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考研问答
Rucc总结近期作业情况：
5月31日
这几次作业错误比较少，主要错误在12－7列写系统方程出错，好多人没有回答能否省略增益为1的通路；8－34，8－36的幅度响应图画错。
此外，作业中有个别抄袭现象。
问题1：
两个周期信号线性迭加是否仍是周期函数？
解答：
如果两函数的周期是有理相关的，则线性迭加后仍然是周期的；但如果非有理相关，则线性迭加生成的信号就是非周期的。
证明：
用反证法。
假设：
sinx+sinx的周期为t，即
当x=-t/2时，有sin（t/2）=-sin（лt/2），显然等式只有在t=0时才成立。
假设不成立。
问题2：
H.T.在负频率时为超前90度，怎样解释？
解答：
负频率是为了完备性而虚设的，只需将HT的相频特性认为是奇函数即可，其群延迟为冲激函数，是物理不可实现的。
在实际应用中，都是近似的。
因此，只考虑正频率的情况，即HT是-90度相位校正器。
问题3：
非线性系统是否能够不失真？
解答：
非线性系统必然存在频率失真，可以工作在线性段，或利用其非线性失真，因此不存在无失真传输问题。
问题4：
这两天复习信号时看了一下北航2001年的考研试题，其中有一道题提供的标准答案说“卷积的方法只适用于线性时不变系统”，我从卷积的推导中看不出为什么时不变是一个条件，而且我认为只要是线性的就可以了，不知道正不正确？
解答：
你的问题可能是：
输出等于输入与系统冲激响应的卷积。
我们现在研究的是线性时不变系统的分析方法。
前面的课应该讲过而且推导过：
线性时不变系统的零状态响应等于系统输入与冲激响应的卷积。
此结论的推导过程中，一定用到了线性系统的迭加性（如果你忘了或者课上没有讲下次课问我）。
单从卷积来说，卷积的过程包含反折、时移、相乘、积分，是一个时间历程（卷积输出结果的非零时间段是两个函数时宽之和），要求在此过程中，h（t）保持不变，积分结果才具有确切的时间函数意义。
因此，时不变是必要的。
此外，系统是时变的（即使假设非连续时变，即时变粒度非任意小），说的是，对于不同时变区间的激励其响应不同，系统函数h（t）时移的前后其波形发生变化，因此，破坏了解的连续性和唯一性。
目前，时变常微分方程和时变偏微分方程（变量含有时间参数t）的研究仍然是数学界的热点，该领域称之为发展方程理论，但超过二阶的就很难有普适的解析解了（存在性、连续性、唯一性），要针对具体问题才能求解。
研究时变系统的另一个领域是随机微分方程，一个随机过程自然是时变的，解这样的方程也有一些成熟的办法，可能你们以后会学到。
实际工程中，遇到时变的问题，往往寻求局部线性化，然后做平滑接口。
我们最后一章要讲的卡尔曼“状态空间”方法，也是描述时变系统的一种成熟理论，尤其是可以借助于计算机求时变系统的数值解，在现代控制系统设计分析中起了重要的作用。
估计哥伦比亚号航天飞机失事的分析少不了用到状态空间分析，呵呵。
问题5：
关于walsh函数（335页倒数第三行）有这样一个命题,当k为奇数时,walsh（k,t）对原点时奇函数,但是cos（）函数是偶函数,也就是说,在t=0附近,不论t是否大于0,sgn（cos（ct））都等于1（c是walsh函数中t的系数）,即不论k是不是奇数,都有walsh（t）=walsh（-t）,所以我不明白,为什么说walsh（）函数可以是奇函数.麻烦您给我讲一下,谢谢!
