苏科版中考数学必考经典题学案-1.数与式问题.doc

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(苏科版)2020年中考数学必考经典题学案

专题1数与式问题

【方法指导】

1.实数运算:

(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.

(3)实数大小比较:

任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.

2.整式的化简求值:

先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.

常涉及到整体思想和乘法公式的灵活应用.

3.因式分解

(1)因式分解的方法:

提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等

(2)实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围(可用无理数的形式来表示),一些式子在有理数的范围内无法分解因式,可是在实数范围内就可以继续分解因式.

(3)因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:

根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入.

4.分式的化简求值问题:

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.分式化简求值时需注意的问题

(1)化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.

(2)代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.

5.二次根式的计算:

(1)在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“,多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“.

(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

(3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍

【题型剖析】

【类型1】实数综合计算

【例1】(2019•苏州)计算:

()2+|﹣2|﹣(π﹣2)0

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案.

【解析】原式=3+2﹣1=4.

方法小结:

本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算.

【变式1-1】(2019•宿迁)计算:

()﹣1﹣(π﹣1)0+|1|.

【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.

【解析】原式=2﹣11

【变式1-2】(2019•连云港)计算(﹣1)×2()﹣1.

【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解.

【解析】原式=﹣2+2+3=3.

方法小结:

本题考查了实数的运算法则,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂.

【变式1-3】(2019•盐城)计算:

|﹣2|+(sin36°)0tan45°.

【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果,

【解析】原式=2+1﹣2+1=2.

【类型2】:

整式的化简求值

【例2】(2019•南京)计算(x+y)(x2﹣xy+y2)

【分析】根据多项式乘以多项式的法则,可表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,计算即可.

【解析】(x+y)(x2﹣xy+y2),

=x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3,

=x3+y3.

故答案为:

x3+y3.

方法小结:

本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.

【变式2-1】(2019•建湖县二模)先化简,再求值:

(x﹣3)2+2(x﹣2)(x+7)﹣(x+2)(x﹣2),其中x2+2x﹣3=0.

【分析】原式利用完全平方公式,平方差公式,以及多项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,求出方程的解得到x的值,代入计算即可求出值.

【解析】原式=x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4=2x2+4x﹣15,

由x2+2x﹣3=0,得到x2+2x=3,

则原式=2(x2+2x)﹣15=6﹣15=﹣9.

【变式2-2】(2019•宜兴市二模)

(1)计算:

(3﹣π)0﹣()﹣2﹣tan30°

(2)化简:

(2a﹣b)2﹣(a﹣b)(4a﹣b)

【分析】

(1)根据零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值进行计算,再求出即可;

(2)先算乘法,再合并同类项即可.

【解析】

(1)原式=1﹣4

=﹣3;

(2)原式=4a2﹣4ab+b2﹣4a2+ab+4ab﹣b2

=ab.

【变式2-3】(2019•江都区一模)

(1)计算:

2cos45°+|1|(﹣2019)0

(2)化简:

(2+a)(2﹣a)+a(a﹣1)

【分析】

(1)先算三角函数值,去绝对值,根式化简和零指数,然后分数约分和去括号,最后合并同类二次根式.

(2)是整式加减乘除混合运算,平方差公式,再单项式×多项式,最后合并同类项.

【解析】

(1)原式═2

(1)﹣21

═1﹣21

═0

(2)原式═22﹣a2+a2﹣a

═4﹣a

方法小结:

(1)题考查了学生对实数运算的基本运算能力是否具有方向性,同时求三角函数值、零指数,无理数的估算,去绝对值、二次根式化简等放到实数运算中,让一部分学生计算中不知道怎样处理,这给课堂提出了更高的要求;第

(2)考查了整式的运算,学生只要理解整式运算顺序,才会计算此题,同时平方差公式的运用既体现多项式×多项式的法则通法通解,也体现了该公式特殊性.两个小题放在一起,既可以类比学习从熟悉的实数运算到式的运算,又为梯度式教学设计提供一个很好的教学素材模式.

