四边形学案.docx

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四边形学案

19.1.1平行四边形及其性质

（1）

学习目标：

1．使学生掌握平行四边形的概念及性质定理，并能运用这些知识进行有关的证明或计算．

2．知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来处理，渗透转化思想；通过推导平行四边形的性质定理的过程，培养学生的推理、论证能力和逻辑思维能力．

3．通过要求学生书写规范，培养学生科学严谨的学风；渗透几何方法美和几何语言美及图形内在美和结构美

学习重点：

平行四边形性质定理的应用

学习难点：

在计算或证明中应用平行四边形概念、性质的知识．

疑点及解决办法：

注重对概念的教学，使学生深刻理解上述概念，搞清它们之间的关系．

【预习内容】（阅读教材第83至84页，并完成预习内容。

）

1.观察p83图19.1-1，这些都是我们生活中常见的平行四边形的形象。

你能再举出一些例子吗？

如：

__________、____________

2.平行四边形定义：

有___________分别_________的_________叫做平行四边形,用符号________表示。

如图1，∵AD//BC,AB//CD，∴四边形ABCD是________四边形,记作_________,读作____________________。

（注意：

表示时一定要按顺时针或逆时针方向依次注明各个顶点，若写成□ACBD等都是错误的）

（1）面积=底╳高

（图1）

（2）平行四边形属于四边形，所以具有四边形的性质：

______________

平行四边形还有哪些性质呢？

我们先来认识一下与其相关的概念。

①邻边：

有公共顶点的边。

②对边：

不相邻的，没有公共顶点的边。

③邻角：

有公共边的两个角。

④对角：

没有公共边的两个角，也就是相对的两个角。

3.探究：

根据定义画一个平行四边形，观察除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间还有什么关系？

度量一下，是不是和你的猜想一致？

平行四边形具有以下性质：

平行四边形的对边____________

平行四边形的对角____________（邻角________）。

你能证明你发现的上述结论吗？

（提示：

连接对角线把未知问题转化为已知的三角形问题）

例1:

如图4，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中AB边长为10m，其他三边的长各是多少？

【课堂练习】

1.完成p84的练习1-3

2.已知□ABCD中，∠A=30°,求∠B、∠C、∠D的度数

3.已知，如图2，∠BAD的平分线交BC边于点E。

求证：

BE=CD.

【

（图2）

归纳小结】

1.平行四边形概念2.平行四边形性质

【当堂检测】

1.□ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠B,∠A的度数是多少?

2.□ABCD中,两邻边之比AB∶BC=2∶3，周长为30cm,求它的各边长。

19.1.1平行四边形的性质

（2）

学习目标：

1.探索并掌握平行四边形的性质：

平行四边形的对角线互相平分；

2.能灵活运用结论进行推理和计算

学习重点：

掌握“平行四边形的对角线互相平分”学习

学习难点：

平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达

【预习内容】

（一）复习巩固：

1．平行四边形是如何定义的？

2．我们学习了平行四边形的什么性质？

（二）阅读教材第85页至第86页的部分，完成以下问题

（1）观察□ABCD的对角线有什么特征?

OA与OC、OB与OD的大小有什么关系?

为什么?

你能用文字叙述所得的结论吗?

归纳:

如何用符号语言表示：

你能证明吗？

（2）例2：

四边形ABCD是平行四边形，且AB=10,AD=8,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长以及□ABCD的面积。

