交通流理论第五章.docx
《交通流理论第五章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《交通流理论第五章.docx（34页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
交通流理论第五章
第五章连续交通流模型
如果从飞机上俯看某条高速公路，我们会很自然地把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。
正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。
我们知道，流体满足两个基本假设：
一是流量守恒，二是速度与密度（或流量与密度）对应。
对于交通流，其中第一个假设比较容易证明，而第二个假设的成立需要有一定的条件。
本章将推导交通守恒方程，介绍它的解析解法和数值解法，以此为依据还将介绍更精确的动态模型，并详细地讨论交通波理论。
第一节守恒方程
一、守恒方程的建立
守恒方程比较容易推导，可以采用下面的方法：
考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图5—1所示，两站间距为△x,两站之间没有出口或入口（即该路
段上没有交通流的产生或离去）。
图5—1用于推导守恒方程的路段示意图
设Ni为厶t时间内通过i站的车辆数，qi是通过站i的流量，△t为1、2站同时开始记数所持续的时间。
令△N=N2-N1,则有：
Ni/△t=q
N2/△t=cp
AN/At=Aq
如果△x足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量厶k可以表示如下：
ZNi）
x
式中（N2-Ni）前面之所以加上“-”号，是因为如果（N2—Ni）>0,说明从站2驶离的车辆数大于从站1驶入的车辆数，也就是两站之间车辆数减少，即密度减小。
换句话说，
△N与厶k的符号相反，于是：
kxN
冋时，根据流量的关系，有：
△qAt=AN
因此
qtkx
即
qk0
xt
假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷小，那么取极限可得:
」一0（5—1）
xt
该式描述了交通流的守恒规律，即有名的守恒方程或连续方程，这一方程与流体力学的方程有着相似的形式。
g（x,t）
如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式：
（5—2）
这里的g（x，t）是指车辆的产生（或离去）率（每单位长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。
、守恒方程的解析解法
守恒方程5—1和5—2可以用来确定道路上任意路段的交通流状态，它把两个互相依赖的基本变量一一密度k和流率q与两个相互独立的量一一时间t和距离x联系了起来。
但是，如果没有另外的附加方程或假设条件，对方程5—2的求解是不可能的。
为此我们把
流率q当作密度k的函数，即q=f（k）。
相应地u=g（k），这是一个合理的假设，但只有在平衡状态时才能成立。
下面介绍守恒方程的解析解法。
回到式（5—2）的求解。
考虑下面的基本关系式：
qku（5—3）
易知，如果在式（5—2）中u=f（k），我们将得到只有一个未知量的方程，可以对其解析求解。
针对一般情况的解析解法很复杂，实际应用起来也不方便。
为了简化求解过程，我们只考虑没有交通产生和离去的影响，即g（x，t）=0的情况，这样我们可以把守恒方程化为如
下形式：
kkkdfkk
—（ku）[kf（k）]f（k）k0（5—4）
xtxtxdkxt
dfkk
f（k）k0（5—5）
dkxt
应该指出的是f（k）可以是任一函数，没有必要特意构造条件使得结果通用，例如采用格林希尔治速度一密度线性模型，式（5—4）就变为：
uf2uf———k0（5-6）
kjxt
式中：
Uf——自由流速度；
kj――阻塞密度。
式（5—4）是一阶拟线性偏微分方程，可以通过特征曲线方法求出其解析解，具体的
解析解法例子将在后面介绍。
三、守恒方程的数值解法
根据前面的介绍，我们可以看出解析解法的主要缺点是推导过程中要求的条件过于简化，这包括简单的初始交通流条件、车辆的到达和离开模型、没有出口和入口、简单的流率一密度关系等。
更重要的是，在真实条件下经常遇到很复杂的情况，如存在转向车道和出入口匝道等等，因此要想求得精确的解析解是非常困难的。
通常对于可压缩流体的类似问题，可以通过对状态方程进行数值求解来解决。
该方法考虑到的情况包括在实际中可能遇到的复杂情况，即对真实到达和离开模型的处理、更复杂的u—k模型以及实验条件等。
数值计算思路如下：
首先把所要考虑的道路离散成若干很的路段厶x，并按连续时间增
量厶t来更新离散化的网络中每一节点的交通流参数值。
如图5—2所示，首先从空间上对路段进行离散化处理，然后再将时间离散，即:
T=n△t
