高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀第四节隐函数及由参数方程所确的函数的微分法.ppt

高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀第四节隐函数及由参数方程所确的函数的微分法.ppt

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第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法,一、隐函数的微分法,二、由参数方程所确定的函数的微分法,第二章导数与微分,三、对数微分法,一、隐函数的微分法,例1设方程x2+y2=R2（R为常数）确定函数y=y（x），,解在方程两边求微分，,d（x2+y2）=dR2，,即,2xdx+2ydy=0.,由此，当y0时解得,或,例2设方程y+xexy=0确定了函数y=y（x），,解方程两边求微分，得,d（y+xexy）=d0，,即,dy+dx-dexy=0，,dy+dxexy（xdy+ydx）=0.,当1-xexy0时，解得,即,例3求曲线x2+y4=17在x=4处对应于曲线上的点的切线方程.,解方程两边求微分，得,2xdx+4y3dy=0，,得,即对应于x=4有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点P1（4,1）和P2（4,-1）.,将x=4代入方程，得y=1.,在P1处的切线斜率y|（4,1）=-2，,y1=-2（x-4）即y+2x9=0,在点P2处的切线方程为,y+1=2（x-4），即y-2x+9=0,在P2处切线的斜率y|（4,-1）=2.,所以，在点P1处的切线方程为,补证反三角函数的导数公式：

设y=arcsinx，则x=siny，两边求微分，得,dx=cosydy，,cosy取正号，,类似可证明,二、由参数方程所确定的函数的微分法,参数方程，它的一般形式为,对方程两边求微分，得,dy=f（t）dt，,同样对方程两边求微分，得,dx=（t）dt，,所以,即,解,dx=-asintdt，,dy=bcostdt，,所以,解与对应的曲线上的点为,dy=asintdt，,dx=a（1cost）dt，,例5求摆线（a为常数）在对应于时曲线上点的切线方程.,点P处的切线方程为,所以,例6设炮弹与地平线成a角，初速为v0射出，,如果不计空气阻力，以发射点为原点，,地平线为x轴，过原点垂直x轴方向上的直线为y轴（如图）.,由物理学知道它的运动方程为,求

（1）炮弹在时刻t时的速度大小与方向，,

（2）如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.,O,中弹点,解

（1）炮弹的水平方向速度为,炮弹的垂直方向速度为,所以，在t时炮弹速度的大小为,它的位置是在t时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为,

（2）令y=0，得中弹点所对应的时刻,三、对数微分法,解两边取对数，得,两边求微分，,所以,例8设y=（tanx）x，求y.,解lny=xln（tanx）=x（lnsinx-lncosx）,所以,