高等数学教案ch2导数与微分.docx
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高等数学教案ch2导数与微分
第二章导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法
线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
吐1导数概念
一、引例
1.直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数
sf（t）
求动点在时刻t0的速度
考虑比值
sSof（t）f（to）ttotto
这个比值可认为是动点在时间间隔tto内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中
也可用来说明动点在时刻to的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令ttoo取比值
f（t）f（to）的极限
如果这个极限存在设为v即
tto
..f（t）f（to）
vlim—ttotto
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度
2.切线问题
设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT直线MT就称为曲线C有点M处的切线
设曲线C就是函数yf（x）的图形现在要确定曲线在点M（xo,yo）（yof（xo））处的切线只要定
出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N（x,y）于是割线MN的斜率为
tanyyof（x）f（xo）
其中
设为
存在
于是
为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xxo如果当xo时上式的极限存在
k即
f（x）f（xo）
klim——
xxoxxo
则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角
通过点M（xo,f（xo））且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线
二、导数的定义
1函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限
f（x）f（xo）
lim~°L
xxoxxo
令xxxo则yf（xox）f（xo）f（x）f（xo）xxo相当于xO于是lim―"'）
成为
..yf（xox）f（xo）
limd或lim
xOxxOx
定义设函数yf（x）在点xo的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量x（点xox
仍在该邻域内）时相应地函数y取得增量yf（xox）f（xo）如果y与x之比当xO时的极限存在则称函数yf（x）在点xo处可导并称这个极限为函数yf（x）在点xo处的导数记为y|xxo
y..f（xox）f（xo）f（x0）lim—lim0—
x0xx0
函数f（x）在点x0处可导有时也说成f（x）在点x0具有导数或导数存在
导数的定义式也可取不同的形式常见的有
f（x°）limf（x0hhf（x0）
f（x）f（x））f（x0）lim
x~xx0
在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数
的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述
如果极限1皿0—；f（x0）不存在就说函数yf（x）在点x。
处不可导
也往往说函数yf（x）在点x0处的导数为无穷大
如果函数yf（x）在开区间I内的每点处都可导就称函数f（x）在开区间I内可导这时对于
任一xI都对应着f（x）的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数yf（x）的导函数记作yf（x）釜或譬
导函数的定义式
..f（xx）f（x）f（xh）f（x）
ylimliim—：
x0xh0h
f（x0）与f（x）之间的关系
函数f（x）在点x0处的导数f（x）就是导函数f（x）在点xx0处的函数值即
f（x0）f（x）xx0
导函数f（x）简称导数而f（x0）是f（x）在x0处的导数或导数f（x）在x0处的值
左右导数所列极限存在则定义
f（x）在x°的左导数
f（xh）f（x°）f（x0）h"m（x0h
f（x）在x°的右导数
f（x°）limf（x0hhf（x0）
如果极限叩0套
则称此极限值为函数在x0的左导数
如果极限pm。
f（x0h）f（x0）存在则称此极限值为函数在
X0的右导数
导数与左右导数的关系
f（0Af（x0）f（x°）A
2.
例
求导数举例
1.求函数f（x）
C（C为常数）的导数
f（x）hWh）f（x）
即（C）
求f（x）-的导数
f（x）既鱼…
1lim*h0h
1
xlim—Lh0h（xh）x
求f（x）7x的导数
f（x）耽心h）f（x）
lim、xh、xh0
lim1
lim—-
h0h（、xhx）
例2.求函数f（x）xn（n为正整数）在
解f
（a）lim
f（x）
f（a）
xnlim—
_a£
lim
（xn1ax1
xa
x
a
xax
a
xa
把以上结果中的a
换成
x得
f（x）nx
n1
即
（xn）nxn
（C）
0
（1）x
1
（x）
12-x
（x
）
x1
xa处的导数
n2
1
1
an1）nan
x
sinx
更一般地有（x）
例3.求函数f（x）解f（x）既f（xh）
其中为常数的导数
f（x）
sin（x
现——
h）sinxh
1C，lim—2cos（xh0h
h..