T为观测周期，并满足下面的方程:
n11n,n、t’nn、tnn
kj-（kjikji）（qjiqji）（gj1gj1）（5—7）
22x2
式中：
k：
q；――在j路段，t=to+nAt时刻的密度、流量；
to——初始时刻；
Ax――时间和空间的增量，要求△x/At大于自由流速度；
gn――路段j在t=t0+nAt的净流率（产生率减去离去率）。
如果密度确定，在to+△t（n+1）时刻的速度由平衡态速度一密度关系获得，即：
n1n1
UjUe（kj）（5—8）
例如，对于格林希尔治线性模型有：
kn1
n1“kj、
UjUf（1—）（5—9）
kjam
式中：
Uf——自由流速度；
kjam――阻塞密度。
需要指出的是，式（5—8）适用于任何速度一密度模型，包括不连续模型；如果无法
获得u的解析表达式，那么可以从u—k曲线通过数值方法获得其数值解。
to+△t（n+1）
时刻的流率可从下面的基本关系式获得：
n1n1n1
qjkjUj（5—10）
数值解法所需的基本数据可以由检测设备获得。
数值解法的应用比较广泛，比较有代表性的应用是分析多车道交通流的动态特征。
四、多车道流体力学模型
1.模型设计
考虑一个同向2车道路段，如图5—3所示。
IL1
III
假定每一条车道都满足守恒方程，两车道之间车流的交换代表所研究车道的车辆产生和离去。
对每一车道分别写出守恒方程：
qi
x
q2
x
式中：
qi（x,t）――第i车道的流率（i=1
ki（x,t）――第i车道的密度（i=1
Qi（x,t）
-一车道交换率（i=1,2）（i车道之间的车辆变化率），正值表示进入，负值表小离开。
从上述条件可得：
Q1
[（k2
kJ（k2ok1o）]
（5—12）
Q2
[（k1
k2）（k1ok2o）]
这里是敏感系数，单位是时间的倒数，kio第i车道的平衡密度。
由于系统封闭，流量守
恒，因此很容易看出Qi+Q2=0。
2•模型改进
上面的模型并没有考虑入口或出口匝道引起的车辆产生或减少。
此外，当两车道密度相等时，如果平衡密度kiozk2o,根据这一模型判断将发生车辆改变车道的现象。
而事实上,
当两车道密度值相差不大时，车辆一般不会改道行驶。
因此，要想使这个模型更符合实际情况，必须对其加以改进，这可以从以下几个方面考虑：
1）敏感系数是可变的，它随
两车道之间密度的不同而不同；2）考虑进出口问题；3）考虑时间滞后影响。
这样，上面
的公式被修改为：
kA是恒定值，如果密度值低于它，车流将不变换车道;
塞密度。
在这个模型里假设在车道1车辆可以驶入或离开，该模型可以通过时间和空间离散数值求解。
图5—3中给出了包括一个入口匝道的两车道高速公路路段的空间离散过程，由此
求出的数值解是：
s――车辆在第i车道的第j节点进行车道变换所延迟的时段数；
――t=to+n△t时刻，第i车道，第j节点的密度，to是初始时间。
如果使用格林希尔治线性模型，则很容易证明Gi匕：
uf[（1kfj/kj）]。
随着计
算每一时间段的密度，流率q]1和速度ufj1可以从下面两式得到：
n1\
%（紀）
最后，在初始时期0wtwt（即当n—sw0时），可以假设in.s0,这意味着没有变换
i,j车道的现象发生。
我们可以将多车道模型扩展到多于两个车道的情况，如果I代表车道数，每一车道的一
般守恒方程是：
qi
式中：
Qi⑴,[%,x,t
i,j1{[ki1（x,t
对于所有的内侧车道，即对于
ki
Tgi
ki（x,t
ki（x,t
）
i=2,3，…,I-1,
Qi
）]
）]
gi
i=2,3,…，1
（5—19）
（ki1,0ki0）}
（ki1,0ki0）}
0，上式中：
i,j1
或者
0,
max
kjamkA
ki（x,t
ki（x,t
）kii（x,t
）kii（x,t
kA
kA,
ki（x,t）k「（x,t）
kA
上面的公式对最外侧和最内侧车道（即
们应该进行如下变换：
对于i=1，令i-1=i;对于i=l，令i+1=I,
按照前面的类似记法，式（5—19）
寸©11
i,j（k：
s,kin1sj）[（ki（kinj
nn
ki,jUi,j
i,j1=常量
i=1和i=I）也是适用的。
在这样的情况下，我
f（x,t）。
并且gi
1kn,j
n
gi,j
1）
式中：
Qu
G-j
（kin
sns、
ki1）
ns
11,jns
11,j
Ue（k-j）
kin1sj）[（k；
kinj
0,
总的求解结果是：
1）-（Gu1Gu
2x
扌（Qi；1
kinjs）kinjs）
kinjskin
s
1,j
1）
（5—20）
Qui）,i
1,2,,1
（ki1,0
（ki1,0
ki0）]
kio）]
sns
ki1,j
maxkjamkA
上面我们所讨论的模型并没有明显地包含车道宽度y这个因素，也就是说没有对y方
向进行空间离散。
由于我们已经把道路划分成了多条车道，所以y方向的空间离散是很自
然的。
原则上，一个二维空间模型能更准确地描述交通流行为。
下面是一个满足守恒规律的简单二维连续方程：
k
t
（烙
kA）,
ki?
