三角函数大全.docx

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三角函数大全

三角函数大全

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三角函数大全

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

其定义城为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

公式分类

三角关系

一个特殊公式

坡度公式

锐角三角函数

一般公式

二倍角公式

三倍角公式

三倍角公式

半角公式

万能公式

其他

四倍角公式

五倍角公式

六倍角公式

七倍角公式

八倍角公式

九倍角公式

十倍角公式

N倍角公式

半角公式

两角和公式

三角和公式

和差化积

积化和差

双曲函数

诱导公式

万能公式

其它公式

内容规律

一些重要的定理

正弦定理

余弦定理

展开

公式分类

三角关系

一个特殊公式

坡度公式

锐角三角函数

一般公式

二倍角公式

三倍角公式

三倍角公式

半角公式

万能公式

其他

四倍角公式

五倍角公式

六倍角公式

七倍角公式

八倍角公式

九倍角公式

十倍角公式

N倍角公式

半角公式

两角和公式

三角和公式

和差化积

积化和差

双曲函数

诱导公式

万能公式

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内容规律

一些重要的定理

正弦定理

余弦定理

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编辑本段公式分类

三角关系

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

平方关系：

一个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[（θ+a）/2]cos[（a-θ）/2]*2cos[（θ+a）/2]sin[（a-θ）/2]

=sin（a+θ）*sin（a-θ）[1]

坡度公式

我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

即i=h/l,坡度的一般形式写成l:

m形式，如i=1:

5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.

锐角三角函数

正弦：

sinα=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：

cosα=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

余切：

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

一般公式

sin30°=二分之一

sin45°=二分之根号二

sin60°=二分之根号三

cos30°=二分之根号三

cos45°=二分之根号二

cos60°=二分之一

tan30°=三分之根号三

tan45°=1

tan60°=根号三[2]

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA·cosA

余弦

正切

tan2A=（2tanA）/（1-tan^2（A））

三倍角公式

  三倍角公式

sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

三倍角公式推导　

sin（3a）

=sin（a+2a）

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos（2a+a）

=cos2acosa-sin2asina

=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina（3/4-sin^2a）

=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]

=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa（cos^2a-3/4）

=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]

=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）

=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

上述两式相比可得

tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

现列出公式如下：

sin2α=2sinαcosα　tan2α=2tanα/（1-tan^2（α））　cos2α=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）　

可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

cos3α=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

tan3α=tan（α）*（-3+tan（α）^2）/（-1+3*tan（α）^2）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

半角公式

sin^2（α/2）=（1-cosα）/2　

cos^2（α/2）=（1+cosα）/2　

tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）　

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

万能公式

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]　

cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]　

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

其他

sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0　

cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及　

sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2　

tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

四倍角公式

sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））　

cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）　

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角公式

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA　

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA　

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角公式

sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））　

cos6A=（（-1+2*cosA）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））　

tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角公式

sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角公式

sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））　

cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）　

tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角公式

sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））　

cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））　

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角公式

sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））　

cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））　

tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角公式

根据棣美弗定理，（cosθ+isinθ）^n=cos（nθ）+isin（nθ）　

为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c　

考虑n为正整数的情形：

cos（nθ）+isin（nθ）=（c+is）^n=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…+C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…=>；比较两边的实部与虚部　

实部：

cos（nθ）=C（n,0）*c^n+C（n,2）*c^（n-2）*（is）^2+C（n,4）*c^（n-4）*（is）^4+...…i*

虚部：

i*sin（nθ）=C（n,1）*c^（n-1）*（is）^1+C（n,3）*c^（n-3）*（is）^3+C（n,5）*c^（n-5）*（is）^5+...…　

对所有的自然数n：

⒈cos（nθ）：

公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。

⒉sin（nθ）：

⑴当n是奇数时：

公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。

⑵当n是偶数时：

公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cosθ）的一次方无法消掉。

例.c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*（c^2）^2=c*（1-s^2）^2）

半角公式

tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）

sin^2（A/2）=[1-cos（A）]/2

cos^2（A/2）=[1+cos（A）]/2

  半角公式

两角和公式

  两角和公式

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）

cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

三角和公式

sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

  和差化积公式

sinθ-sinφ=2cos[（θ+[3]φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

积化和差

sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

双曲函数

sha=[e^a-e^（-a）]/2

cha=[e^a+e^（-a）]/2

tha=sinh（a）/cosh（a）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π+α）=-sinα