D

A

O

C

B

【课堂练习】

1、如图，在□ABCD中，BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,△AOD的周长是多少？

为什么？

△ABC和△DBC的周长哪个长？

长多少？

E

D

A

2、如图，□ABCD的对角线ＡＣ，ＢＤ相交与点Ｏ，ＥＦ过点Ｏ且与ＡＢ，ＣＤ分别相交于点Ｅ，Ｆ，求证ＯＥ＝ＯＦ

O

F

C

B

【当堂检测】

1、如图，□ABCD的对角线相交于点o，且两条对角线的和为36cm，AB的长为5cm，求△OCD的周长。

2、□ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△COB的周长大8cm，则AB=，BC=

19.1.2平行四边形的判定

（一）

学习目标：

1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．

2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

学习重点：

平行四边形的判定方法及应用．

学习难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

【预习内容】

（一）复习巩固：

1、平行四边形的概念：

2、平行四边形的性质：

边：

角：

线：

3、思考：

对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？

（二）阅读教材P86—87,完成下列问题

1.从探究中得到：

平行四边形判定方法1：

（）

平行四边形判定方法2：

（）

判定3：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

已知：

∠A=,∠B=

求证：

四边形ABCD是平行四边形

证明：

2.例习题分析

例1已知：

如图

ABCD的对角线AC、BD交于点O，

E、F是AC上的两点，并且AE=CF．

求证：

四边形BFDE是平行四边形．

分析：

欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．

证明：

【课堂练习】

1.上例变式1：

若E、F移至OA、OC的延长线上，且AE=CF，结论有改变吗？

为什么？

2.上例变式2：

如图,

ABCD的对角线AC、BD交于点O，

且E、F、G、H分别是AO,BO,CO,DO的中点，

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

3.如图，

，图中有

哪些互相平行的线段？

【当堂检测】

1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．

（A）对角线互相垂直（B）对角线相等

（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分

2、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=____cm，CD=____cm时，四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，四边形ABCD为平行四边形．

19.1.2平行四边形的判定

（二）

学习目标：

1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2．能较熟练地应用平行四边形的性质、判定方法和三角形中位线性质进行有关的证明和计算．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

学习重点：

平行四边形判定方法及其应用；握和运用三角形中位线的性质．

学习难点：

平行四边形的判定定理应用；三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．

【预习内容】（阅读教材第88至90页，并完成预习内容。

）

1.准备知识

平行四边形的性质：

平行四边形的判定方法：

2.探究：

取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？

（即“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？

）

你有几种证明方法？

平行四边形判定定理：

__________________________________________________

3.三角形的中位线

例1如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：

DE∥BC且DE=

BC．

定义：

连接三角形___________的______叫做三角形的中位线。

思考：

（1）想一想：

①一个三角形的中位线共有几条？

②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

三角形中位线定理：

_______________________________________________________________

4.两条平行线间的距离：

两条平行线间__________的______叫做两条平行线间的距离。

思考：

1.两条平行线间的距离与点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？

2.如何理解几何中“距离”的概念？

结论：

两条平行线间的距离_______________

【课堂练习】

1.完成p90练习1-3;

2.已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

BE=DF．

【当堂检测】

1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC（B）∠A=∠B，∠C=∠D

（C）AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，CB=CD

2．已知：

如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．

19.2.1矩形的性质

学习目标：

1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行简单的推理

2．会初步运用矩形的概念和性质来解决相关问题;

3.能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质

学习重点：

矩形的性质．

学习难点：

矩形的性质的灵活应用．

【预习内容】

1.复习平行四边形的有关概念及性质、平行四边形的判定方法．

2.阅读教材第94页至第95页的部分，完成以下问题

（1）矩形的定义

（2）矩形的性质

（a）矩形和平行四边形的关系是什么？

矩形具有平行四边形的性质吗?

（b）矩形的特殊性质

【探究1】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋做出两条对角线，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

当∠α是锐角或钝角时，两条对角线.

当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度.

【探究2】看门框也是一个矩形形状，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些一般地平行四边形所没有的特殊性质呢？

内角：

由此我们得到矩形的性质：

矩形性质1　

矩形性质2　

（试着自己证明性质1，2.要求画出图形，写出已知、求证，然后写出符号语言.）

符号语言符号语言

（3）.直角三角形的性质：

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO===

=

．因此可以得到直角三角形的一个性质：

符号语言

（4）例1已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

【课堂练习】

1.完成p95练习1-3;

