中考16讲苏科版数学第1讲一点的遐想.docx
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中考16讲苏科版数学第1讲一点的遐想
中考16讲苏科版数学第1讲一点的遐想
一、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
1.判断点P（a,a＋2）不在第几象限，并说明理由．
2.已知平面上点O（0,0），A（3,2），B（4,0），直线y＝mx－3m＋2将△OAB分成面积相等的两部分，求m的值．
3.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,2），点M的坐标为
（其中m为实数）．当PM的长最小时，m的值为________．
二、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
4.如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标、点B的横坐标如图所示．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过原点O的直线把△ABO分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式．
5.如图，在平面直角坐标系中，A（1,4），B（3,2），C（m,－4m＋20），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．
6.如图，已知在平面直角坐标系中，
ABCD的顶点A（0,0），C（10,4），直线y＝ax－2a－1将
ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0,0），A（0,6），B（4,6），C（4,4），D（6,4），E（6,0）．若直线l经过点M（2,3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数解析式．
8.已知：
平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
（1）问：
是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．
9.已知点D与点A（8,0），B（0,6），C（a,－a）是一平行四边形的四个顶点，求CD长的最小值．
10.先阅读下列材料，然后解决问题
在平面直角坐标系中，已知点P（m－1,m＋3），当m的值发生改变时，点P的位置也会发生改变．
为了求点P运动所形成的图象的解析式，我们令点P的横坐标为x，纵坐标为y，得到方程组
消去m得y＝x＋4，
可以发现，点P（m－1,m＋3）随m的变化而运动所形成的图象的解析式是y＝x＋4．
（1）求点Q（m,1－2m）随m的变化而运动所形成的图象的解析式；
（2）如图①，正方形ABCO，A（0,2），C（2,0），点P在OC边上从O向C运动，点Q在CB边上从C向B运动，且始终保持OP＝CQ，连接PQ，设PQ的中点为M，求M运动的路径长度；
（3）已知A（－2,0），B（4,0），C（0,m），以BC为斜边按如图②所示作Rt△PBC，使∠BPC＝90°，且tan∠BCP＝2，连接AP，问：
当m为何值时AP最短？
答案和解析
1.【答案】解：
一定不在第四象限.
若点在第四象限，则a＞0，a+2＜0，此时a无解，
∴点一定不再第四象限.
【解析】
【分析】
本题考查了平面直角坐标系中由点到坐标的确定，由坐标到点的确定.
【解答】
解：
一定不在第四象限.
若点在第四象限，则a＞0，a+2＜0，此时a无解，
∴点一定不再第四象限.
2.【答案】解：
∵直线y=mx-3m+2将三角形OAB分成面积相等的两部分
∴直线必经过OA中点C
∵OA的重点坐标C（
，1），将它代入y=mx-3m+2中得：
即
．
【解析】
此题考查三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出关于m的二次函数关系式．
【解答】
解：
，
∴当
时，PM长最小．
4.【答案】解：
（1）根据题意得，A（0，2），B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
∴
，
∴直线AB的解析式为
；
（2）设解析式为y=kx，过（0，0）和（2，1），
代入得，
．
【解析】
试题分析：
（1）把点A（0，2），B（4，0）代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值；
（2）当过0点作一直线交AB于一点，设出此点的坐标为（x，y），由题意建立x，y的关系式求出x和y的值，再设出y=kx，代入求出k，即可．
5.【答案】解：
∵OC恰好平分四边形OACB的面积，
∴对角线OC与AB的交点E是AB的中点，
∵A（1，4）,B（3，2），
∴E（2，3），
设OC所在的直线关系式y=kx，
得3=2k，解得，
，
所以OC所在的直线关系式为
；
由点C的坐标可知，点C在直线y=-4x+20上，
点C是直线
上一动点，
所以C是这两条直线的交点，
解得
.
故点C的坐标为
.
【解析】
本题考查了直线和四边形的关系，待定系数法求直线的解析式，两个一次函数的交点一，确定点C的位置是解决本题的关键.OC恰好平分四边形OACB的面积，则对角线OC与AB的交点E是AB的中点，可求得直线OC的解析式，由点C的坐标可知，点C在直线y=-4x+20上，列方程组求出的解即为点C的坐标.
6.【答案】解：
连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F
∵C（10，4），∴AF=10，CF=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AM=CM，即
=
，
∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠MEA=∠CFA=90°，
∴ME∥CF，∴∠AME=∠ACF，∠AEM=∠AFC，
∴△AME∽△ACF，
∴AMAC=AEAF=12，即E为AF的中点，
∴ME为△AFC的中位线，
∴AE=12AF=5，ME=12CF=2，
∴M（5，2），
∵直线y=ax-2a-1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y=ax-2a-1经过点M，
将M（5，2）代入y=ax-2a-1得：
a=1．
【解析】
本题主要考查了平行四边形的性质和用待定系数法求解一次函数.