解答：
walsh函数的定义域是[0,1）。
k为偶数时，关于t=1/2偶对称；k为奇数时，关于t=1/2奇对称。
若在整个t轴上进行周期延拓，就成为周期为1的周期函数。
其波形也是符合上述奇偶对称规律的，如下图所示。
如果walsh函数的定义域是[-1/2,1/2），你的结论就对了。
问题6:
上册291页关于理想带通滤波器的定义.书上说是相位特性是过载波点的直线,我以为那样的话就不能满足相位不失真了:
解答：
并参见文件（带通滤波器相位特性讨论.ppt）
无失真传输带通系统的相频特性确实应该也是过零点的负斜率直线。
但由于是带通系统，传输的信号都在带内，所以可以在带内附加相移，使得在载频点的的相移为零，仍然满足不失真条件，参见ppt文稿。
这也是带通滤波器物理实现时的要求：
以载频点为中心频率，通带内幅度平稳、相位线性。
这部分内容应该花30分钟时间详细给出推导，并举例说明，但本学期特殊情况，只好自学。
鉴于此问题，我想应该发展一下“无失真传输”理论：
幅频特性在带内为常数，相频特性为过通带中心频率点的负斜率直线。
问题7：
书p281页式5-40,按此式来讲,该系统的冲激相应在t<0时刻还是已经存在了啊.
解答：
从（5-37）到（5-39）的过程，频率的取值都是从负无穷到正无穷，（5-30）式应该再乘以u（t）就对了。
在281页倒数第2行作了说明：
冲击响应起始时刻在t=0处。
问题8：
对于码速和带宽我区分的不清楚.码速的意思究竟是什么呢?
是我们平时说的传输速度吗?
比如:
100kb/s?
”宿舍楼都是10M的带宽”与这的”带宽”是一个意思?
解答：
码速，是“比特/秒，b/s=bps”，即平时经常说的传输速度，也称速率。
带宽之于信号，是其在频域（时域信号的傅立叶变换）能量主要集中处定义的某种宽度，如时域脉冲信号在频域的第一主瓣宽度、钟型信号的3dB带宽、信号的等效带宽（有专门定义）等。
带宽之于系统，是描述传输或处理信号的信道（如导线、光纤、大气空间、放大器、滤波器、均衡器、移相器、调制器等）的频率响应特性，即所谓系统的带宽，单位是Hz。
根据《信息论》课讲的Shannon定理，系统的容量（能够传输的最高信号比特速率）与系统带宽和信号质量（表现为“信噪比”）有关：
其中，C是信道容量（b/s），B是系统带宽（Hz），PS是信号功率，PJ是总干扰功率。
问题9：
isdn和internet的区别？
我们接触的哪些是isdn啊?
解答：
信息网包括接入、传输、交换三部分。
交换方式有两种：
电路交换（如电话网）、包交换（如计算机网）。
宽带ISDN（B-ISDN）采用ATM方式，可以用于高速包交换，因此可以作为Internet骨干网；同时它还能建立虚拟的通路，因此也可以用于提供具有实时性要求（指延迟和延迟抖动）的多媒体业务。
常见的N-ISDN是2B+D（两个64kbps、一个16kbps），可以同时进行话音、数据（含低速率动态图象）的通信，市场上卖的“一线通”就是这种，在通话的同时上网传图象。
ISDN（综合业务数字网）的初衷，是为了将语音、数据、图象统一起来，因此其协议设计要满足三种业务的需求。
Internet的初衷，是为了传送实时性要求不高的数据，其主要传输协议，是基于IP数据包的TCP。
从目前网络规模、用户数量、应用范围、发展趋势等各种因素考虑，NGN（下一代网络）大有可能也是基于IP的，其它的技术体制和系统（如移动网）都要向它看齐，或在高层兼容其应用。
问题10：
Walsh函数的对称性质（6-94）式，似乎不对，参见图6-7。
比如，q=2，k=1时，Wal（4,t）好象不等于Wal（1,4t）！
解答：
对称性质（6-94）式是正确的，推导也是正确的。
