有界线性算子的谱.docx
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有界线性算子的谱
第一节有界线性算子的谱
1.算子代数
定义：
厶（X）是一复Banach空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称英为算子代数。
性质：
设R,S,T“（X）,xC,则有
1、结合律:
（RS）T=R（ST）,Tm+B=rnr（m,neN）；
2、a（ST）=（aS）T=S（aT）；
3、R（S+T）=RS+R「（R+S）T=RT+ST；
4、单位算子/满足：
IT=TI=T；
5、7\XtX为同构O存在A.B^L（X）,使得AT=[=TB:
必左4=B,称它为T的
逆，记作T~\并称丁为可逆算子。
以GZXX）记厶（X）中的可逆算子的全体。
6、若S、TwGL（X）,贝iJSreGL（X）,且
（ST）"1=T^S'\（Tny[=（T-I）/\
当TwGL（X）时约宦厂〃=（厂丫⑺>0）,厂=I,因而对任何"乙厂有意义。
注：
1、算子乘法不满足交换律；
2、阿|邙||||71，||鬥|井『（心）；
3、若在厶（X）中SqS、TqT,则必有SnTn->STo
定义：
设丁属于某算子代数，称
/（7'）=工％7'”=%/+<7'+・・・+©7'”+・・・
n-0
（其中系数eC（//>0）为算子幕级数。
性质：
设通常幕级数有收敛半径R,则当TeMX）,||T||
时级数ZF-0
工0Z1卜工闯P『vs
引理3丄1设TeL（X）,则
X（/_丁尸=工厂『
“■0
只要貝右端级数收敛。
特別，当|卩||<1时上式必成立。
推论：
若T,SwL（X）,T可逆，则
00
（T+S）-=工厂l_S厂g
/r-（）
只要英右端级数收敛：
特别，当||s||适当小时必成立。
二、谱与谱半径
定义3.1.2设Tw厶（X）,
1、若不可逆，即AI-TeGL（X）,则称2为丁的谱值。
以b（T）记T的谱值的全体，成其为T的谱：
称
G（T）=supU|
j1€为T的谱半径，它是以原点为中心且包含b（T）的最小的圆的半径。
2、令p（T）=C\R（A,T）=（AI-Tyi（Aep（T））
为预解式，也记为尺（刃或心。
3、若2eC,存在XH0,使得7k=/U（这相当于xeN（AI-T））,则称2为T的特征值，并称x为T关于2的特征向量，称N（AI-T）为T关于特征值几的特征子空间。
以<7,（7）idT的特征值的全体，称其为T的点谱。
性质：
1、bp（T）ub（T）；
2、若TeL（X）,dimX2/-T因而勺⑺）=b（T）。
3、若dimX=oo,贝ij可能有勺⑴工旷⑺），即谱值未必是特征值。
泄理3.1.3（Gelfand左理）设TwL（X）,则“厂）是非空紧集，且成立谱半径公式：
阿呷卩
三、某些应用
定理3.1.4设幕级数工％的收敛半径为R、TwL（X）°
1、若怙⑺2、若W）>R,则级数工a“T发散。
注：
若ra（J）=R,级数XaJn可能收敛，也可能发散。
第二节算子函数
一、解析扩张
由定理3」.4可推得：
若
旳—0
是圆
Dr（A））=UeC:
|2-^|内的复解析函数,则当TeL（X）,ra（T-^/）/（门=茲（T—3（3.2.3）
n.O
有意义，且上式右端级数绝对收敛。
因
几wcr（T）（,
于是
0（了一人）/）v厂ob（T—如）U0（0）ob（T）U几+0（0）=Dr
（2）
所以：
（3.2.3）表示一个泄义于集合｛TeUXy.a（T）^Dr（^）｝±.的算子函数/（T）o我们将/（厂）视为复解析函数/（兄）的某种扩张。
特别，熟知的初等函数都可适当地扩张为算子
函数。
例如，对数函数
可扩张为集｛丁e厶（X）:
b（厂）u0
（1）｝上的算子对数函数
类似地，还可左义算子的指数函数正弦函数sinT,等等。
但是，在通过深入思考后，我们发现这种推广并非可以简单地实现，我们将会发现以下的问题：
1、幫级数仅能表达圆域内的解析函数。
对任意开集Q（czC）内的解析函数/（几）及满足b（T）uGWTeL（X）,应如何定义/（T）?
