速算与巧算.docx

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速算与巧算

第一讲速算与巧算

（一）

一、加法中的巧算

（一）“凑整法”

1.什么叫“补数”？

　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

　　如：

1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，　5+5=10。

　　又如：

11+89=100，33＋67=100，　22+78=100，44+56=100，　55+45=100，

　　在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如：

87655→12345，46802→53198，87362→12638，…

2.什么是凑整法？

利用“补数”将加数凑成整十、整百、整千、整万…巧算加法的方法，通常称为“凑整法”。

3.凑整法的计算方法：

（1）互补数先加：

例1、巧算下面各题：

　　①36+87+64②99+136＋101③1361＋972＋639＋28

解：

①式=（36＋64）＋87　②式=（99＋101）＋136

　=100＋87=187=200+136=336

　　③式=（1361＋639）＋（972＋28）

　　=2000+1000=3000

（2）拆出补数来先加：

例2、①188＋873②548＋996③9898＋203

　　解：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）

　　＝200+861=1061

　　②式=（548-4）＋（996＋4）

　　=544+1000=1544

　　③式=（9898＋102）＋（203-102）

　　=10000+101=10101

（3）竖式运算中互补数先加：

　如：

二、减法中的巧算

1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

例4、①300-73-27②1000-90-80-20-10

　解：

①式=300-（73＋27）②式=1000-（90＋80＋20＋10）

　　＝300-100=200＝1000-200＝800

2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

例5、①4723-（723＋189）②2356-159-256

解：

①式=4723-723-189②式=2356-256-159

＝4000-189=3811＝2100-159

=1941

3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

例6、①506-397②323-189③467＋997④987-178-222-390

　解：

①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）=109

　　②式=323-200+11（把多减的11再加上）=123+11＝134

　　③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）　＝1464

　　④式=987-（178＋222）-390＝987-400-400+10=197

　　三、加减混合式的巧算

1.去括号和添括号的法则：

在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：

　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d

　　a-（b-c）＝a-b+c

例7、①100＋（10＋20＋30）②100-（10＋20+3O）③100-（30-10）

　　解：

①式=100＋10＋20＋30=160

　　②式=100-10-20-30=40

　　③式=100-30＋10＝80

例8、计算下面各题：

　　①100＋10＋20＋30　②100-10-20-30　③100-30＋10

解：

①式=100＋（10+20+30）　②式=100-（10＋20+30）　③式=100-（30-10）

=100＋60=160＝100-60=40=100-20=80

2.带符号“搬家”：

例9、计算325＋46-125＋54

解：

原式=325-125＋46+54

　＝（325-125）+（46＋54）

　=200+100＝300

（注意：

每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

）

3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉：

例10、计算9+2-9＋3

解：

原式=9-9＋2+3=5

4.找“基准数”法：

几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例11、计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