连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由直线将平行四边形分成面积相等的两部分，得到此直线过平行四边形对角线的交点M，接下来求M的坐标，由平行四边形的对角线互相平分，得到M为AC的中点，再由ME与CF都与x轴垂直，得到ME与CF平行，可得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得三角形AME与三角形ACF相似，由M为AC的中点得到相似三角形的相似比为1：
2，可得E为AF的中点，由C的坐标得到AF与CF的长，又ME为三角形ACF的中位线，根据中位线定理得到ME为CF的一半，求出ME的长，由AE为AF的一半，求出AE的长，确定出M的坐标，把M的坐标代入直线方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
7.【答案】解：
延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，
∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．
∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，
∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，
∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分
又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，
∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
∴直线MN即为所求的直线L，
设直线l的解析式为y=kx+b，则2k+b=3，5k+b=2，
解得k=−
，b=
，
因此所求直线l的函数表达式是：
y=-
x+
，
故答案为y=-
x+
.
【解析】
本题考查了矩形的性质：
过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．也考查了待定系数法求直线的解析式．
延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，
由O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），
得到四边形OABC，四边形CDEF都为矩形，并且点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，则直线l还必须过N（5，2）点，
设直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式即可得出答案．
8.【答案】解：
（1）存在．
∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
∴OA=BC=5，BC∥OA，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，
作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，
∴EG=
=1.5，
∴E（1，2），F（4，2），
∴当
，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；
（2）如图2，
∵BC=OA=5，BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC+∠OAB=180°，
∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，
∴∠AOQ=
∠AOC，∠OAQ=
∠OAB，
∴∠AOQ+∠OAQ=90°，
∴∠AQO=90°，
以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，
∴点Q只能是点E或点F，
当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，
∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，
∴CF=OC，BF=AB，
而OC=AB，
∴CF=BF，即F是BC的中点．
而F点为（4，2），
∴此时m的值为6.5，
当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，
综上所述，m的值为3.5或6.5．
【解析】
（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，当
，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；
（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为（4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．
本题考查了圆的综合题：
熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长．
9.【答案】解：
有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，如图1：
那么有AB=CD=
=10；
②CD是平行四边形的一条对角线，如图2，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
在△DBN和△CAM中，
，
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
∴D（8-a，6+a），
由勾股定理得：
CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8a2-8a+100=8（a-
）2+98，
当
时，CD有最小值，是
，
∵
，
∴CD的最小值是
．
【解析】
本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．分两种情况讨论：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D（8-a，6+a），由勾股定理得：
CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8a2-8a+100=8（a-
）2+98，求出即可．
10.【答案】【答案】
解：
（1）∵点Q（m，1
2m），
∴令m=x，1-2m=y，
∴y=1-2x；
（2）∵C（2，0），
∴OC=2，
设P（t，0）（0≤t≤2），
∴OP=t，
∵CQ=OP，
∴CQ=t，
∵四边形OABC是正方形，
∴BC⊥x轴，
∴Q（2，t），
∵M是PQ的中点，
∴M（
，
），
令
=x，
=y，
∴y=x-1（1≤x≤2），
当x=1时，y=0，
∴M（1，0），
当x=2时，y=1，
∴M'（2，1），
∴MM'=
=
；
（3）如图2，在Rt△BPC中，tan∠PCB=
=2，
∴PB=2PC，
设P（a，b）（由题意知，ab≤0）
过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
∴E（a，0），F（0，b），∠PEB=∠PFC=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠PEB=∠PFC=90°，
∴△PEB∽△PFC，
∴
=2，
∴BE=2CF，PE=2PF，
∴|b|=2|a|，
∴b2=4a2，
∵A（-2，0），P（a，b），
∴AP2=（a+2）2+b2=a2+4a+4+b2=a2+4a+4+a2=5a2+4a+4=5（a+
）2+
，
∴a=-
时，AP最短，最短值为
，
∴b=-2a=
，
∴P（-
，
），
∴点P在第二象限，如图1所示
∵B（4，0），C（0，m），
∴BE=4-a=
，CF=m-
，
∵BE=2CF，
∴2（m-
）=
，
∴m=3．
【解析】
此题是一次函数综合题，主要考查了材料提供的信息的理解和应用，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出点P的横坐标是解本题的关键．
（1）直接利用材料提供的信息即可得出结论；
（2）先确定出点P，Q坐标，进而求出M的运动轨迹，即可得出结论；
（3）先确定出PE=2PF，进而求出AP，利用AP最短，求出a的值，进而求出b，即可求出m的值．
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