锁定高考高考数学文一轮总复习训练手册29 函数模型及其应用.docx

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锁定高考高考数学文一轮总复习训练手册29函数模型及其应用

高效达标

A组　基础达标

（时间：

30分钟　满分：

50分）

若时间有限，建议选讲5，7，9

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（2013·济南模拟）设甲、乙两地的距离为a（a＞0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为（D）

解析：

注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移.选D.

2.（2014·湖北三校联考）某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为

万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（A）

A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]

解析：

根据题意得，要使附加税不少于128万元，需

×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].

3.（2014·朝阳模拟）由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低

，现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为（B）

A.2000元B.2400元C.2800元D.3000元

解析：

设经过3个5年，产品价格为y元，则y＝8100×

＝2400.

4,（2013·宁波模拟）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：

每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元的水费收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（A）

A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3

解析：

设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝

则10m＋（x－10）·2m＝16m，解得x＝13.

5.（2014·揭阳调研）甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲在前一半时间以速度v1行驶，在后一半时间以速度v2行驶，乙在前一半路程以速度v1行驶，在后一半路程以速度v2行驶，v1≠v2.则下列说法正确的是（A）

A.甲先到达B地

B.乙先到达B地

C.甲、乙同时到达B地

D.无法确定谁先到达B地

解析：

将A，B两地间的距离看成1，设甲从A地出发到达B地所用的时间为t1，乙从A地出发到达B地所用的时间为t2，则t1＝

，t2＝

＋

＝

，∵t1－t2＝

－

＝

＝－

＜0，即t1＜t2，故选A.

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.（2013·本溪模拟）某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为　1300　万元.

解析：

设年增长率为x，则有

×（1＋x）2＝1690，1＋x＝

，因此2013年预计经营总收入为

×

＝1300（万元）.

7.（2014·河南调研）为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：

①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为　546.6元　

解析:

依题意，价值为x元商品和实际付款数f（x）之间的函数关系式为f（x）＝

当f（x）＝168时，由168÷0.9≈187＜200，故此时x＝168；当f（x）＝423时，由423÷0.9＝470∈（200，500]，故此时x＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638（元）的商品，∴500×0.9＋（638－500）×0.7＝546.6（元），故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元.

8.（2014·镇江模拟）如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为　30cm，20cm　

解析：

设长为acm，宽为bcm，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝（a－3）（b－2）＝606－（2a＋3b）≤606－2

＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486.

三、解答题（共10分）

9.高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台.当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台.市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元.

（1）写出月利润y与x的函数关系式；

（2）如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大.

解析：

（1）依题意，销售价提高后变为6000（1＋x）元/台，月销售量为a（1－x2）台，则y＝a（1－x2）[6000（1＋x）－4500].

即y＝1500a（－4x3－x2＋4x＋1）（0＜x＜1）.（4分）

（2）由

（1）知y′＝1500a（－12x2－2x＋4），

令y′＝0，得6x2＋x－2＝0，

解得x＝

或x＝－

（舍去）.（6分）

当0＜x＜

时，y′＞0；当

＜x＜1时，y′＜0.

故当x＝

时，y取得最大值.

此时销售价为6000×

＝9000（元）.

故这种笔记本电脑的销售价为9000元时，该公司的月利润最大.（10分）

B组　提优演练

（时间：

30分钟　满分：

50分）

若时间有限，建议选讲4，6，8

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（2014·揭阳模拟）某企业去年销售收入1000万元，年成本分为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为（C）

A.10%B.12%C.25%D.40%

解析：

利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180（万元），纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120，解得p%＝25%.

2.（2013·滨州模拟）某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.为使2021年底该城市人均住房面积增加到7m2，平均每年新增住房面积至少为（1.0110≈1.1046）（B）

A.90万m2B.87万m2C.85万m2D.80万m2

解析：

由题意知

≈87（万m2）.

3.（2014·海口模拟）某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件（D）

A.100元B.110元C.150元D.190元

解析：

设售价提高x元，则依题意销售收入y＝（1000－5x）×（20＋x）＝－5x2＋900x＋20000＝－5（x－90）2＋60500.

故当x＝90时，ymax＝60500，此时售价为每件190元.

4.（2013·盐城模拟）已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x（km）与时间t（h）之间的函数表达式是（D）

A.x＝60t

B.x＝60t＋50t

C.x＝

D.x＝

解析：

到达B地需要

＝2.5（h），∴当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5＜t≤3.5时，x＝150；当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50（t－3.5）.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.（2013·莆田模拟）一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图像可能是图中的　②　

解析：

当h＝0时，v＝0，可排除①，③；由于鱼缸中间粗两头细，∴h小于

时，增加越来越快；h大于

时，增加越来越慢.故可能是②.

6.（2013·泰安模拟）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是　20　

解析：

七月份的销售额为500（1＋x%）万元，八月份的销售额为500（1＋x%）2万元，则一月份到十月份的销售总额是3860＋500＋2[500（1＋x%）＋500（1＋x%）2]万元，根据题意有3860＋500＋2[500（1＋x%）＋500（1＋x%）2]≥7000，

即25（1＋x%）＋25（1＋x%）2≥66，令t＝1＋x%，

则25t2＋25t－66≥0，解得t≥

或t≤－

（舍去），

故1＋x%≥

，解得x≥20.

三、解答题（共20分）

7.（10分）（2013·大连模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R（x）＝

其中x是仪器的月产量.

（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？

最大利润为多少元？

（总收益＝总成本＋利润）

解析：

（1）设每月产量为x台，则总成本为20000＋100x，

从而f（x）＝

（4分）

（2）当0≤x≤400时，f（x）＝－

（x－300）2＋25000，

∴当x＝300时，f（x）有最大值25000；

当x＞400时，f（x）＝60000－100x是减函数，

f（x）＜60000－100×400＜25000.（8分）

综上，当x＝300时，f（x）的最大值为25000.

∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.（10分）

8.（10分）（2014·德州模拟）当前环境问题已成为世界关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小.现有以下数据：

①当前汽油价格为2.8元/L，市内出租车耗油情况是1L汽油大约跑12km；②当前液化气价格为3元/kg，1kg液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.

请根据以上数据回答问题：

（1）从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济（即省钱）；

（2）假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱？

解析：

（1）设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W′元，由题意可知，W＝

×2.8＝

（t≥0，t∈N*），

×3≤W′≤

×3，即37.5t≤W′≤40t（t≥0，t∈N*），

又

＞40t，即W＞W′，∴使用液化气比使用汽油省钱.（4分）

（2）①设37.5t＋5000＝

，解得t≈545.5，

又t≥0，t∈N*，

∴t＝546.（6分）

②设40t＋5000＝

，解得t＝750.

∴若改装液化气设备，则当行驶天数t∈［546，750］且t∈N*时，省出的钱可以等于改装设备花费的钱.（10分）