山西省大同市第一中学届高三数学模拟试题三理.docx

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山西省大同市第一中学届高三数学模拟试题三理

山西省大同市第一中学2020届高三数学2月模拟试题（三）理

一、选择题（每小题5分，共12小题）

1．若集合A{1,0,1,1,2}，集合B{y|y2x,xA}，则集合AB（）

2

A{111

{1,0,1}

．1,,1,2}

2

B．{0,2,1}C．{2,1,2}D．

2．已知复数z

2i（1i）3

，则z在复平面内对应点所在象限为（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．已知向量a（3,3）在向量b（m,1）方向上的投影为3，则a与b的夹角为

（）

A．30B．60C．30或150D．60或120

4．设l是直二面角，直线a在平面内，直线b在平面内，且a、b与

l均不垂直，则（）

A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行

C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行

-1

5．求1xcosxdx的值为（）

A．B．1

C．D．1

22

6．已知：

p:

1a1，q:

x1,1，x2ax20,则p是q成立的（）

2

A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充分必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件

7．如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球（小球落到每点的可能性均相同），则该球落在阴影部分的概率为

A．32

B．C．2

D．6

8888

8．在数列an中，a10，anan152n2nN*,n2，若数列bn满

足bna1（8）n，则数列b的最大项为（）

nn111n

A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项

9．已知函数f（x）3sinwxcoswx（w0）在区间上恰有一个最大值点

和一个最小值点，则实数的取值范围是（）

43

A．8,7

B．8,4

C．4,20

D．20,7

3

3

3

3

10．抛物

的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一

点，

，当取得最大值时，直线的斜率是（）

A．B．C．D．

11．已知在R上的函数fx满足如下条件：

①函数fx的图象关于y轴对称；

②对于任意xR，f2xf2x0；③当x0,2时，fxx；④函数

fnx

f2n1x，nN*，若过点（-1,0）的直线l与函数f4x的图象在

x0,2上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（）

A．0,8

B．0,11

C．0,8

D．0,19

11

8

19

8

12．已知Ax1,y1、Bx2,y2

是函数fxlnx与gx

x

k图象的两个不同的交

x2

点，则fx1x2的取值范围是（）

⎛e2

e

21

1

e2

A．ln,B．

ln,

C．0，

D．ln,0

2

ee

e

2e

二、填空题（每小题5分，共4小题）

—

13．已知函数f（x）lgmx2mxm3的定义域为R，则实数m的取值范围为

14．计算：

2sin503sin20

cos20

15．若ABC的三边长a，b，c满足b2c3a，c2a3b，则b

a

.

的取值范围为

⎨f（4e-x）,2e

16．已知f（x）lnx,0x2e

则实数m的取值范围是

，若方程f（x）mx0有2个不同的实根，

三、解答题

17．已知函数p:

f（x）

的值域是[0,），q:

关于a的不等式

a2（2m5）am（m5）0，若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围。

（12分）

18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为

的菱形，

BCD60，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，EF//AB，

FBFC，EF.

（1）求证：

OE平面ABCD；

（2）若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值.（12分）

19．某游戏棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现

在第n站的概率为Pn.（12分）

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望；

（2）证明：

PP1PP

1n98；

n1n

2nn1

（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.

20．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:

axbyc0和点P1x1,y1、

P2x2,y2，记ax1by1cax2by2c，若0，则称点P1,P2被直线l

分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1,P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.（12分）

（1）求证：

点A（1,2）、B（1,0）被直线xy10分隔；

（2）若直线ykx是曲线x24y21的分隔线，求实数k的取值范围；

（3）动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线.

21．已知函数f（x）1ax2x2a2lnx（a0）（12分）

2

（1）讨论f（x）的单调性.

（2）若f（x）存在两个极值点x，x，证明：

f（x1）f（x2）11.

12xxxx

1212

x1tcos,

⎩

22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为y1tsin（t为参数，0π），

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线

C的极坐标方程为2

4

1sin2

．（10分）

（1）当aπ时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

6

（2）已知点P1，1，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定PAPB的取值范围．

23．设函数fx

x2xa．（10分）

（1）当a1时，求不等式fx2的解集；

（2）当x,yR时，2fyfx2fy，求a的取值范围．

数学（理）模拟卷三答案

一．选择题

1---6CBACAA7----12CBBBAD

二．填空题

0,12

3,5

（1

13．514．115．43

16．,）

e

17.当命题p是真命题时，函数fx

的值域为0,，则

4a2120，

解得a或a；

解不等式a22m5amm50，即amam50，解得am5或am，所以，命题q:

am5或am.

则p:

a

m5

3，q:

m5am，

所以，

m

，解得m5

18

（1）证明：

取BC的中点H，连结OH、FH、OE，因为FBFC，所以FHBC，

因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，FH平面FBC，

所以FH平面ABCD，

因为H、O分别为BC、AC的中点，所以OH//AB且OH1AB23.