kin1sj
（kUx）
x
式中X,
方向的分量（与道路中心线平行）的产生率。
由于上面的方程有三个未知量,
（kUy）
—g（x,y,t）
y
k=k（x,y,t）为交通流密度；Ux=ux（x,y,t）是速度向量沿x
（5—21）
y,t分别是空间和时间坐标；
；Uy=uy（x,y,t）是速度向量沿y方向的分量；g（x,y,t）是车辆
应该指出的是，在这个新方程里,
因此它必须和下面的两个状态方程联合起来求解：
UxUx（x,y,t）Ue（k）
UyUy（x,y,t）Ve（k）
密度代表每单位区域内的车辆数，例如阻塞密度定义为:
1
kjam
SxSy
式中：
Sx、Sy――分别代表x和y方向的最小车头间距。
式（5—21）的一般形式为：
kt（kUx）x（kUy）yg（5—22）
我们也可以采用数值解法对式（5—21）和式（5—22）求出数值解，Ue（k）和Ve（k）的
表达式也能得到。
至于有关的具体解法，读者可以参考相关专著，由于篇幅所限，这里不再详细介绍。
第二节动态模型
、交通流观测中的加速度
前一节中我们介绍的守恒方程解析解法，曾简单地把速度看成是密度的函数，即
uf（k），这使得求解析解变得简单了。
但实际情况告诉我们，交通流的平均速度U不可
能瞬时地跟随密度k发生变化，所以在动态交通条件下使用q（k）的稳态关系不能准确表示
q-u的动态过程。
事实上，驾驶员总是根据前方密度来调整车速的。
设交通流的速度为u,由数学的微分知识，我们知道有下面的式子成立：
udt
t
所以
（5—26）
qdqk
xdkx
这里Uwdq，此结论将在第三节中介绍。
dk
现在结合式（5—26）和式（5—1）:
（5—29）
（5—30）k
k的函数，由于平方项
x
dudukduk
（Uw）u
dtdkxdkx
duk
uwudkx
把式（5—28）代入到式（5—29）,得：
dudu2k
—k（—）—
dtdkx
式（5—30）表示观测车随着交通流行驶的加速度是密度梯度
dukk
恒为正，交通流观测中的加速度—取决于密度梯度—。
具体地说，当一>0,即前方密
dtxx
度趋于增大时，生<0,这意味着车流开始减速；当—<0，即前方密度逐渐变小时，虫>0，
dtxdt
这意为着车流开始加速。
这样，我们就从理论上证明了车流的加速和减速行为与车流前方
密度的关系。
、速度动态模型
研究表明，对于速度的调整，驾驶员要有一个反应过程，车辆本身的动力、传动装置等都要有一个调整时间，故车速的变化总比前方△x处密度的变化滞后一个时间T，即
地看作常数并且小于零，引入一个大于零的常数，即:
du
dk
同时把全导数:
du
u
dtx
t
代入式（5—32），得到：
u
u1
k
u[u（k）
u]
（5—33）
t
x
kx
这就是连续形式的速度动态模型。
对式（5—33）进行空间离散化处理（差分处理）
，即把道路划分为若干路段，
并假设
第i路段内交通情况保持一致，其交通流参数为q（t）、％（t），则有:
1uk*k*
Ui-[u（ki）Ui]—（Ui!