【当堂检测】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2AC,求∠A,∠B的度数。

A

2、、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D，∠ACD=3∠BCD,点E是斜边AB的中点。

∠ECD是多少度？

D

B

E

A

C

19.2.1矩形的判定

学习目标：

1．理解并掌握矩形的判定方法．

2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力

学习重点：

矩形的判定．

学习难点：

矩形的判定及性质的综合应用．

【预习内容】

1．知识准备

（1）矩形概念：

（2）矩形性质：

边：

角：

线：

（3）矩形与平行四边形之间的关系？

2．阅读教材P95—96,完成下列问题

通过讨论得到矩形的判定方法．

矩形判定方法1：

（）．

矩形判定方法2：

（）．

3．判定方法的证明

（试着自己证明判定方法1，2.要求画出图形，写出已知、求证，然后写出符号语言.）

4．概括矩形的判定方法：

定义：

表达式：

判定1：

表达式：

判定2：

表达式：

【课堂练习】

例1下列各句判定矩形的说法正确的是

（1）对角线相等的四边形是矩形

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形

（3）四个角都相等的四边形是矩形 （4）有三个角都相等的四边形是矩形

（5）有三个角是直角的四边形是矩形（6）一组对角互补的平行四边形是矩形；

例2已知：

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4m，求这个平行四边形的面积．

【当堂检测】

1．下列说法正确的是（）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形

（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形

（D）对角互补的平行四边形是矩形

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是

3．已知：

如图 ，在△ABC中，∠ACB＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

19.2.2菱形

（一）

学习目标：

1．理解并掌握菱形的定义及性质，知道菱形与平行四边形的关系．

2．会用菱形的定义及性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

学习重点：

菱形的性质．

学习难点：

菱形的性质及菱形知识的综合应用．

【预习内容】（阅读教材第97至98页，并完成预习内容。

）

1.准备知识

平行四边形性质：

矩形性质：

边___________________角___________________线___________________

平行四边形判定：

矩形判定：

2.探究新知

⑴菱形定义：

________________相等的_________________叫做菱形．

（注意：

　菱形

（1）是___________________；

（2）_________________相等．）

举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．_____________、______________.

⑵菱形性质

按教材97页的方法剪得菱形，观察得到的菱形，回答下列问题。

①它是轴对称图形吗？

有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

②图中有哪些相等的线段？

③图中有哪些相等的角？

④图中有哪些特殊形状的三角形？

是哪些？

菱形性质：

菱形具有____________________的一切性质；

菱形是__________图形也是_____________图形.

菱形的四条边都___________

菱形的两条对角线互相__________，并且每一条对角线___________

（自己完成性质的证明）

⑶菱形面积

例1如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°.沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积。

S

=

×AC×BD（菱形面积=底×高=对角线乘积的_____）

【课堂练习】

1.完成p98练习1-2;

2.完成菱形性质的证明（画图、写出已知求证及证明过程）

【当堂检测】

1.已知菱形的周长为12cm，则它的边长为_________;

2.已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，则∠BAC=_______

3．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．

19.2.2菱形

（二）

学习目标：

1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用

2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.：

学习重点：

掌握并会应用菱形的判定方法.

学习难点：

菱形判定方法的应用.

导学过程

【预习内容】阅读教材第99页至第100页的部分，完成以下问题

1.菱形的定义和性质

2.如下图,在□ABCD中,若AC⊥BD,则□ABCD是什么图形?

证明：

我发现,的平行四边形四边形是菱形.

菱形的判定方法:

（1）的四边形是菱形

符号语言

（2）的平行四边形是菱形

符号语言

（3）的平行四边形是菱形

符号语言

【课堂练习】

1

．例□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4,OB=3.求证：

□ABCD是菱形。

2．完成p100练习1-3.

