第八章反步设计方法docx.docx
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第八章反步设计方法
华南理工大学
自动化学院
反步设计方法的基本思想
■将复杂的非线性系统分
£=勺+齐（可）
左2=兀3+/2（兀1，兀2）
z+1+fi（兀1，…，兀i）
、对二九（兀1，…,®）+%
解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统设计部分Lyapunov函数（简称V函数）和中间虚叔控制量，一直
“后退”到整个系统，将它们集成起来完成整个控制律的设计。
基于反步法的控制器设计
A=兀2+齐（兀1）左2=x3+/2（"卫2）
■虚拟控制
Z=叼
s=勺_旳（“）
="+1+△（"，・・・，"）
Sn~Xn—务-1（兀1”・・，兀斤-1）
Xz=九（兀1，…卫』+%
「反步法的优点
■1）通过反向设计使控制V函数和控制器的设计过程系统化、结构化；
■2）可以控制相对阶为n的非线性系统。
8.2.1基于反步法的控制器设计
考虑下列单输入单输出非线性系统
A二勺+/1（旺）
丘2=兀3+/2（兀1，兀2）
（8.26）其中xwR"及ueR分别是系统的状态和输入变量;系统的非线性部分/,（“，…，叫）呈下三角结构。
反步法的设计思想是视每一子系统E=勺+1+Z?
（“，•••，无）中的“+i为虚拟控制，通过确定适当的虚拟反馈
无+1=也（心1,...丿-1）,使得系统的前面状态达到渐近稳定。
但系统的解一般不满足可+1二勺，因此，我们引进误差变量，期望通过控制的作用，使得习+1与虚拟反馈也间具有某种渐近特性，从而实现整个系统的渐近镇定。
首先,我们利用虚拟控制，定义n个误差变量
勺=xl
、S=xn-务_1（兀1，…，兀〃—]）
（8.27）
其中at（z=1,n-V）待定。
我们在每一步箱造一个李雅普若夫函数，使每一状态分量具有适当的渐近特性。
注意（8.27）本质上为一微分同胚，因此为镇定原系统，我们只需要镇定原系统状态无+1与虚拟反馈W间的误差z即可。
第一步：
对。
求导得乙二勺+齐（兀1）二一勺+旺+兀2+/1（兀1）（8.28）
、1/〜定义V1=2Z12，取al=~xl-/l（xl）=al（^l）,
可=_◎+乙2
.da}.A~
显然，如果込=0（艮陀1=-兀1-力（兀1）），则由
（8.29）知勺渐近稳定。
但一般情况下勺工。
，因｝匕我们再引入虚拟控制"2使得其误差22=兀2-可（勺）具有期望的渐近性态。
为此，我们进行下一步设计
1A
第二步：
定义y2=^^+Vl5取闵=-勺-勺+右（5勺）,则
勺=_勺+勺召2=_勺_?
2+乙3
V
2dOCr."〜
i3=兀4+/3（兀1卫2山3）一工—巳=兀4+/3（勺必2必3）/=1先
“2=W+g
由（8.30）知勺，z2渐近稳定。
但一般情况下,
显然，如果乞=0（即应2=-勺-勺+1?
2（勺'乙2）），则
乞工0因此我们再引入虚拟控制也使得其
误差勺二乃-禺具有期望的渐近性态。
如此下
去，可找到一般情形下的李雅普若夫函数及虚拟控制。
第i步：
定义如下李雅普若夫函数匕•及虚拟控制
/
%（勺，…，令）；
匕=*（群+•••+#）
〜力〜
£=一勺_1-Z[+fi（勺，…,Z/）
则有
Z=©+i+%（勺,...,勺）+力（2
=_Zji-zt+勺+1
叼=_（z?
+…+£?
）+$•忆+1=_（zf++）+zzz/+1
+西…，今）+心（勺,…,zj]
注意在第〃-1步，由上式知
r■
St~
二一5-2一5-1+S-1S
-~~Zn_2~5一1+九一1（勺，…,5一1）
必-1二
二—（寻+…+玮_1）+Zn_iZn
因此在最后一步可得
爲=xn+fn（X]，…
<
匕二—（zf+…+瘵1）+Zn_{Zn+Zn[fn（勺,...,s）+%]
（8.32）
选取反馈控制规律为
U=an（勺S）=-S_[—Zn—fn（勺，…,Zn）
（8.33）
则由上述关系式（8.32）及（8.33）得
7=
5
V・
V=
1n
二一5-如
二一（zf+…+Z?
_]+Z?