造成上述例子误解的原因，是没有理解Wal（k,t）的定义区间为[0,1]）（此区间以外都由其周期拓展得到），而只是认为Wal（1,4t）由Wal（1,t）在区间[0,4]）上的取值压缩至[0,1]）得到。
其实，Wal（1,4t）并不是Wal（1,t）压缩而成再拓展，而是直接求Wal（1,4t）在t=[0,1]）上的值，然后再拓展。
注意到Wal（1,4t）=sgn（cos4t）即是图6-7中第5行的事实，上述问题迎刃而解。
Wal（1,4t）=sgn（cos4t）
01/81/43/81/21t
问题11：
p329中（6-70）式求出的系数是否可以为复数？
如果是，（6-59）式将对复数求导，这可以吗？
解答：
函数的完备正交集展开，加权系统完全可以是复数。
复变函数里学过，在复平面上对复变量求导，只要是解析点，其导数都是存在的。
问题12：
在用留数法求逆z变换时讲稿中说：
其中
的积分方向为顺时针，
可是如果对
求逆z变换，若在收敛域内顺时针积分将得到
，与结果差一符号？
解答：
顺时针围线积分，在用留数定理来求时，应将各极点留数求和结果反号，参见讲稿8-4节第8页倒数第2行第2项，即在留数和前面加了负号。
这样就对了。
问题13：
关于数字滤波器，书上说无限冲激响应数字滤波器是以相位非线性为代价的，而有限冲激响应数字滤波器可以保证相位线性，而且给了证明。
但是，从证明过程上来看，主要用到的是h（n）的对称性。
如果无限冲激响应数字滤波器的h（n）也是对称的，是不是也可以保证相位的线性，证明如下。
假设h（n）＝h（2N－n），则
这样，无论是无限冲激响应数字滤波器还是有限冲激响应数字滤波器，只要h（n）有对称性，则相位就是线性的。
解答：
所谓IIR，顾名思义，其h（n）=h（n）u（n）是无限长的，因此无对称性可言。
如果写成h（n）=h（2N-n），就相当于h（n）是长度为2N+1、以h（N）为中心的偶对称有限长序列，就可以象你推导的那样，做到线性相位，其实也就是FIR滤波器了。
关键问题是，针对所要设计（达到）的滤波器频响特性，选择有反馈支路（传输函数分母多项式不为1）的滤波器，还是无反馈支路的滤波器。
前者的h（n）必然是无限长的，比如在式（10-63）中，a1,b0,b1≠0，其它系数均为零，则差分方程化为y（n）=b0x（n）+b1x（n-1）–a1y（n-1）。
当输入为δ（n）时，输出为h（n）=b0（-a1）nu（n）+b1（-a1）n-1u（n-1），是无限长的，无对称性。
如果截断为有限长序列，并设计成具有对称性，则相位特性就是线性的，也就成了FIR。
问题14：
下册书357页，在推导可控的充要条件时，为什么说，“注意到A为非奇异矩阵”，我认为A矩阵是可以奇异的。
解答：
方阵非奇异，是说其各行向量或列向量线性无关（独立），即行列式非零。
A矩阵是kXk阶方阵，其非奇异是Cayley-Hamilton定理的要求，否则定理就没意义了。
问题15：
下册书359页，关于可观阵满秩判别法，是否应该加一个前提条件，“所研究系统为SISO系统”，起码应该要求是单输出的，否则N矩阵不是方阵。
解答：
实际上N矩阵未必是方阵，它是rkXk阶矩阵，r是输出方程组个数。
当r=1时为方阵。
书上此处的推导有问题，是从（12-161）、（12-173）两式来的，假设单输入/输出。
一般情况下，不应该将（12-177）式说成方阵。
M阵也一样。
但书上举的例子都是单输出的情况，即输出向量中只有一个非零。
问题16：
下册书361页，正数14，15行，拉姆达（用汉语带替的）3应改为拉姆达1，是吗？
解答：
是。
书印错了。
以上三问题来自冯伟01124762774382
问题17：
huangn@皇恩?