Ui）———-i=l,2,…（5—34）
iIki
其中△i为路段i的长度。
在动态情况下，△i宜选得尽量短一些，这样才能认为路段内部交通均匀，一般取为数百米至1km。
式（5—34）中最后一项引入了一个新的参数入，称为调整系数，这可以避免当ki很小时该项出现很大的不切实际的数值。
对采样周期进行时间离散化处理，得：
ui（j1）ui（j）uki（j）ui（j）ui（j）[ui1（j）ui（j）]
i
Tki,j）k（j）i=1,2,…；j=0,1,2，…（535）
iki（j）
式中T是周期长，j指第j采样周期。
式中右端第三项引入了一个调整系数E,这是为了便
于调整该项权重，使模型更容易适合实际的交通情况。
第二、四两项的权重可以通过适当
估计T
的值加以调整。
式（5—35）为实用的速度动态模型，它能够精确地描述道路交通流空间平均速度的动态变化，包括交通拥挤情况、交通从顺畅过渡到拥挤的过程以及由拥挤恢复到顺畅的过程。
式（5—35）还表明，在动态过程中，平均速度由四个方面决定：
（1）前一时刻的速度；
（2）平均速度要朝着稳态方向变化，即朝着与u[ki（j）]相一致的数值趋近，并且驾驶员
反应越快，这一作用越大；
（3）平均速度值与上游相邻路段中的速度有关；
（4）平均速度值与下游相邻路段内的交通流密度有关。
研究表明，上述模型对于车道数目单一、出入口匝道无太大进出流量冲击的公路，能够以令人满意的精确度描述各种不同交通状况以及相互间转变的过程、常发性与偶发性交通拥挤现象的出现及其消除过程。
但在车道数目有所改变或匝道流量较大的情况下，需要对模型加以扩展，即引入适当的修正项才能使用。
上述平均速度动态模型并没有充分反映匝道流量的影响。
事实上，匝道上的高流量不仅通过路段密度变化影响本路段及其上游相邻路段的平均速度，而且大量的进出车辆在临近匝道一带速度较低，又存在大量的交织行驶，这必然影响到干线的车流速度。
设t时刻在x点处存在侧向驶入、驶出项r、s（其中r=ri/Ai,ri为匝道流入率，s=si/△i,si为匝道流出率，r与s的单位为辆/h•km），设这些车辆速度为ue,低于干线车流速度u。
它们汇入或驶离干线车流时必然有个加速或减速过程，这会影响到干线车流的速度。
为
此，连续型速度模型式（5—33）应引入修正项：
k（UeU）U1
u
式（5—33）应修正为:
u1
u[u（k）x
（li
路段i+1车道数目减至li+i<|i，则车流从路段i进入路段i+1时，相当于增加了进口道，其流量为：
kig
第三节交通波理论
在实际的交通观测中，我们经常会发现交通流的某些行为非常类似于流体波的行为。
例如，图5—4是8车道路段过渡到6车道路段的半幅平面示意图。
由图可以看出，在4
车道的路段（即原路段）和3车道的路段（即瓶颈段），车流都是各行其道，比较有秩序。
而在由4车道向3车道过渡的那段路段，车流出现了拥挤、紊乱，甚至阻塞。
这是因为车流在即将进入瓶颈时会产生一个与车流运行方向相反的波，就类似声波碰到障碍物时的反射，或者管道内的水流突然受阻时的后涌那样。
这个波导致在瓶颈之前的路段上车流出现紊流现象，下面我们就来详细研究交通的波动行为。
图5—4瓶颈处的交通波现象
、交通波模型的建立
如图5—5所示，假设一条公路上有两个相邻的不同交通流密度区域（ki和k2），用垂
直线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为uw,并规定交通流按照图中箭头x正方向运行。
两种密度的车流运行情况
由q=ku可知:
qi=kiui
q2=k2U2
代入式（5—39），可以得到:
Uw
（5—40）
式（5—40）就是波速的计算公式，有时也写成：
q亠dq
Uw或Uw（5—41）
kdk
二、交通波模型的意义
交通波描述了两种交通状态的转化过程，Uw代表了转化的方向和进程。
Uw>0，表明波
面的运动方向与交通流的运动方向相同；Uw=O,表明波面维持在原地不动；Uw<0,则说明
波的传播方向与交通流的运动方向相反。
在图5—6a中，A、B两点代表两种交通流状态，
当这两种交通流状态相遇时，便产生交通波，其波速为AB连线的斜率。
图5-6b是在时
空坐标系中描述的交通波，明显可以看出交通波的含义。
b
图5-6交通波的含义示意图
由式（5—40）可知：