—）sin—22
.hsin
h\2
limcos（x）Jh02
即（sinx）cosx
cosxh
1）的导数
axhaxlim
h0h
用类似的方法可求得（cosx）sinx
例4.求函数f（x）ax（a>0af（xh）f（x）解f（x）lim
h0h
ax?
m*勺
="^logatlt）
ax
1
logae
axina
特别地有（ex）ex
例5.求函数f（x）logax（a>0a1）的导数
f（xh）f（x）loga（xh）logax
解f（x）limlim——-——
h0hh0h
lim]loga（Q）Limxloga（1-）1limloga（1质
h0hxxh0hxxh0x
1.1
X^ae赤
解f（x）limloga（xh）logaxlim1loga（15
h0hh0hx
1limloga（1h）h【logae—
xh0xxxlna
（logax）
1
xlna
1
特殊地（lnx）x
（^ax）
（lnx）
3.单侧导数
f（xh）极限lim
h0
f（x）h
存在的充分必要条件是
f（xh）f（x）f（xh）f（x）lim1及lim—1——
h0hh0h
都存在且相等
f（x）在X。
处的左导数f（Xo）hlimf（xh）f（x）
f（x）在Xo处的右导数
f（xh）f（x）f（xo）lim
hoh
导数与左右导数的关系
函数f（x）在点x。
处可导的充分必要条件是左导数左导数f（xo）和右导数f（xo）都存在且相等
如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导且右导数f（a）和左导数f（b）都存在就说f（x）有闭区
间［a,b］上可导
例6.求函数f（x）x|在xo处的导数
f（oh）f（o）r|h|.
解f（o）limlim1
hohhoh
f（oh）f（o）「|h|d
f（o）limlim1
hohhoh
因为f（o）f（o）所以函数f（x）|x|在xo处不可导
四、导数的几何意义
函数yf（x）在点xo处的导数f（xo）在几何上表示曲线yf（x）在点M（xo,f（xo））处的切线的斜率即
f（xo）tan
其中是切线的倾角
如果yf（x）在点xo处的导数为无穷大这时曲线yf（x）的割线以垂直于x轴的直线xxo为极
限位置即曲线yf（x）在点M（xo,f（xo））处具有垂直于x轴的切线xxo
由直线的点斜式方程可知曲线yf（x）在点M（xo,yo）处的切线方程为
yyof（xo）（xxo）
过切点M（xo,yo）且与切线垂直的直线叫做曲线yf（x）在点M处的法线如果
f（xo）o法线的斜率为1从而法线方程为
f（xo）
yyo击（、xo）
例8求等边双曲线y1在点（1,2）处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方
x2
程
解y%所求切线及法线的斜率分别为
x2
ki（»24k2,
所求切线方程为y24（x1）即4xy40
所求法线方程为y2jx1）即2x8y150
例9求曲线yx衣的通过点（04）的切线方程
解设切点的横坐标为xo则切线的斜率为
一3313—
f（xo）（x2）~2^Jx0
2xx02
于是所求切线的方程可设为
一3
yx°\x°2,A（xA）
根据题目要求点（04）在切线上因此
——3
4x0a2.x0（0x0）
解之得x04于是所求切线的方程为
y4<4|V4（x4）即3xy40
四、函数的可导性与连续性的关系
设函数yf（x）在点x0处可导即Im。
一xf（x0）存在则
limylim-^xlim-^limxf（x0）00
x0x0xx0xx0
这就是说函数yf（x）在点x°处是连续的所以如果函数yf（x）在点x处可导则函数在该点必
连续
另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导
例7.函数f（x）3x在区间（，）内连续但在点x0处不可导这是因为函数在点x0
处导数为无穷大
「f（0h）f（0）「3h0
him0hhim°「T
§22函数的求导法则
（除分母为零
、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1如果函数uu（x）及vv（x）在点x具有导数那么它们的和、差、积、商
的点外）都在点x具有导数并且
[u（x）v（x）]u（x）v（x）
[u（x）v（x）]u（x）v（x）u（x）v（x）
u（x）u（x）v（x）u（x）v（x）
v（x）v2（x）
[u（xh）v（xh）][u（x）v（x）]
