北师大版数学八年级下册13 线段的垂直平分线同步练习附答案.docx

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北师大版数学八年级下册13线段的垂直平分线同步练习附答案

3　线段的垂直平分线

第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（）

A．6cmB．5cm

C．4cmD．3cm

第1题图　　第2题图

2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，则四边形ACBD的周长是（）

A．3.9cmB．7.8cm

C．4cmD．4.6cm

3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）

A．8B．11

C．16D．17

第3题图　　　第4题图

4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：

∠CAB＝∠AED.

6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

第6题图　　　　第7题图

7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）

A．P是AC的垂直平分线与AB的交点

B．P是BC的垂直平分线与AB的交点

C．P是∠ACB的平分线与AB的交点

D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：

点D在AB的垂直平分线上．

9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．

10．下列说法：

①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）

A．13cmB．19cm

C．10cmD．16cm

第11题图　　　第12题图

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．

第13题图　　　第14题图

14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：

点E在AF的垂直平分线上．

16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点（点D与点A分别在直线BC的两侧），且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.

（1）求证：

AD垂直平分BC；

（2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．

A：

如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：

DE＝AE；

B：

如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．

第2课时　三角形三边的垂直平分线

1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定（）

A．是边AB的中点B．在边AB的中线上

C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上

2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）

A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条高的交点

3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．等边三角形D．直角三角形

4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）

A．直线MN上

B．直线MN的左侧

C．直线MN的右侧

D．直线MN的左侧或右侧

5．下列作图语句正确的是（）

A．过点P作线段AB的垂直平分线

B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC

C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b

D．过点P作直线AB的垂线

6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）

A．l是线段EH的垂直平分线

B．l是线段EQ的垂直平分线

C．l是线段FH的垂直平分线

D．EH是l的垂直平分线

第6题图　　　第7题图

7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与AC，BC交于点D，E，连接AE，则：

（1）∠ADE＝；

（2）AEEC；（填“＝”“＞”或“＜”）

（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长等于．

8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村、B村、C村所属的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：

写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．

9．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点（）

A．只有一个　B．有两个

C．有三个或三个以上　D．有一个或没有

10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：

①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；

②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.

下列说法不一定正确的是（）

A．∠BDN＝∠CDNB．∠ADC＝2∠B

C．∠ACD＝∠DCBD．2∠B＋∠ACD＝90°

11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）

A．点P在三角形内

B．点P在三角形外

C．点P在三角形底边上

D．点P的位置与三角形的边长有关

12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：

如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．

13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b（a＜b，尺规作图，保留作图痕迹）．

14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.

（1）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；

（2）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；

（3）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

【变式】　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.

（1）求∠PAQ的度数；

（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．

参考答案：

第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（D）

A．6cmB．5cm

C．4cmD．3cm

第1题图　　第2题图

2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，则四边形ACBD的周长是（B）

A．3.9cmB．7.8cm

C．4cmD．4.6cm

3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（B）

A．8B．11

C．16D．17

第3题图　　　第4题图

4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：

∠CAB＝∠AED.

证明：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB.

∴∠EAB＝∠B.

∵∠C＝90°，

∴∠CAB＋∠B＝90°.

又∵∠AED＋∠EAB＝90°，

∴∠CAB＝∠AED.

6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（A）

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

第6题图　　　　第7题图

7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（B）

A．P是AC的垂直平分线与AB的交点

B．P是BC的垂直平分线与AB的交点

C．P是∠ACB的平分线与AB的交点

D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：

点D在AB的垂直平分线上．

证明：

∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝90°－30°＝60°.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝

∠ABC＝30°.

∴∠A＝∠ABD.

∴DA＝DB.

∴点D在AB的垂直平分线上．

9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为20°或70°．

10．下列说法：

①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（C）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（B）

A．13cmB．19cm

C．10cmD．16cm

第11题图　　　第12题图

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为

．

第13题图　　　第14题图

14．（2020·南京）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝78°．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：

点E在AF的垂直平分线上．

证明：

∵E是BD的垂直平分线上的一点，

∴EB＝ED.

∴∠B＝∠D.

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.

∴∠CFD＝∠A.

又∵∠AFE＝∠CFD，

∴∠AFE＝∠A.

∴EF＝EA.

∴点E在AF的垂直平分线上．

16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点（点D与点A分别在直线BC的两侧），且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.

（1）求证：

AD垂直平分BC；

（2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．

A：

如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：

DE＝AE；

B：

如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．

解：

（1）证明：

∵AB＝AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上．

∵DB＝DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上．

∴AD垂直平分BC.

（2）选择A，证明：

由

（1），得AD⊥BC，

又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.

∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.

∴∠BAF＝∠ADE.

∴DE＝AE.

选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.

证明：

由

（1），得AF⊥BC，

又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.

∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.

∴∠BAF＝∠EDA.

∴AE＝DE.

∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，

∴DE＝BE＋AC.

第2课时　三角形三边的垂直平分线

1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定（D）

A．是边AB的中点B．在边AB的中线上

C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上

2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（C）

A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条高的交点

3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（D）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．等边三角形D．直角三角形

4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（A）

A．直线MN上

B．直线MN的左侧

C．直线MN的右侧

D．直线MN的左侧或右侧

5．下列作图语句正确的是（D）

A．过点P作线段AB的垂直平分线

B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC

C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b

D．过点P作直线AB的垂线

6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（A）

A．l是线段EH的垂直平分线

B．l是线段EQ的垂直平分线

C．l是线段FH的垂直平分线

D．EH是l的垂直平分线

第6题图　　　第7题图

7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与AC，BC交于点D，E，连接AE，则：

（1）∠ADE＝90°；

（2）AE＝EC；（填“＝”“＞”或“＜”）

（3）当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长等于7．

8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村、B村、C村所属的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：

写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．

解：

已知：

A，B，C三点不在同一直线上．

求作：

作一点P，使PA＝PB＝PC.

如图所示，点P即为所求的点．

9．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点（D）

A．只有一个　B．有两个

C．有三个或三个以上　D．有一个或没有

10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：

①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；

②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.

下列说法不一定正确的是（C）

A．∠BDN＝∠CDNB．∠ADC＝2∠B

C．∠ACD＝∠DCBD．2∠B＋∠ACD＝90°

11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（B）

A．点P在三角形内

B．点P在三角形外

C．点P在三角形底边上

D．点P的位置与三角形的边长有关

12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：

如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．

13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b（a＜b，尺规作图，保留作图痕迹）．

解：

作法：

（1）作线段AD＝a；

（2）过点D作直线MN⊥AD于点D；

（3）以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．

14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.

（1）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；

（2）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；

（3）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

解：

（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM＝CM，CN＝BN.

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.

∴∠MCN＝180°－（∠CMN＋∠CNM）

＝180°－（2∠A＋2∠B）

＝180°－2（180°－∠ACB）

＝60°.

（2）∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.

∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm.

（3）∵∠MFN＝70°，

∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.

∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，

∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.

∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.

又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，

∴∠MCN＝180°－2（∠A＋∠B）＝40°.

【变式】　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.

（1）求∠PAQ的度数；

（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．

解：

（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，

∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，

∴AP＝PB，AQ＝CQ.

∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.

∵∠BAC＝80°，

∴∠B＋∠C＝100°，

即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.

∴x＝20°.

∴∠PAQ＝20°.

（2）∵△APQ周长为12，

∴AQ＋PQ＋AP＝12.

∵AQ＝CQ，AP＝PB，

∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.

∵BC＝8，

∴PQ＝2.