Uw>0,意味着:
前一种情况如图5—7a,后一种情况如图b所示。
图a表示交通流从低流量、低密度、高速度区进入到高流量、高密度、低速度区，但两种交通流界面向下游运动，即高密度区并未向上游扩展，如当两条4车道支路汇集到一条6车道主路时会出现这种状况。
图5-7b
表示的是交通流从高流量、高密度、低速度进入低流量、低密度、高速度区，下游交通状态变好，但因交通波向前运动，并不改善上游交通状态，如当交通流从一条6车道的主干
道分入两条4车道的支路时会出现这种状况。
图5-7e表示的是Uw=O的情形，此时只有q2=qi。
这是一种流量相同、速度和密度不同的两种交通流状态的转换，如当交通流量不大，道路有多车道变为少车道或反之，都会
出现这种状态。
此时的交通波发生在瓶颈处，瓶颈既不前移，也不后退。
当Uw<0时，意味着：
q2
qi
0
或
q2
qi
0
k2
ki
0
k2
ki
0
这两种情况都是交通波向后传播，前一种情况如图5-7c所示，交通流从高流量、低密度、
较高速度进入低流量、高密度、较低速度状态。
由于此时交通波向后运动，所以上游交通流状态将受到影响而变差，即较差的交通流状态将向上游扩展，如当交通流前方遇到阻碍时会出现这种情况。
后一种情况如图5-7d所示，这是一种交通流从高密度、低流量、低速
度状态进入到低密度、高流量、高速度状态的情形。
由于交通波向后运动，将对上游交通状况有所改善，如前方阻碍解除时会出现这种状况。
图5—7各种交通流状态下的交通波
、停车波和起动波
1.模型的变化
从第二章中我们已经知道速度和密度有一定的关系，还介绍了几种常用的速度一密度模型，下面我们就应用著名的格林希尔治线性模型进一步分析交通波模型。
已知格林希尔治线性模型的表达式为：
UiUf（1kj/kj）（5—42）
为了便于推导，我们把密度标准化，即令
ikj/kj，（5—43）
其中i为i车流的标准化密度，将式（5—43）代入式（5—42），有：
UiUf（11）和U2Uf（12）
其中Uf为自由流速度，1和2为分界线S两侧的标准化密度。
将以上关系代入式（5—39），得波速为：
用式（5—43）得到的1和2的关系式来简化式（5—44），可得：
UwUf[1（12）]（5—45）
式（5—45）是用标准化密度表示的波速公式，下面就利用该式分析交叉口车流由于交通
信号影响而产生的停车波和起动波现象。
2•停车波现假定车队以区间平均速度山行驶，在交叉口停车线处遇到红灯停车。
此时，k2=kj,
即2=1。
根据式（5—45）,有：
UwUf[1（11）]Uf1（5—46）
上式说明，由于停车而产生的波，以Uf1的速度向后方传播。
经过t秒以后，将形成
一列长度为Ufit的排队车队。
3•起动波
下面考察车辆起动时的情况。
当车辆启动时，心=灯也即1=1。
因为:
U2Uf（12）
代入式（5—45），得到：
UwUf[1（12）]
即
Uf2（ufU2）（5—47）
由于U2是刚刚起动时的车速，很小，同Uf相比可以忽略不记。
因此，这列排队等待车
辆从一开始起动，就产生了起动波，该波以接近Uf的速度向后传播。
四、交通波理论的扩展应用
考虑三个相邻的交叉口信号对交通流的影响。
假设三个交叉口信号的绿信比相同，红灯时长均为tr,忽略绿灯间隔时间，周期长均为C，绿灯起步时差为t。
，应用上述理论分
析交叉口间的交通流状态变化情况。
设交叉口n与n1间距离为x1，交叉口n与n1间
距离为X2，交通流初始平均速度为Uo，排队车辆的起动速度为u，初始时刻路段上的交通流处于平衡状态，其密度f（x）ko设为常数，交叉口n停车线位于xo处，t0时刻信号灯由绿灯变为红灯。
下面分别分析三个交叉口的情况。
1•孤立交叉口车辆运行状况的分析
（1）车辆在交叉口处排队过程的分析
以交叉口n为例，在t0时刻，k（x,0）f（x）ko,路段上各处密度相等，这是稀疏流的情况。
当交叉口n信号变为红灯时，车队在交叉口n形成停车波，其波阵面记为S1,而已经驶出停车线的车辆继续以原有速度u0行驶，按照前面的停车波分析。
在ttr时刻，一列长度为Uf1tr的车队停在X。
之后形成排队，如图5—8所示。
图5—8交叉口车辆的排队过程
（2）车队在交叉口处消散过程的分析
在trtc时刻，交叉口n信号变为绿灯，交叉口n排队车辆启动，形成起动波，其
波阵面记为
升级会员 