23

又EF//AB，EF，所以EF//OH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以OE//FH，所以OE平面ABCD.

（2）解：

因为菱形ABCD，所以OAOCOEFH2.

所以OA，OB，OE两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，

则A（2,0,0），B（0,23,0），C（2,0,0），E（0,0,2），

3

所以Q（1,0,1），

所以BC（2,

0），CQ（3,0,1），

3

设平面BCQ的法向量为m（x,y,z），

BC02xy0

由m得，

CQ03

m3xz0

取x1，可得m（1,3,3），

平面ABC的一个法向量为n（0,0,1），设二面角QBCA的平面角为，

则cos

mn

mn

3

13，

所以二面角QBCA的余弦值为313.

13

19

（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6，

3

PX3

1，PX4C13，

3

8

3

PX5C2

3，PX61.

3

8

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X

3

4

5

6

P

1

8

3

8

3

8

1

8

所以，EX314353619；

88882

（2）依题意，当1n98时，棋子要到第n1站，有两种情况：

由第n站跳1站得到，其概率为1P；

2n

可以由第n1站跳2站得到，其概率为1P.

2n1

所以，P

1P1P.

n1

2n2n1

同时减去P得PP1P1P

1PP

1n98；

nn1n

2n2

n1

2nn1

（3）依照

（2）的分析，棋子落到第99站的概率为P1P

1P，

99298

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有P1P.

297

100298

所以P100P99，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.

20.

（1）由题意得：

（211）（101）40,

A（1,2）、B（1,0）被直线xy10分隔；

（2）由题意得：

直线ykx与曲线x24y21无交点,

x24y21

ykx

整理得14k2x210无解,即14k20

k,11,,

22

又对任意的k,11,，点（1,0）和（1,0）在曲线x22y21上，满足

22

（k0）（k0）k20，所以点（1,0）和（1,0）被直线ykx分隔，

所求的k的范围是,11,.

22

（3）由题意得：

设M（x,y）,

x2（y2）2|x|1,

化简得点M的轨迹方程为x2（y2）2x21

对任意的y0R，点0,y0不是方程x2（y2）2x21的解

直线x0与曲线E没有交点,

又曲线E上的两点（1,2）和（1,2）对于直线x0满足1110,

即点（1,2）和（1,2）被直线x0分隔,

2a2

ax2x2a2

x（0,）

21.

（1）解：

f（x）ax1，.

xx

设p（x）ax2x2a2（x0），18a3

当a1时，0，p（x）0，则f（x）0，f（x）在（0,）上单调递增

2

当0a1时，，

2

p（x）

的零点为x1

2a，x22a，

1

18a3

所以f（x）在0,2a

，

2a,上单调递增

1

18a3118a3

f（x）在

2a2a

上单调递减

p（x）

118a3

当a0时，，

的零点为，

2a

f（x）在0,2a上单调递增，在2a,上单调递减.

（2）证明；由

（1）知，当0a1时，f（x）存在两个极值点

2

不妨假设0xx，则xx1

1212a

要证fx1fx21

1，只需证fxfx

x1x2x1x2

x1x2

xxxx12xxxx

12121221

只需证1xxaxx22a2lnx11xx

2a2lnx1x1x2

21212

x212

xxx

即证2a2lnx1x1x21xx，

2221

x2x2x1

212

设tx1（0t1），设函数g（t）2a2lntt1，g（t）t22a2t1，

x2tt2

因为4a440，所以t22a2t10，g（t）0，所以g（t）在（0,1）上单调递减，则g（t）g

（1）0

又1xx

0，则g（t）01xx

，则2a2lnx1x1x21xx

212

从而fx1fx2

x1x2

11

x1x2

212

x2x2x1

212

22．

（1）当a时，直线l的参数方程为

6

x1

tcos,6

x1

3t,

2.

1

y1tsin,

6

y1t,

2

消去参数t得x3y10.

由曲线C的极坐标方程为2

得2sin24，

4

1sin2.

将x2y22，及ysin代入得x22y24，

x2y2

42

（2）由直线l的参数方程为x1tcos,（t为参数，0）可知直线l是过点P

y1tsin,

x2y2

（-1，1）且倾斜角为

的直线，又由

（1）知曲线C为椭圆

1，所以易知点P（-1，

42

1）在椭圆C内，

x1tcos,

x2y2

将y1tsin,

代入

42

1中并整理得

1sin2t222sincost10，设A，B两点对应的参数分别为t1,t2，

则tt1

121sin2

所以PAPBt1t2

1

1sin2

因为0，所以sin20,1，

所以PAPBtt

11,1

121sin2

2

所以PAPB的取值范围为1,1.

2

3,x1,

23

（1）当a=1时，fx2x,1x2，

3,x2

可得fx2的解集为xx3

2

（2）当x,yR时，

2fy

fx2fy

fxfy2fxmaxfxmin2,

因为x2xa

x2xaa2，

所以a2a22.

所以a21，所以3a1.

所以a的取值范围是[-3，-1]