2、/（T）能继承/（刃的哪些性质？
3、函数/（T）仅只是/（兄）的形式扩张，还是有某些不可缺少的实质性应用？
为解决以上问题，先介绍算子积分的概念。
设厶是复平而上任一可求长曲线，T（r）是立义于厶上而取值于厶（X）中的函数（称为算子值函数），则可用通常的"分割、求和、取极限”的方式泄义丁⑴）沿厶的积分：
其中必眄,…,％为厶上顺次排列的分点，6与％分别为厶的起点与终点，冬是厶上介于
71与£之间的任一点，5=rz-r^Cl性质：
1.当丁匕）对厂连续时，上述积分必存在。
2、对任给的//eX*与xwX有
<"J,T（r）dr^x>=£<仏T（r）x>dr
F而考虑任意复解析函数的扩张问题。
取定非空开集GuC,以H（G）记C内的复解
析函数之全体，令
Dn={7'eL（X）:
<7（T）c=Q}
设/（Z）eH（Q）,TeDn,今探求/（T）的合理泄义。
因未必有某个圆0•（久°），使得
形如式（3.23）的左义式一般不再有效。
注意到在复函数理论中，复解析函数不仅可表为幕级数，而且可表为积分，即有如下形式的Cauchy公式表示：
2托iJL
其中厶是0内任一围绕几的简单闭曲线（或称用道，且假定沿英正方向行进时，保持2所
在区域在左边），我们设想将/（T）类似地立义为
f（T）=/（r）（r/-n_，^r（326）
2托iJL
定义3.2.1任给/
（2）eH（⑵与TeDn,取。
内任一用绕b（7）的用逍厶，依式
（3.2.6）定义/（T）,则得到一个从Q到L（X）的函数/（T）,称它为/（几）的解析扩张，或简称为扩张。
注：
1、式（3.2.6）右端的积分必存在。
2、式（3.2.6）右端的积分不依赖于厶的选择。
3、世义式（3.2.3）与（3.2.6）（两者都可使用时）是一致的。
4、/（门的确是/（兄）的扩张。
首先，
显然是一等距嵌入，且此嵌入保持乘积运算。
因此，不妨认为Cu厶（X）,即将几与2/等同。
显然b（〃）={/l},因此可以认为GuQ。
VAeQ,在G内取一围绕;I的围道厶，则
/（2Z）=?
Lj[/（r）（rZ-AZ）-,Jr
=/（r）（r-2）-W=/W/»
2ttiJL
可见/（A/）与/（几）一致。
二、解析扩张的性质
定理3.2.2设/（A）,^
（2）eH（Q）,/?
（2）e,guCuC,TeQ,则
1、（/+g）（T）=/（D+g（T）：
2、（M）=/（T）g（C；
3、（ho/）（T）=/7（/（T））0
定理3.2.3（谱映射定理）设/
（2）e/7（Q）,7'eZ）n,则有
三、谱分解
定理324（谱分解定理）设TeL（X）,o-（D=U则存在X的拓扑直和分解：
X=X1©X2©...©X/I,（3.2.17）
使得每个X,是T的不变子空间（即TXjUXJSiS），且cr（7；）=“，
Tx=》石兀（x=》兀,X：
eX）、（3.2.18）
i
此处7；=TIXr.看作X,上的有界线性算子。
证明：
取充分小的£>0,令
fl,={2eC:
J（2,使得可互不相交.令n=（jQ,，则。
为开集,b（T）uC•以/亿）记篡之特征函数，则1
Z（A）eH（Q）.令P、=/（T）,Xf=RX，以下验证X,（Id）即为所求.