y（n）+3y（n-1）+2y（n-2）=x（n）+x（n+1）其中x（n）=u（n）
（初值）y（－1）＝1，y（-2）=1
当我两边取Z变换的时候得到
左边Y（Z）＋3Z（-1次方）×（Y（Z）＋y（-1）*z）+2Z（－2次方）×（Y（Z）+y（-1）*z+y（-2）*z^2）
右边在进行Z变换时需要写成X（Z）+Z*（X（Z）-x（0））吗？
还是（1＋Z）×X（Z），就是说把不把激励信号的Z变换跟响应信号做同样的相当于加入初始值的x（0）jia加入到其中呢，因为计算结果不大一样，我个人觉得后种计算方法正确，希望您能给个明确答复，我是不是概念不太清楚？
还有，第五章第六章您有删节吗？
希望您能够把考试要求的部分再详细说一遍，以便我们复习。
我对期末考试的建议时，希望不要有太多的数学计算，包括复杂的公式推导，我觉得那些不是信号课应该考察大家的！
解答：
若x（n）=u（n），则x（n）与x（n+1）的z变换相同，都是z/（z-1）。
这一点由单边z变换的原始定义（Laurent级数）或单变z变换的移位性质均可得到。
因此，应该是“前者”正确，即右边的单边z变换为2z/（z-1），收敛域在单位园外；而不是（1+z）X（z）。
你问题的意思是：
激励信号在n=-1时刻接入，一般不讨论这种情况，可以把n+1写成n，则方程就化为：
y（n-1）+3y（n-2）+2y（n-3）=x（n）+x（n-1），求出y（-3），再用单边z变换求解，从而将激励在0时刻以前接入转化成在0时刻接入，同时改变了系统的初始条件。
你算一下两种情况，看结果是否一致？
我猜一定一致。
5、6章考试内容我会在总结课上讲。
问题17（还问）：
老师我还是把这道题目的整个过程给您写一遍吧，我计算的结果还是不一样。
这里我会把字体放大，以便您看着方便。
题目：
如果按前一种方法做，就是不将n替换为n-1：
两边同时Z变换
带入
方程转化为：
将n由n-1代替
两边同时进行Z变换得
则
您可以通过对比零状态响应即可看出两者得不同
前者为
后者为
麻烦您检查一下是否我的计算有误啊？
谢谢指导！
！
！
解答（再答）：
你的两种计算都没错，分别化简后是相等的。
目前形式上的不同，是由于第1种方法零状态与零输入划分错了。
既然n=-1就有输入了，应该将输入的两项z变换后分成两部分，其一的作用改变了起始状态，贡献于零输入响应，其二相当于在n=0时刻的输入，产生零状态响应。
注意到2z/（z-1）=（z+1）/（z-1）+1，第1项相当于零状态项，第2项参与到零输入响应里了。
你同意我的分析吗？
还有其它高见吗？
问题18：
孙涛，62774218。
抽象表示的信号（或系统）与具体表示的为什么有区别？
比如书中下册5页例题抽象函数x（n/2）的波形在图7－2（c）中示出；但是，由x（n）的具体形式为x（n）＝n，
则x（n/2）的波形在n为奇数时是有定义的。
二者有这样的区别。
再如系统r（t）＝e（2t）的是非因果的。
但如果令e（t）＝sin（t）时，r（t）＝sin（2t）却是因果的，它们这样的区别。
解答：
在n/2点上序列没有定义。
问题19：
孙涛，62774218。
书上说用单边z变换解差分方程，而双边z变换是否也可以解差分方程？
书中下册81页例8－17中，y（－1）＝2，说明y（n）已是非因果序列了，但是本题
仍用单边z变换是不是有问题。
对于非因果信号是不是就应该使用双边z变换？
解答：
线性定常系统的差分方程，输入激励序列均是因果的，即x（n）在n=0时接入，求的也是n=0,1,2……的输出y（n）；y（-1）,y（-2）,y（-3）,…作为初始条件存在。
因此差分方程总是如（7-31）式所示。
这就是用单边z变换求解差分方程的思想。
