第十八章勾股定理全章教案.docx

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第十八章勾股定理全章教案

第十八章勾股定理

18．1勾股定理

（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的内容及证明．

2．难点：

勾股定理的证明．

3．难点的突破方法：

几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．进一步让学生确信勾股定理的正确性．

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长．

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连接得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．

你是否发现32+42和52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．

求证：

a2＋b2=c2．

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正，则

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证．

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．

⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．

例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．

求证：

a2＋b2=c2．

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可证．

六、课堂练习

1．勾股定理的具体内容是：

．

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

．

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角．

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理．

七、课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=．（已知a、b，求c）

⑵a=．（已知b、c，求a）

⑶b=．（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来．

3、4、5

32+42=52

5、12、13

52+122=132

7、24、25

72+242=252

9、40、41

92+402=412

……

……

19，b、c

192+b2=c2

3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直．

4．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上．

求证：

⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．

八、参考答案

六、课堂练习

1．略；

2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=

AB；⑶AC=

AB；⑷AC2+BC2=AB2．

3．∠B，钝角，锐角；

4．提示：

因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，又因为S梯形ACDG=

（a+b）2，

S△BCE=S△EDA=

ab，S△ABE=

c2,

（a+b）2=2×

ab＋

c2．

七、课后练习

1．⑴c=

；⑵a=

；⑶b=

2．

；则b=

，c=

；当a=19时，b=180，c=181．

3．5秒或10秒．

4．提示：

过A作AE⊥BC于E．

18．1勾股定理

（二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算．

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想．

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的简单计算．

2．难点：

勾股定理的灵活运用．

3．难点的突破方法：

⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用．

⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力.

⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．

⑷优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边．

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力．

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形．学习勾股定理重在应用．

五、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c．

⑵已知a=1,c=2,求b．

⑶已知c=17,b=8,求a．

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a．

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c．

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm．

⑴求等边△ABC的高．

⑵求S△ABC．

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法．欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解．

六、课堂练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=．

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=．

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=．

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为．

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为．

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．

七、课后练习

1．填空题

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=．

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=．

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=．

⑷如果c=10，a-b=2，则b=．

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=．

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=．

2．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长．

八、参考答案

六、课堂练习

1．17；

；6，8；6，8，10；4或

；

，

；

2．8；3．48．

七、课后练习

1．24；4

；3

；6；12；10；2．

.

18．1勾股定理（三）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决简单的实际问题．

2．树立数形结合的思想．

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的应用．

2．难点：

实际问题向数学问题的转化．

3．难点的突破方法：

数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性．

三、例题的意图分析

例1（教材P66页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题．

例2（教材P67页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：

保证一边不变，其他两边的变化．

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试．

五、例习题分析

例1（教材P66页探究1）

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角．⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法．⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣．

例2（教材P67页探究2）

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计

算OB．

⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算

OD．则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC．

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD．

六、课堂练习

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米．

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米．

2题图3题图4题图

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是．

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

七、课后练习

1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°，则江面的宽度为．

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米．

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米．

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度．

（精确到1米）

八、参考答案：

六、课堂练习

1．

；2．6，

；

3．18米；4．11600；

七、课后练习

1．

米；2．

；

3．20；4．83米，48米，32米；

18．1勾股定理（四）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题．

2．树立数形结合的思想．

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的综合应用．

2．难点：

勾股定理的综合应用．

3．难点的突破方法：

⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．

⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．

⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．

三、例题的意图分析

例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．

例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．

例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．

例4（教材P68页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．

四、课堂引入

复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用．

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，

求线段AB的长．

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．

要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：

欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB，可由

，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．

例2（补充）已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

分析：

由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？

解略．

例3（补充）已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：

四边形ABCD的面积．

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连接AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．

解：

延长AD、BC交于E．

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°．

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=

=

．

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=

=

．

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

AB·BE-

CD·DE=

.

小结：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．

例4（教材P68页探究3）

分析：

利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论．

变式训练：

在数轴上画出表示

的点．

六、课堂练习

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=．

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=．

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=．

4．已知：

如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，

求S△ABC．

七、课后练习

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，AB=．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=．

3．已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=

，

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC．

4．在数轴上画出表示－

的点．

八、参考答案：

六、课堂练习：

1．30cm，300cm2；

2．90，60，30，4，

；

3．2，

，3，1，

；

4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，

S△ABC=

AC·BD=254；

七、课后练习：

1．4；

2．5，12；

3．提示：

作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=

，BC=2+

，S△ABC==2+

；

4．略．

18．2勾股定理的逆定理

（一）

一、教学目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理．

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法．

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．

二、重点、难点

1．重点：

掌握勾股定理的逆定理及证明．

2．难点：

勾股定理的逆定理的证明．

3．难点的突破方法：

先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法．充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受．

为学生搭好台阶，扫清障碍．

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角．

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决．

⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证．

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系．

例2（P74探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维．

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．

四、课堂引入

创设情境：

⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想．

五、例习题分析

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行．

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等．

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

分析：

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用．

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．

解略．

例2（P74探究）证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

分析：

⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证．

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角．

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决．

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证．

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法．充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受．

证明略．

例3（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求证：

∠C=90°．

分析：

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可．

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证．

六、课堂练习

1．判断题．

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形．

2．△ABC中∠A、∠B、