⑴验证（3217）式。
显然有恒等式：
fiWfjW==1（八⑵。
i
于是，由定理3.2.2得
P.P}=6jPQ严IQSj<«）•（3.2.19）
r
特别,用=A（19S）,由工R=I得
X=mZXi，这意味着对每个xeX有分解
ri
%=》兀，Xj已X：
（1i
因Xj=P,X,故对式（3.2.20）中的忑有>',•eX,使兀=£“，从而由式（3.2.19）有兀=工6弓儿=工纟号兀=£工®=Pix。
iji
这表明分解式（3.2.20）是惟一的，因而直和分解式（3.2.17）成立，且片就是从X到X,的投影。
下证X：
=2（》弓）（19Sn）。
若xwN（^P）,则x=Ix=^p,x+p,x=pix^PiX=X/°反之，若xwXj,则有
Ptx=x,这是因为，由Xi的定义，有yeX,使得£y=x,所以Ptx=P~y=Pty=x.
故（力即=a_£）x=—g=0,所以"N（才）。
又Xi=N（^P,gS）是X声>*/护
的闭子空间（有界算子工P,的核是闭子空间），故式（3.2.17）是拓扑直和。
洋i
（2）证明（3218）。
任给xeX,令x,=Z>x（lTx=TD="=ZTz・
iii
因TXj=TRX=P[XuRX=X「故X,（l（3）证明b（£）=q（l彳S）。
只要证b（G=“。
不妨设n=2（否则合并
cr2,cr3,---,（7w）0任取20e0（几）=厶（刃/（入一兄），
则^
（2）eH（n）（几为0
（2）的可去极点）。
由定理3.2.2有
P2=W-T）（p（T）=©（7%V-巧;（3.2.21）
•••0（兄）=厶
（2）0
（2），所以
0（T）=P2（p（Ty（p（T）XuX2（3.2.22）
上式后一式成立是因为（p（T）X=P2（p（T）Xu巴X=X?
。
式（3.2.22）表明（p（T）IX2可看作从X?
到X?
的算子，记作3：
由式（3.2.21）推岀
I=P2\X2=（^I-T2）B=-石），
可见儿®（石）。
这推出人已旷⑺），否则，设人）/-7；可逆，则有有界算子色，使得
（V-7]）^i=^（V-2n1）=/IXI,
MxeX,作直和分解x=x,+x2,x1GX1,x2eX?
能义算子S:
XtX如下：
S:
xT坊召+Bx2
S的线性性显然，而
||氐国阳|+|应卜剛|对|+||砌对|
由第二章习题17,存在常数C>0,使得卜』SC||H|,卜2〔|SC制,故
|圈|勺砧||+||陶|勻岡啊|+|网帆卜C（|岡|+|网|）卜||
可见S有界，而
（^）/-T）Sx=—T）（Blxl+Bx2）=（A^I—T）Bxx}+（2^1—T）Bx2
=（入J-TJBe+（入）/-T）B£（•/BlxleXJ
=（人）/一TJBe+（如-T2）Bx2
=x{+x2=xo
同理：
S（^I-T）x=xo
将推岀^I-T可逆，这与入Eb|Ub（T）相矛盾。
这就证明了巧ub（7；）。
反之，若人e甲）,则必入"（£）。
否则，A.I-T可逆，这将推出\I-TX与；V-驾
均可逆。
若儿已6,则依上段所证将有入&r（7]）,矛盾，故必Aoecr,,因此=第四节Hilbert空间上的有界线性算子
以下假立H是给左的复Hilbert空间。
一、相伴算子泄义3.4.1任给TwL（H）,由恒等式
决左一个算子T仕L（H）,称它为T的相伴算子。
下面说明：
T*的确存在。
首先，任给ywH、由
wvW=（xeH）
r
显然泄义了一个itveH*,且帆.卜円卜||。
由Riesz表现左理，存在由讥（因而也就由y）
惟一决定的y*eH,使得
wv（x）=<>（xeH）,
且卜*11=帆||。
只要令T*y=y*，就得到一个确泄的算子y—*,它使得
恒等式（3.4.2）成立，且
P"円诽||7>|卜
下证是线性的，即
T*（ay\+fiy2）=aT^y\+pT^y2（ayfteC,yt.y2eH）,
这只需注意到下而的推理即可：
==a+/?
