产安全，产品质量和产量等一系列问题。
因此长期以来国内外科技工作者对温度控制器进行了广泛深入的研究，产生了大批温度控制器，如性能成熟应用广泛的PID调节器、智能控制PID调节器、自适应控制等。
此处主要对一些控制器特性进行分析以便选择适合的控制方法应用于改造。
再加上PID控制具有原理简单，易于实现，适用面广，控制参数相互独立，参数的选定比较简单等优点；而且在理论上可以证明，对于过程控制的典型对象──“一阶滞后
＋纯滞后”与“二阶滞后＋纯滞后”的控制对象，PID控制器是一种最优控制。
其调节规律是连续系统动态品质校正的一种有效方法，它的参数整定方式简便，结构改变灵活（PI、PD、…）。
它的控制框图如图4.2所示。
图4.1PID控制框图
4.2.1模拟控制系统的PID算法
模拟控制系统的PID控制规律表达式为：
u（t）=k[e（t）+1⎰te（t）dt+T
de（t）]
cT0
（4.1）
Ddt
式（4.1）中，u（t）为控制器的输出；e（t）为偏差，设定值与反馈值之差；kc为控制器的放大系数，即比例增益；T为控制器的积分时间常数；TD为控制器的微分时间常数。
对于DDC控制系统，它是对被控对象进行断续控制，因此要对上式进行离散化。
t
令：
⎰0e（
k
t）≈dθt∑
i=0
de（t）dt
≈e（k）-e（k-1）
θ
（4.2）
可得第K次计算机输出的位置型PID控制算式为
θkT
u（k）=kc{e（k）+∑e（i）+[e（k）-e（k-1）]}
D
T1i=0θ
k
或u（k）=Kce（k）+KI∑e（j）+KD[e（k）-e（k-1）]
i=0
（4.3）
式（4.3）表示的控制算法提供了执行机构的位置u（k）（如阀门开度），所以称为位置式PID控制算法。
为程序设计方便，将式（4.11）作进一步的改进，设比例项输出：
uc（k）=Kce（k）
（4.4）
积分项输出：
k
uI（k）=KI∑e（j）
j=0
（4.5）
k-1
=KIe（k）+KI∑e（j）
j=0
=KIe（k）+uI（k-1）
微分项输出：
uD=KD[e（k）-e（k-1）]
（4.6）
所以，（4.3）可写为
u（k）=uP（k）+uI（k）+uD（k）
（4.7）
式（4.7）为离散化的位置型PID编程公式，若采用浮点运算，当KP、KI、KD分别求出（并转成三字节浮点数），且存放在指定的内部RAM中，则完成式
（4.7）位置型浮点运算[15]，位置型PID运算程序流程见图4.2。
4.2.2增量式PID算法当执行机构需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量（例如驱动步进电机）
时，由式（4.1）可导出提供增量PID算法，这只要将式
T
ui=K[ei+
Ti
i
∑ei+
j=0
（ei-ei-1）]+u0
（4.8）
及
T
ui-1=K[ei-1+
Ti
i-1
∑ei+
j=0
（ei-1-ei-2）]+u0
（4.9）相减就可以得到下面的公式
T
∆ui=ui-
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