第7章平行线的证明一单元测试有答案北师大版数学八年级.docx

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第7章平行线的证明一单元测试有答案北师大版数学八年级

第7章平行线的证明

（一）单元测试（有答案）（北师大版数学八年级）

《第7章平行线的证明

（一）》

一、填空题

1．命题“任意两个直角都相等”的条件是______，结论是______，它是______（真或假）命题．

2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为______．

3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=______．

4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3=______．

5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为______度．

6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE

解：

∵AB∥CD（已知）

∴∠4=∠______（______）

∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠______（______）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（______）

即∠______=∠______（______）

∴∠3=∠______

∴AD∥BE（______）．

二、选择题

7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（　　）

A．4对B．8对C．12对D．16对

8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（　　）

A．∠2=45°B．∠1=∠3

C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′

9．下列语言是命题的是（　　）

A．画两条相等的线段

B．等于同一个角的两个角相等吗？

C．延长线段AO到C，使OC=OA

D．两直线平行，内错角相等．

10．下列命题是假命题的是（　　）

A．对顶角相等B．﹣4是有理数

C．内错角相等D．两个等腰直角三角形相似

三、解答题

11．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．

（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，

（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）

12．已知：

如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：

∠P=90°．

13．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？

14．如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．

15．如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．

16．已知：

如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：

AB∥CD．

17．如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：

a∥c．

18．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：

AB∥CD．

19．已知：

如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．

20．已知：

BC∥EF，∠B=∠E，求证：

AB∥DE．

21．如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．

22．如图，已知：

DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，

证明：

CF∥DO．

《第7章平行线的证明》

参考答案与试题解析

一、填空题

1．命题“任意两个直角都相等”的条件是　两个角都是直角　，结论是　相等　，它是　真　（真或假）命题．

【考点】命题与定理．

【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成．

【解答】解：

“任意两个直角都相等”的条件是：

两个角是直角，结论是：

相等．

它是真命题．

【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述．

2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为　60°　．

【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．

【分析】根据两直线相交，对顶角相等，可推出∠AOC=∠DOB，又根据OE平分∠BOD，∠AOE=150°，可求∠BOE，从而可求∠BOD．

【解答】解：

∵AB、CD相交于O，

∴∠AOC与∠DOB是对顶角，即∠AOC=∠DOB，

∵∠AOE=150°，

∴∠BOE=180°﹣∠AOE=30°，

又∵OE平分∠BOD，∠AOE=30°，

∴∠BOD=2∠BOE=2×30°=60°，

∴∠BOD=∠AOC=60°，

故答案为：

60°．

【点评】本题主要考查对顶角的性质以及角平分线的定义、邻补角，解决本题的关键是求出∠BOE．

3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=　50°　．

【考点】平行线的判定与性质．

【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠D=∠1，代入求出即可．

【解答】解：

∵∠B=∠2=50°，

∴AD∥BC，

∴∠D=∠1，

∵∠1=50°，

∴∠D=50°．

故答案为：

50°．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出AD∥BC是解此题的关键．

4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3=　55°　．

【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．

【分析】求出∠5的度数，根据∠1与∠3互余和∠3的余角与∠2互补求出∠1+∠2=180°，根据平行线的判定得出l1∥l2，根据平行线的性质求出即可．

【解答】解：

∵∠4=125°，

∴∠5=180°﹣125°=55°，

∵∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，

∴∠1+∠2=180°，

∴l1∥l2，

∴∠3=∠5=55°，

故答案为：

55°．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能求出l1∥l2是解此题的关键，注意：

两直线平行，内错角相等．

5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为　50　度．

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．

【专题】计算题．

【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和作答．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠BFE=∠C=75°，

又∠A=25°，

∴∠E=75°﹣∠A=50°．

【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形的外角性质，是一道较为简单的题目．

6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE

解：

∵AB∥CD（已知）

∴∠4=∠　EAB　（　两直线平行，同位角相等　）

∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠　EAB　（　等量代换　）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（　等式的性质　）

即∠　BAE　=∠　CAD　（　角的和差　）

∴∠3=∠　CAD　

∴AD∥BE（　内错角相等，两直线平行　）．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】推理填空题．

【分析】由平行线的性质可得到∠4=∠EAB，由∠3=∠4可得到∠3=∠EAB，由等式的性质可知∠BAE=∠CAD，从而得到∠3=∠CAD由平行线的判定定理可得到AD∥BE．

【解答】解：

∵AB∥CD（已知）

∴∠4=∠EAB（两直线平行，同位角相等）

∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠EAB（等量代换）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）．

即∠BAE=∠CAD（角的和差）

∴∠3=∠CAD．

∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．

【点评】本题主要考查的是平行线的性质和平行线的判定，掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．