如果是一个一般的差分方程，左、右两边或一边是双边序列的无穷项和，则就用双边z变换。
例8-17，y（－1）＝2，根据方程迭代，一直能求到y（-1）,y（-2）,y（-3）,…，说明系统原来处于非零状态，具体表现在激励接入时刻，系统有初始储能。
单从数学意义上考虑，如果用双边z变换，左边就会是无穷级数，给求解带来不便。
从物理意义上来考虑，对于非时变系统，当无输入时，输出也在变化，说明系统是耗散的，或说是阻尼的，它必然回到零状态。
y（－1）非零，是说在系统储能未耗尽时输入就来了。
如果输入是非因果的，那么就应该用双边z变换了。
问题20：
冷伟民，无15
在关于Z变换求时域卷积的时候，书上说当出现零极相消的情况时，收敛域将会扩大，如书上P70的例8-12中所说的。
但是，以例8-12为例，当|a|<1时，书上说的收敛域为|z|>a.如果我取z=（1+a）/2.X（z）与H（z）同书上一样。
那么按照书上的P69卷积证明过程中所说的，卷积后的Z变化等于X（z）与H（z）的乘积。
而这里z=（1+a）/2时，H（z）是收敛的，且不为0；而X（z）是发散的，那么其乘积也应是发散的，这是不是就与书上的结论矛盾了？
我想，是不是卷积后的收敛域只能是两个函数的收敛域的重合部分。
解答：
当无零极点相消时，卷积后的收敛域就是二者收敛域的公共部分。
但是，当其一的极点恰好又是另一的零点时，二者相消，收敛域应另当别论。
因为所求的是两个序列卷积之后所得的新序列的z变换，其收敛域只是新序列的收敛域，原则上与原来两个序列各自的收敛域没有本质的联系。
新序列的收敛域只取决于其z变换式（复变函数）最外边极点位置。
零极相消，相当于卷积之后极点少了。
如果消掉的恰是原来两个序列各自z变换所有极点中离原点最远的极点，那么收敛域就扩大了。
如果消掉的不是最远处的极点，则收敛域还是二者原来收敛域的公共部分。
收敛域是Laurent级数收敛点的集合。
LT与ZT的收敛域，实际上是一致收敛域。
因果序列展开成复变量Laurent级数，是单边z变换。
其在z平面上的收敛域是离原点最远的极点所在园（称为收敛园）以外的部分。
那么，在该收敛园上及其内部，还存在其它的收敛点使级数展开成立吗？
答案是肯定的，而且大有点在！
如例8-12，X（z）在z平面上只有一个点不收敛，即z=1点，但我们声称其收敛域是单位园以外，不包含单位园及其内部。
H（z）在z平面上只有一个点不收敛，即z=a点，但我们却认定其收敛域只是在半径为|a|的园以外，不包含园上和园内部。
这就是所谓的一致收敛域。
一致性的概念难以理解，但对于掌握收敛域大有好处，所以我还是给你们讲了。
问题21：
关于“吉布斯”的解释，书中用了理想低通滤波器的“吉布斯”现象解释傅立叶级数逼近时的“吉布斯”现象，但是前者用什么解释？
解答：
理想低通滤波器仅让零频至截止频率的信号分量通过，傅立叶级数展开仅取有限项，一个是通过系统的作用只通过有限项，一个是信号分解只取有限项，本质上是一回事。
当有限项变成无限项时，或截止频率趋于无穷时，吉布斯现象就消失了。
问题22：
频响特性是否只针对稳定系统研究，还是只有稳定系统的频响特性可研究？
解答：
频率响应的研究不限于稳定系统。
但却有稳态频率响应问题，它研究当系统经历了暂态过度过程以后的长期响应，由系统主导极点或序参量决定。
问题23：
滤波器的带宽是否只计算频率大于0的部分？
解答：
实际系统无所谓负频率的问题。
比如，低通音频滤波器，频带为0-20000Hz，画到频谱图上是从-20KHz到20KHz，是完备性所至。
问题24：
“系统可实现性”三个条件的关系不清楚。
我把它们称为A-时域因果条件，B-频域能量有限条件，C-佩利-维纳条件：
我的理解是：