【当堂检测】

1．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．

2．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．

3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是（）．

19.2.3正方形

学习目标

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

学习重点：

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

学习难点：

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

【预习内容】阅读教材P100—101,完成下列问题

1．知识准备

（1）矩形定义

（2）菱形定义

性质边性质边

角角

线线

形形

2、探究1：

正方形定义：

（1）有一组相等的矩形是正方形

（2）有一个角是的菱形是正方形

探究2：

正方形性质：

正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有的性质，同时又具有的性质．

边：

对边，四边；

角：

四个角都是；

线：

对角线相等，互相，每条对角线平分一组．

形：

既是对称，又是对称

探究3：

正方形判定：

（1）有一组邻边相等的是正方形

（2）有一个角是直角的是正方形

【课堂练习】

1．例1求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O

求证：

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：

例2ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E,测量知，EC=30m，EB=10m，求这块地的面积和对角线长分别是多少？

2.完成p101练习1-3.

【当堂检测】

1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线互相垂直的矩形是正方形；（）

②对角线相等的菱形是正方形；（）

③对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；（）

④对角线垂直平分且相等的四边形是正方形；（）

⑤四条边都相等的四边形是正方形；（）

四个角相等的四边形是正方形．（）

19．3梯形

（一）

学习目标

1．探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质和判定．

2．能够运用等腰梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养分析问题能力和计算能力．

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想．

学习重点：

等腰梯形的性质及判定的应用．

学习难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

【预习内容】（阅读教材第106至108页，并完成预习内容。

）

1.观察，p106图19.3-1，有你熟悉的图形吗？

它们有什么共同的特点？

2.梯形:

一组对边_______而另一组对边________的四边形叫做梯形．

（图2）

①一些基本概念（如图2）：

底、腰、高．（强调：

①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）

②S

=

（_______+________）×_____

梯形分类：

等腰梯形：

______________的梯形叫做等腰梯形．

直角梯形：

有一个角是_________的梯形叫做直角梯形．

3.等腰梯形：

（探索等腰梯形的性质）

如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC,AC,BD是它的对角线。

图中有哪些相等的线段？

有哪些相等的角？

这个图形是轴对称图形吗？

通过观察猜想

结论：

①等腰梯形是___________图形，过两底_________________是对称轴．

②等腰梯形两底_________,两腰__________.

③等腰梯形____________的两个角相等．

④等腰梯形的两条对角线_____________．

（自己完成③④两个性质的证明）

等腰梯形判定：

例1如图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD,使它们相交于点E.求证：

△EBC和△EAD都是等腰三角形。

等腰梯形判定定理：

____________两个角_______的梯形是等腰梯形。

【课堂练习】

1．如图，梯形ABCD中，BC//AD,DE//AB,DE=DC,∠A=100°,求梯形其它三个内角的度数。

2.完成p108的练习1-2.

【当堂检测】

1.如图，作梯形ABCD的高AE,DF，并利用此图证明“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形”。

2.一个等腰梯形，它的上、下底分别是5cm,11cm，高位4cm，计算它的周长和面积。

19.3梯形常用辅助线

（2）

学习目标：

会添加辅助线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题。

学习重点：

通过梯形性质的应用总结辅助线作法。

学习难点：

梯形辅助线的添加方法。

【预习内容】

1、梯形，等腰梯形，直角梯形的定义

2、等腰梯形的性质及判定方法。

【探究】

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。

因此梯形问题中，转化很重要。

（一）平移一腰

例1如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠B=40。

∠C=70。

求证：

AB+AD=BC

平行练习：

如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC,∠B=60。

AD=15cm,BC=49cm,.求它的腰长。

（二）过同一底两端作高

例2如图，在梯形ABCD中，∠B=45。

，∠C=60。

，AD//BC，AD＝3，DC＝6，求梯形的面积

平行练习：

如图，在等腰梯形ABCD中，CD//BA，AD=BC,若AD=5,CD=2,AB=8,求梯形的面积

（三）平移对角线

例3如图，等腰梯形ABCD的面积为100cm2，AB∥CD,AD=BC,且AC⊥BD,求梯形的高。

平行练习

已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC,对角线AC=BD

求证：

AD=BC

（四）延长两腰

例4如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠B=40。

∠C=70。

求证：

AB+AD=BC

平行练习

如图在梯形ABCD中,∠B=∠C，AD∥BC求证：

梯形ABCD是等腰梯形。