二、选择题

7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（　　）

A．4对B．8对C．12对D．16对

【考点】同位角、内错角、同旁内角．

【专题】几何图形问题．

【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数．

【解答】解：

直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；

直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角；

直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；

直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角；

直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角；

直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角；

直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角；

直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角．

共有16对同旁内角．

故选D．

【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．

8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（　　）

A．∠2=45°B．∠1=∠3

C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′

【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．

【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．

【解答】解：

A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；

B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；

C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；

D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，

∴∠1的余角等于75°30′，不成立．

故选D．

【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．

9．下列语言是命题的是（　　）

A．画两条相等的线段

B．等于同一个角的两个角相等吗？

C．延长线段AO到C，使OC=OA

D．两直线平行，内错角相等．

【考点】命题与定理．

【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，分别判断得出答案即可．

【解答】解：

根据命题的定义：

只有答案D、两直线平行，内错角相等．对事情做出正确或不正确的判断，故此选项正确；

故选：

D．

【点评】本题考查了命题的定义，利用定义得出是解题关键．

10．下列命题是假命题的是（　　）

A．对顶角相等B．﹣4是有理数

C．内错角相等D．两个等腰直角三角形相似

【考点】命题与定理．

【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据有理数的分类对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据等腰直角三角形的性质和相似的判定方法对D进行判断．

【解答】解：

A、对顶角相等，所以A选项的命题为真命题；

B、﹣4是有理数，所以B选项的命题为真命题；

C、两直线平行，内错角相等，所以C选项的命题为假命题；

D、两个等腰直角三角形相似，所以D选项的命题为真命题．

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

三、解答题

11．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．

（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，

（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）

【考点】平行线的判定．

【分析】

（1）内错角不一定相等，只有在平行线中才能推出相等；

（2）根据平行线的判定得出此推理正确．

【解答】解：

（1）错误：

内错角不一定相等，

改正：

∵∠1和∠2是内错角，DC∥AB，

∴∠1=∠2；

（2）正确，∵∠1=∠2，

∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）．

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：

内错角相等，两直线平行．

12．已知：

如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：

∠P=90°．

【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．

【专题】证明题．

【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°．

【解答】证明：

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°．

又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，

∴∠PEF=

∠BEF，∠PFE=

∠DFE，

∴∠PEF+∠PFE=

（∠BEF+∠DFE）=90°．

∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，

∴∠P=90°．

【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力．

13．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？

【考点】平行线的判定．

【分析】求出∠1=∠5，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AEG=∠CGN，求出∠FEG=∠HGN，根据平行线的判定得出即可．

【解答】解：

EF∥GH，

理由是：

∵∠1=∠2，∠2=∠5，

∴∠1=∠5，

∴AB∥CD，

∴∠AEG=∠CGN，

∵∠3=∠4，

∴∠AEG﹣∠3=∠CGN﹣∠4，

∴∠FEG=∠HGN，

∴EF∥GH．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

14．如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．

【考点】平行线的判定．

【分析】根据平行线的判定（平行线的判定定理有：

①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）得出即可．

【解答】解：

AB∥CD的条件为∠7=∠8或∠3=∠4或∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°或∠FAB=∠FDC或∠EDC=∠EAB．

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：

平行线的判定定理有：

①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．

15．如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】推理填空题．

【分析】首先根据两直线平行内错角相等得到∠1=∠2，再根据∠1=∠3得到∠3=∠2，从而判定AC∥BD．

【解答】证明：

因为AB∥CD，

所以∠1=∠2，

又因为∠1=∠3，

所以∠3=∠2．

所以AC∥BD．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是牢记平行线的判定与性质定理．

16．已知：

如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：

AB∥CD．

【考点】平行线的判定．

【专题】证明题．

【分析】根据平行线的判定方法得出∠1=∠DBA的位置关系即可得出答案．

【解答】证明：

∵BD平分∠ABC，

∴∠2=∠DBA，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠DBA，

∴AB∥CD．

【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定得出角之间的关系是解题关键．

17．如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：

a∥c．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】求出∠2=∠7，根据平行线的判定推出a∥b，b∥c，即可得出答案．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴a∥b，

∵∠2+∠3=180°，∠3+∠7=180°，

∴∠2=∠7，

∴b∥c，

∴a∥c．

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：

平行于同一直线的两直线平行．

18．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：

AB∥CD．

【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．

【专题】证明题．

【分析】根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．

【解答】证明：

∵BE∥CF，

∴∠1=∠2．

∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，

∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，

即∠ABC=∠BCD，

∴AB∥CD．

【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．

19．已知：

如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠C=∠B=70°，

∵BC∥DE，

∠C+∠D=180°，

∴∠D=110°

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

20．已知：

BC∥EF，∠B=∠E，求证：

AB∥DE．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据平行线的性质证得同位角∠E=∠1；然后由等量代换知同位角∠B=∠1；最后根据平行线的判定定理证得结论．

【解答】证明：

∵BC∥EF，

∴∠E=∠1．

又∵∠B=∠E，

∴∠B=∠1，

∴AB∥DE．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

21．如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出∠1、∠2，根据平行线的性质即可求出∠ABC．

【解答】解：

∵AB∥CD，∠A=100°，

∴∠ACD=180°﹣∠A=80°，

∵CB平分∠ACD，

∴∠1=∠2=

∠ACD=40°，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠2=40°．

【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：

两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．

22．如图，已知：

DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，

证明：

CF∥DO．

【考点】平行线的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】先由垂直的定义可得：

∠AED=∠AOB=90°，然后根据同位角相等，两条直线平行，可得：

DE∥BO，进而根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDO=∠BOD，然后由等量代换可得：

∠BOD=∠CFB，进而由同位角相等，两条直线平行可得：

CF∥DO．

【解答】证明：

∵DE⊥AO，BO⊥AO，

∴∠AED=∠AOB=90°，

∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），

∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等），

∵∠EDO=∠CFB，

∴∠BOD=∠CFB，

∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，难度适中．