证明
（1）[u（x）v（x）]ym0——-―-hM―^1
u（xh）u（x）v（xh）v（x）
|im。
——————u（x）v（x）
法则
（1）可简单地表示为
（uv）uv
u（xh）v（xh）u（x）v（x）
（2）[u（x）v（x）].im0——L^~h'八/
..1・
lim[u（xh）v（xh）u（x）v（xh）u（x）v（xh）u（x）v（x）]h0hL
u（xh）u（x）v（xh）v（x）
limv（xh）u（x）—
h0hh
u（xh）u（x）v（xh）v（x）
limlimv（xh）u（x）lim——-———
h0hh0h0h
u（x）v（x）u（x）v（x）
其中limv（xh）v（x）是由于v（x）存在故v（x）在点x连续h0
法则
（2）可简单地表示为
（uv）uvuv
u（xh）u（x）
（3）u（x）limv（xh）v（x）limu（xh）v（x）u（x）v（xh）
*v（x）h0hh0v（xh）v（x）h
lim[u（xh）u（x）]v（x）u（x）[v（xh）v（x）]
u（xh）u（x）v（x）u（x）v（xh）v（x）
him0v（xh）v（x）
u（x）v（x）u（x）v（x）
v2（x）
法则（3）可简单地表示为
/U\uvuv
（v）
（uv）uv（uv）uvuv§）
uvuv
例如设uu（x）、vv（x）、ww（x）
定理1中的法则
（1）、
（2）可推广到任意有限个可导函数的情形均可导则有
（uvw）uvw
（uvw）[（uv）w]（uv）w（uv）w
（uvuv）wuvwuvwuvwuvw
即（uvw）uvwuvwuvw
在法则
（2）中如果vC（C为常数）则有
，成冬24
例3.yex（sinxcosx）求y
解yex）（sinxcosx）ex（sinxcosx）ex（sinxcosx）ex（cosxsinx）2excosx
例4.ytanx求y
sinx、（sinx）cosxsinx（cosx）
解y（tanx）（）2—-
cosxcos2x
sec2x
cos2xsin2x1cos2xcos2x
即（tanx）sec?
x
例5.ysecx求y
解y（secx）（-^）⑴cosx1（co汹普secxtanx
cosxcos2xcos2x
即（secx）secxtanx
用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式
（cotx）csc2x
（cscx）cscxcotx
内单调、可导且f（y）0那么它的反函数yf1（x）在对应
、反函数的求导法则
定理2如果函数xf（y）在某区间Iy
并且
区间Ix（x|xf（y）yIy｝内也可导
[f1（x）]出或
dy
dx
1
dx
dy
简要证明由于xf（y）在
且f1（x）在Ix内也单调、连续任取
Iy内单调、
可导（从而连续）所以xf（y）的反函数yf1（x）存在
因为
xIx给x以增量
yf1（xx）f1（x）
x（x0x
0
xIx）由yf1（x）的单调性可知
1（x）连续故
lim。
y0
从而
[f1（x）]lim工
x0x
lim—
y0df（y）
y
上述结论可简单地说成
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
例6.设xsinyy[
y,万］为直接函数
则yarcsinx是它的反函数函数xsiny在开区
间（云项内单调、可导
（siny）cosy0
因此由反函数的求导法则
（arcsinx）—1—
（siny）
11
cosy,1sin2y
1
1x2
类似地有（arccosx）
1
、1x2
例7.设xtanyy（
―,~2）为直接函数
则yarctanx是它的反函数函数xtany在区间
（■—,-―）内单调、可导且
（tany）sec2y0
例8设xay（a0a1）为直接函数则ylogax是它的反函数函数xay在区间Iy（）
内单调、可导且
（ay）ayIna0
因此由反函数的求导法则在对应区间Ix（0）内有
到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的
初等函数的导数如可求呢？
如函数Intanx、ex3、的导数怎样求？
三、复合函数的求导法则
定理3如果ug（x）在点x可导函数yf（u）在点ug（x）可导则复合函数yf[g（x）]在点x可导
且其导数为
孚f（u）g（x）或孚*平dxdxdudx
证明当ug（x）在x的某邻域内为常数时y=f[（x）]也是常数此时导数为零结论自然成立