<7x,y2>
=a+0
=（Vxe//）o
故左义3.4.1是合理的。
例：
设A=[atj\eC,xw,则Vx,yeC”，有
<心y>=工（5>代氏=D/X/讦=工耳工石儿=<兀A*y>>
fJji这表明a*=[石]=才,即A*即为A的共辘转置。
例：
设TeL（Z?
（J））是以K（x,y）el3（JxJ）为核的积分算子,J=[a,b]（a（J）,有
（"（y）心jK（x,y）v（x）clx
=fv（x）clxfK（x,yMy^dy=
=Ju（x）dx^K（y^x）v（y）dy=<>
所以T*是以疋而为核的积分算子。
命题3.4.2对任给的T、S已LlH\a、0已C,成立以下等式：
（刃+处）*=齢+如；
（73）*=S*T*,（rr）*=（T*）n:
（7'-1）*=（T*r，（若T可逆）：
厂**=7•:
||T*||=||T||；
||T||2=||7T*||=||r*T||.
推论：
映射
是等距共辄同构。
二、自伴算子与U算子
在线性代数中，对AeC,xn,若有A4*=A*A,则称4为正规矩阵；若A=4*,则称A
为Herinite对称矩阵；若A*=A-1,则称A为U矩阵。
定义3.4.3设TeL（H）o若7T*=T*T,则称T为正规算子；若丁=丁*,则称丁为自伴
算子：
若T*=T"，则称丁为U算子。
注：
1、自伴算子与U算子都是正规算子。
2、若AeL（H）是自伴算子，则T=ebK是U算子。
3、若TeL（H）是U算子，且b（T）不充满复平而上的单位圆周，则必有自伴算子AeL（H）,
使得T=
命题：
3.3.4设TeL（H）,则以下结论成立：
1、T是正规算子o||7x||=||T*x||（Vxe/7）,2、T是自伴算子OV7\x>wR（Vxw/7）。
3、了是U算子OT.H—H是等距同构。
泄理3.4.5设TeL（H）0
1、若T是正规算子，贝il^（T）=||T||e
2、若T是自伴算子，则b（T）uR；设［加,M］是包含b（厂）的最小闭区间，贝IJ
m=inf.M=sup:
ll'l"1|x||-l
||T||=sup<7x,x>
I卜
3、若丁是U算子，则V2e0-（7）,有"|=1，即bDuSjS】表单位圆周。
三、正算子
泄义3.4.7设T、SeL（H）是自伴算子。
若<7\">nO（V.yH）,则称了为正算子，记作
T>0：
若T—SnO,则约）iLT>S或SS7\
注：
1、自伴算子是正算子的充要条件是英谱值非负。
2、H上的自伴算子全体构成一实向量空间。
（记为LS（H））o
3、每个TwL（H）有惟一分解：
T=A+iB,A,BeL=H）
且A=（T+T*）/2,B=（T-T^）/2
因而T*=A-iBo
泄义若TwL（H）满足
>m||x||"（VxeHjn>0）
则称T为正泄算子。
四、正投影
泄义若H=A㊉A-是正交分解，则由此分解决上的从H到4的投影称为正投影算子或正投影，通常记作化。
注：
VxeH,巳x就是x在A中的最佳逼近。
命题3.4.10TeL（H）是正投影o尸=T=T*o
推论1、设PeL（H）2、0
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