习题一

一、直接写出计算结果：

①1000-547②100000-85426

③11111111110000000000-1111111111④78053000000-78053

二、用简便方法求和：

①536+（541+464）+459②588＋264＋148

③8996＋3458＋7546④567+558+562＋555＋563

三、用简便方法求差：

①1870-280-520　②4995-（995-480）　③4250-294＋94　④1272-995

四、用简便方法计算下列各题：

①478-128+122-72②464-545＋99+345

③537-（543-163）-57　④947+（372-447）-572

五、巧算下列各题：

①996＋599-402②7443＋2485＋567＋245

③2000-1347-253+1593④3675-（11+13+15＋17＋19）

习题一解答

一、直接写出计算结果：

①1000-547＝453②100000-85426=14574

③11111111110000000000-1111111111＝11111111108888888889

④78053000000-78053＝78052921947

此题主要是练习直接写出“补数”的方法：

从最高位写起，其各位数字用“凑九”而得，最后个位凑10而得。

二、用简便方法求和：

①536＋（541＋464）＋459②588＋264＋148

＝（536+464）+（541＋459）　=588+（12+252）+148

=1000+1000＝（588＋12）+（252＋148）

=2000＝600+400

=1000

③8996＋3458＋7546

　=（8996＋4）＋（3454＋7546）

　=9000+11000（把3458分成4和=9000+110003454）＝20000

④567＋558+562＋555＋563

　＝560×5+（7-2+2-5+3）（以560为基准数）　

＝2800+5＝2805

三、用简便方法求差：

①1870-280-520②4995-（995-480）③4250-294＋94　④1272-995

＝1870-（280+520）=4995-995+480　　=4250-（294-94）=1272-1000+5　

=1870-800=4000+480=4250-200=277

＝1070=4480=4050

四、用简便方法计算加减混合运算：

①478-128＋122-72②464-545＋99＋345

=（478+122）-（128＋72）＝464-（545-345）+100-1

＝600-200=464-200＋100-1

＝400＝363

③537-（543-163）-57④947＋（372-447）-572

＝537-543＋163-57=947+372-447-572

=（537＋163）-（543+57）=（947-447）-（572-372）

=700-600　=500-200

=100　=300

五、巧算下列各题：

①996＋599-402=1193　②7443＋2485＋567＋245=10740

③2000-1347-253＋1593=1993④3675-（11+13+15+17+19）=3600

第二讲速算与巧算

（二）

一、乘法中的巧算

　　1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

　　5×2=10

　　25×4=100

　　125×8=1000

例1计算①123×4×25

　　②125×2×8×25×5×4

　　解：

①式=123×（4×25）

　　=123×100＝12300

　　②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）

　　=1000×100×10=1000000

　　2.分解因数，凑整先乘。

　　例2计算①24×25

　　②56×125

　　③125×5×32×5

　　解：

①式=6×（4×25）

　　=6×100=600

　　②式=7×8×125=7×（8×125）

　　=7×1000=7000

　　③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）

　　=1000×100=100000

　　3.应用乘法分配律。

　　例3计算①175×34＋175×66

　　②67×12+67×35＋67×52+6

　　解：

①式=175×（34+66）

　　=175×100=17500

　　②式=67×（12＋35＋52＋1）

　　＝67×100＝6700

　　（原式中最后一项67可看成67×1）

　　例4计算①123×101②123×99

　　解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123

　　＝12300＋123=12423

　　②式=123×（100-1）

　　=12300-123=12177

　　4.几种特殊因数的巧算。

例5一个数×10，数后添0；

　　一个数×100，数后添00；

　　一个数×1000，数后添000；

　　以此类推。

　　如：

15×10=150

　　15×100=1500

　　15×1000＝15000

例6一个数×9，数后添0，再减此数；

　　一个数×99，数后添00，再减此数；

　　一个数×999，数后添000，再减此数；…

　　以此类推。

　　如：

12×9＝120-12＝108

　　12×99＝1200－12＝1188

　　12×999＝12000-12=11988

例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

　　如：

6×5＝30

　　16×5＝80

　　116×5=580。

例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

　　如2222×11＝24442

　　2456×11＝27016

例9一个偶数乘以15，“加半添0”.

　　24×15

　　＝（24+12）×10

　　＝360

　　因为

　　24×15

　　＝24×（10+5）

　　＝24×（10＋10÷2）

　　=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

　　＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）

　　＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

　　25×25=2×（2+1）×100+25=625

　　35×35=3×（3+1）×100+25=1225

　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025

　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025

　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225

　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　二、除法及乘除混合运算中的巧算

　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11计算①110÷5②3300÷25

　　③44000÷125

　　解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）

　　＝220÷10=22

　　②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）

　　＝13200÷100＝132

　　③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）

　　＝352000÷1000＝352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54

　　＝864÷54×27

　　=16×27

　　=432

　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5

　　③2090÷24-482÷24

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

　　=18÷9＝2

　　②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

　　＝15÷5=3

　　③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

　　＝1608÷24＝67

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　＝（187-63-52）÷12

　　＝72÷12=6

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

　　a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷（28÷6）

　　④372÷162×54

　　⑤2997×729÷（81×81）

　　解：

①1320×500÷250＝1320×（500÷250）

　　=1320×2＝2640

　　②4000÷125÷8＝4000÷（125×8）

　　＝4000÷1000＝4

　　③5600÷（28÷6）=5600÷28×6

　　=200×6=1200

　　④372÷162×54=372÷（162÷54）

　　＝372÷3＝124

　　⑤2997×729÷（81×81）＝2997×729÷81÷81

　　＝（2997÷81）×（729÷81）＝37×9

　　＝333

习题二

　　一、用简便方法求积：

　　①17×100

　　②1112×5

　　③23×9

　　④23×99

　　⑤12345×11

　　⑥56789×11

　　⑦36×15

　　二、速算下列各题：

　　①123×25×4

　　②456×2×125×25×5×4×8

　　③25×32×125

　　三、巧算下列各题：

　　①15000÷125÷15

　　②1200÷25÷4

　　③27000÷（125×3）

　　④360×40÷60

　　四、巧算下列各题：

　　①11÷3＋4÷3

　　②19÷5-9÷5

　　③234×11+234×88

　　习题二解答

　　一、用简便方法求积：

　　①17×100=1700

　　②1112×5＝5560

　　③23×9=230-23=207

　　④23×99=2300-23=2277

　　⑤12345×11=135795

　　⑥56789×11=624679

　　⑦36×15=（36+18）×10＝540

　　二、速算下列各题：

　　①123×25×4=123×（25×4）＝12300

　　②456×2×125×25×5×4×8

　　=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）

　　=456000000

　　③25×32×125

　　＝（25×4）×（125×8）

　　=100000

　　三、巧算下列各题：

　　①15000÷125÷15＝15000÷15÷125=8

　　②1200÷25÷4=1200÷（25×4）=12

　　③27000÷（125×3）

　　＝27000÷3÷125＝9×（1000÷125）

　　=9×8=72

　　④360×40÷60＝360÷60×40＝240

　　四、巧算下列各题：

　　①11÷3+4÷3=（11＋4）÷3＝5

　　②19÷5-9÷5＝（19-9）÷5=2

　　③234×11＋234×88

　　=234×（11+88）＝234×99

　　＝234×100-234=23166