cos（π+α）=-cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tan（-α）=-tanα

cot（-α）=-cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

cot（π-α）=-cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）=-sinα

cos（2π-α）=cosα

tan（2π-α）=-tanα

cot（2π-α）=-cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=-sinα

tan（π/2+α）=-cotα

cot（π/2+α）=-tanα

sin（π/2-α）=cosα

cos（π/2-α）=sinα

tan（π/2-α）=cotα

cot（π/2-α）=tanα

sin（3π/2+α）=-cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=-cotα

cot（3π/2+α）=-tanα

sin（3π/2-α）=-cosα

cos（3π/2-α）=-sinα

tan（3π/2-α）=cotα

cot（3π/2-α）=tanα

（以上k∈Z）

A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=

√{（A+2ABcos（θ-φ）}·sin{ωt+arcsin[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}}

√表示根号，包括{……}中的内容

编辑本段诱导公式

三角函数的诱导公式（六公式）

　　公式一：

　　sin（-α）=-sinα

　　cos（-α）=cosα

　　tan（-α）=-tanα

　　公式二：

　　sin（π/2-α）=cosα

　　cos（π/2-α）=sinα

　　公式三：

　　sin（π/2+α）=cosα

　　cos（π/2+α）=-sinα

　　公式四：

　　sin（π-α）=sinα

　　cos（π-α）=-cosα

　　公式五：

　　sin（π+α）=-sinα

　　cos（π+α）=-cosα

　　公式六：

　　tanA=sinA/cosA

　　tan（π/2+α）=－cotα

　　tan（π/2－α）=cotα

　　tan（π－α）=－tanα

　　tan（π+α）=tanα

　　诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

万能公式

  万能公式

sinα=2tan（α/2）/[1+（tan（α/2））^2]

cosα=[1-（tan（α/2））^2]/[1+（tan（α/2））^2]

tanα=2tan（α/2）/[1-（tan（α/2））^2]

其它公式

  三角函数其它公式

⑴（sinα）^2+（cosα）^2=1（平方和公式）

⑵1+（tanα）^2=（secα）^2

⑶1+（cotα）^2=（cscα）^2

证明下面两式，只需将一式，左右同除（sinα）^2，第二个除（cosα）^2即可

⑷对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：

A+B=π-C

tan（A+B）=tan（π-C）

（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证，当x+y+z=nπ（n∈Z）时，该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

⑸cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

⑹cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

⑺（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

⑻（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

其他非重点三角函数　

csc（a）=1/sin（a）

sec（a）=1/cos（a）

（seca）^2+（csca）^2=（seca）^2（csca）^2

幂级数展开式

sinx=x-x^3/3!

+x^5/5!

-……+（-1）^（k-1）*（x^（2k-1））/（2k-1）！

+……x∈R

cosx=1-x^2/2!

+x^4/4!

-……+（-1）k*（x^（2k））/（2k）!

+……x∈R

arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……（|x|<1）

arccosx=π-（x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……）（|x|<1）

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……（x≤1）

无限公式

sinx=x（1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2）……

cosx=（1-4x^2/π^2）（1-4x^2/9π^2）（1-4x^2/25π^2）……

tanx=8x[1/（π^2-4x^2）+1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）+……]

secx=4π[1/（π^2-4x^2）-1/（9π^2-4x^2）+1/（25π^2-4x^2）-+……]

（sinx）x=cosx/2cosx/4cosx/8……

（1/4）tanπ/4+（1/8）tanπ/8+（1/16）tanπ/16+……=1/π

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……（x≤1）

和自变量数列求和有关的公式

sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin（nx/2）sin（（n+1）x/2）]/sin（x/2）

cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos（（n+1）x/2）sin（nx/2）]/sin（x/2）

tan（（n+1）x/2）=（sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx）/（cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx）

sinx+sin3x+sin5x+……+sin（2n-1）x=（sinnx）^2/sinx

cosx+cos3x+cos5x+……+cos（2n-1）x=sin（2nx）/（2sinx）

编辑本段内容规律

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

三角函数本质：

  根据三角函数定义推导公式

根据右图，有

sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y

深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB为例：

推导：

首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。

角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A'（cos（α-β），sin（α-β））

OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0）

∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）

单位圆定义

单位圆

六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函