）
（8.34）
因此误差是指数渐近稳定的。
从而在上述反步法中给定的虚拟控制（8.31）及反馈控制（8.34）下，原非线性系统确实是指数渐近稳定的。
由上设计方法可知，反步法实际上是一种由前往后递推的设计方法，然而比较适合在线控制，达到减少在线计算时间的目的。
此外，反步法中引进的虚拟控制本质上是一种静态补偿思想，前面子系统必须通过后边子系统的虚拟控制才能达到镇定目的，因此该方法要求系统结构必须与（8.26）类似的所谓严参数反馈系统或可经过变换化为该种类型的非线性系统。
反步法在设计不确定系统（特别是当干扰或不确定性不满足匹配条件时）的鲁棒或自适应控制器方面已经显示出它的优越性o
8.2.2一类不确定非线性系统的自适应控制
考虑下列所谓的严参数反馈非线性不确定系统
xi-xi+i+（pf（xj）^,1<
xn-%（x）+处（兀）&+0o（x）u
（8.35）
其中"尺"及%g尺分别是状态和输入变量;&wrp是未知参数向量；0o（x）hO,0o（Q及（PieRp（l下面我们用反步法来设计自适应控制器使得系统具有良好的动态特性。
设e是可调节的未知参数估计向量，则（8.35）可改写为下列形式
Xj=“+]+e+（p[—iV
jn=00（兀）+0廉
+0$（&—力）+00（x）w
（8.36）
同上述镇定问题一样，我们引入下列误差坐标
厂
可=x[
S=x2一4]（“，&）
（8.37）
其中°^i（“Xjd）是虚拟控制函数。
首先将“调节到平衡点片=0及镇定相应的平衡占
八、、4
xf=0
Xf+1=-评&=-0F（0,-讦&,-0占&）&,1「S-1.
其中（1微分同胚，因此如在新坐标Z下解具有适当的动态
特性，则在原坐标X下解也具有同样的动态特性。
第一步，设勺及
岭二［f—&）T厂-1（齐&）（8.39）
则有
岭=~clzl+0（兀2+。
1勺+
+@_&）丁厂—1（力_心忆］）
（8-40）
显然当
；Z1Z1
兀2+C\Z\+0押=0；e=£]=rzx（px-TlyCDy
（8.41）
时有％二-5寻，从而此时保证了解勺的渐近稳定性。
既然勺+C忆1+0场=0—般不成立，我们引进新
乙—_C]Z]+規+（&-&）丁力1
（8.42）
相应地有
%=+。
勺+（力_0）丁厂T（&_S）
若勺及勺趋于零，平衡点0及-（pyOo
（8.43）
则显然“及勺分别趋于
我们在下一步对（8.42）右端第二项采用反步法进行补偿。
由此下去，在第i步对应一i阶系统
k-2da.
+Ss+i—rcok,i・T八1^ai-\
其中q为正常数，厂=厂
®（兀1，・・・，£&）=©—
它通过取下列镇定函数
『为正定自适应增益矩阵及
g銘—17=1
（8.45）
和参数&的自适应律
z-1
—+眷田
心-1
se
Sa；y
—厂_0T]®
%1
（8.46）
...,吗,&）二厂工Z.jCDj
丿T
（8^7）
及下列李雅普若夫函数
Z1_1/K-八
匕二"匕（0—0）厂T（0-0）丿・=1丄1
（8.48）
实现镇定，也即期望当后面调节误差勺+i为零时有匕=_£c*。
读者可直接利用上述矣索式写出"•aJJ
丿=1
今+1不为零时匕的一般形式。
注意到（8.44）中第二个方程与下一步的状态变量勺+i有关，它本质上是上一步的调节误差补偿量。
因此在设计时必须反步进行，也即从后面开始往前进行补偿。
如果后面的误差达到期望的渐近性态，则前面一步也同样可达到。
/K
5~—乙-1（兀1，…，®-1，&）
几_2da
-xn+Zn_2_S[八
j=i39
心一肓m眷
化-2
在最后一步，即第n步，我们分别取控制和参数自适应规律为
nA
55_%+工xj+l
J=1
+牛亠”+慣S+1兽厂-齐］%}
30j=i负j
（8.50）
；入n
。
=厂〃（乙。
）=厂工乙j®j
J=1
则有
•n9
Vn二-工fjZj
丿T
由第三章中的不变性原理知Z渐近趋于零且参数&收敛于真实参数&o
反步法作为一种新的设计方法，尚需开展系统的理论与实际应用研究工作。
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