当ug（x）在x的某邻域内不等于常数时u0此时有
yf[g（xx）]f[g（x）]f[g（xx）]f[g（x）]g（xx）g（x）
xxg（xx）g（x）x
f（uu）f（u）g（xx）g（x）
ux
dyyf（uu）f（u）g（xx）g（x）
lim—Llimllim1-—=f（u）g（x）
dxx0xu0ux0x
简要证明
因此
dyyyu
lim二lim———dxx0xx0ux
3dy
9yex求S
dx
函数yex3可看作是由y
lim
u
dudx
10y
2x十dysinz-求
1x2dx
函数ysin-2x
2是由ysinux2
复合而成的因此
务复合而成的
dydydudxdudx
cosu
（1
对复合函数的导数比较熟练后
2（1x2）（2x）2
十cos生
（1x2）21x2
x2）2
就不必再写出中间变量
11.lnsinx求业dx
座（lnsinx）（sinx）dxsinx
1,
cosxcotxsinx
12-y312x2求
役[（12x2）1]
10
3（12x2）
3
（12x2）
4x
33（12x2）2
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设yf（u）u（v）v
（x）则
dydx
13.y
业
dx
14.
dydudydudv
dudxdudvdx
lncos（ex）求曳dx
[lncos（ex）]coM[cos（ex）]
1
cos（ex）
.1sin—
yex
[sin（ex）]（ex）extan（ex）
求dx
dy/sin【
衣（ex）
sin-1、
ex（sin-）x
sin—1
!
xcos—x
1sin11
fexcos—x2x
例
15设x0证明藉函数的导数公式
解
（x）x1
因为x（elnx）elnx所以
（x）（elnx）elnx（Inx）elnxx1x
四、基本求导法则与导数公式
1.基本初等函数的导数
（1）（C）0
⑵（x）x1
（3）（sinx）cosx
（4）（cosx）sinx
2
（5）（tanx）secx
（6）（cotx）csc2x
（7）（secx）secxtanx
（8）（cscx）cscxcotx
⑼（ax）axlna
（10）（e。
ex
（11）
（logax）
1xlna
（12）
1
（lnx）1x
（13）
（arcsinx）
1
-1x2
（14）
（arccosx）
1
1x2
（15）
（arctanx）
1x2
（16）
（arccotx）
1
1x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设uu（x）vv（x）都可导贝U
（1）（uv）uv
（2）（Cu）Cu
（3）（uv）uvuv
（4）（V）
uvuv
反函数的求导法则
xf（y）在区间Iy内单调、可导且f（y）0则它的反函数yf1（x）在Ixf（Iy）内也可导并且
复合函数的求导法则
设yf（x）而ug（x）且f（u）及g（x）都可导则复合函数yf[g（x）]的导数为
dy务柴或y（x）f（u）g（x）
16求双曲正弦shx的导数.
.1
因为shx1（exex）所以
因为thx祟所以
因为arshxln（x
（arshx）
1
1
x21
1x2
由archxln（xJx21）可得（archx）
由arthx1ln1^可得（arthx）—土
21x1x2
类似地可得（archx）—1（arthx）
x21
例19.ysinnxsinnx（n为常数）求y
解y（sinnx）sinnx+sinnx（sinnx）
ncosnxsinnx+sinnxnsinn1x（sinx）
ncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsin（n+1）x
助.3高阶导数
一般地函数yf（x）的导数yf（x）仍然是x的函数我们把yf（x）的导数叫做函数yf（x）的二阶导数记作y、f（x）或暮
y（y）f（x）[f（x）]
d2y_l（dY）dx2dxdx
相应地把yf（x）的导数f（x）叫做函数yf（x）的一阶导数
般地（n1）阶导
类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数
数的导数叫做n阶导数分别记作
y（n）或器
d4ydx4
dny
祯
函数f（x）具有n阶导数也常说成函数f（x）为n阶可导
数那么函数f（x）在点x的某一邻域内必
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