1．C是对系统函数H幅度的限制条件，说他是“必要”而不是“充分”，是因为H相位同样需要某些限制条件。
即，不满足“佩”一定非因果，满足“佩”也不一定因果，还要相位好才行。
2．A,B合起来应该是充要条件了把
3．《“佩”—相位》与《A,B》是不是两对并行的充要条件？
4．“佩”和相位都没提对能量的要求，那么它们合在一起还能充要吗？
5．“系统可实现性”本质上是因果性，那么能量呢？
对能量没有要求吗？
解答：
针对你的几点理解分别解答。
1.你的理解对了一半：
不满足C，则一定非因果，不可物理实现。
后一半错了，应该是：
满足C，则|H（jw）|物理可实现，此时，一定能配上适当的相位特性，实现H（jw）。
也就是说，H（jw）是物理可实现的，但并不是唯一实现的。
最小相位实现是唯一的。
2.“物理可实现”至今没有充分必要条件，我也曾提出“能量有限的因果系统物理可实现”的建议，但专家们都不敢下这个结论，也就不了了之了。
3.既然A、B加起来不构成充要条件，则C加相位约束也就难说了。
大家公认的说法是：
如果给定的H（jw）满足佩利-维纳定理（包括能量有限），则一定能够找到合适的相位特性，构造出物理可实现系统，实现H（jw）。
4.佩利-维纳定理包括了平方可积条件。
5.对能量当然有要求，即平方可积条件。
（此题toobigapple因秀美提出，很有意义）
问题25：
卷积的微分与积分性质
即
（1）
和
（2）
是否对所有的CT信号
均成立？
有无适用条件，比如
？
还有，关于上述性质的推广：
（3）
的适用条件是什么？
我个人的看法是：
对于
的
不成立，但似乎
对所有的
都成立，由它也能推出
，不知对否？
解答：
卷积运算就是积分，
（1）式左边存在的条件，首先是可积，然后是可微；右边存在的条件，首先是可微，然后是可积。
至于可积、可微条件，你应该去复习微积分的有关知识。
（2）式也一样，一定要积分存在才成立。
结论是：
并非所有CT函数两个性质都成立，一定要积分的地方可积、微分的地方可微。
黎曼可积条件，是指被积函数分成无穷多个小段，每段至横坐标轴所构成的无穷多个小矩形可和。
于是，无穷远处不为零的函数，一般不可积，因为函数在无穷长的区间内非零（且无规则），积分很可能是无穷大。
导致不可积，但这只是一类特殊情况。
可微，是指函数在任意点微分存在。
如sin（1/x）在x=0点不可微，威尔斯特拉斯就曾经构造了处处连续但处处不可微的函数，称为威尔斯特拉斯函数。
（3）式也一样，要求可微、可积才成立。
问题26：
傅立叶变换的微分性质
（4）
是否对所有CT信号均成立？
（有无必要考虑直流因素？
）
解答：
一般地，（4）式也要求f（t）的傅立叶积分F（w）存在，且左边的微分、积分都存在才能成立，与f（t）的连续性无关。
但有一类函数——称为“缓增函数系”，其积分不存在，但可以表示成广义函数，如直流的傅立叶变换积分为delta函数，因此，F{f（t）=1}=2πδ（w）。
问题27：
习题5-20是一个解调系统，是否是非线性的？
冲击响应答案未体现出系统内部特征，意义何在？
解答：
该系统是线性的，因为对于T{e（t）}=r（t），有T{αe1（t）+βe2（t）}=αT{e1（t）}+βT{e2（t）}。
也是时不变的，因为系统的参数，如w0、t0、Ω，没说随时间变化。
当输入为冲击函数时，F{δ（t）}=1（w），即其频域特性是不随频率变化的常数，所以乘法器输出也是如此，与w0无关。
因此，理想低通输出信号的幅度谱就是矩形的（线性相位），对应的时域h（t）即为傅立叶逆变换Sinc函数（与Ω有关）。
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