【类型3】:

因式分解

【例3】(2019•苏州)因式分解:

x2﹣xy=  .

【分析】直接提取公因式x,进而分解因式即可.

【解析】x2﹣xy=x(x﹣y).

故答案为:

x(x﹣y).

方法小结:

此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.

【变式3-1】(2019•南京)分解因式(a﹣b)2+4ab的结果是  .

【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再利用公式法分解因式得出答案.

【解析】(a﹣b)2+4ab

=a2﹣2ab+b2+4ab

=a2+2ab+b2

=(a+b)2.

故答案为:

(a+b)2.

【变式3-2】(2019•无锡)分解因式4x2﹣y2的结果是(  )

A.(4x+y)(4x﹣y) B.4(x+y)(x﹣y)

C.(2x+y)(2x﹣y) D.2(x+y)(x﹣y)

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解析】4x2﹣y2=(2x+y)(2x﹣y).

故选:

C.

【变式3-3】(2019•广陵区校级二模)下列多项式因式分解的结果不含a﹣1的是(  )

A.a2﹣1 B.a2﹣a C.a2﹣a﹣2 D.a4﹣1

【分析】各项分解得到结果,即可作出判断.

【解析】A、原式=(a+1)(a﹣1),不符合题意;

B、原式=a(a﹣1),不符合题意;

C、原式=(a﹣2)(a+1),符合题意;

D、原式=(a2+1)(a+1)(a﹣1),不符合题意,

故选:

C.

方法小结:

此题考查了因式分解﹣十字相乘法,以及提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

【类型4】:

分式的化简求值

【例4】(2019•南通)先化简,再求值:

(m),其中m2.

【分析】先化简分式,然后将m的值代入计算.

【解析】原式

=m2+2m,

当m2时,

原式=m(m+2)

(2)(2+2)

=2﹣2

【变式4-1】(2019•淮安)先化简,再求值:

(1),其中a=5.

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可.

【解析】

(1)

()

=a+2,

当a=5时,原式=5+2=7.

【变式4-2】(2019•苏州)先化简,再求值:

(1),其中,x3.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x的值代入计算可得.

【解析】原式()•,

当x3时,

原式.

【变式4-3】(2019•盐城)【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:

第一次

菜价3元/千克

质量

金额

1千克

3元

1千克

3元

第二次:

菜价2元/千克

质量

金额

1千克

 2 元

 1.5 千克

3元

(1)完成上表;

(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)

【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜,乙每次买金额为n元的菜,两次的单价分别是a元/千克、b元/千克,用含有m、n、a、b的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价、,比较、的大小,并说明理由.

【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次.在没有水流时,船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p时(p<v),船顺水航行速度为(v+p),逆水航行速度为(v﹣p),所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1、t2的大小,并说明理由.

【分析】

(1)金额=单价×质量可求第二次甲的金额与乙的质量;

(2)利用均价=总金额÷总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价;

【数学思考】分别表示出、,然后求差,把分子配方,利用偶次方的非负性可得答案;

【知识迁移】分别表示出、,然后求差,判断分式的值总小于等于0,从而得结论.

【解析】

(1)2×1=2(元),3÷2=1.5(元/千克)

故答案为2;1.5.

(2)甲两次买菜的均价为:

(3+2)÷2=2.5(元/千克)

乙两次买菜的均价为:

(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克)

∴甲两次买菜的均价为2.5(元/千克),乙两次买菜的均价为2.4(元/千克).

【数学思考】,

∴═0

【知识迁移】t1,t2

∴t1﹣t2═

∵0<p<v

∴t1﹣t2<0

∴t1<t2.

【类型5】:

代数计算的创新考法

【例5】(2019•宿迁模拟)若2019个数a1、a2、a3、…、a2019满足下列条件:

a1=2,a2=﹣|a1+5|,a3=﹣|a2+5|,…,a2019=﹣|a2018+5|,则a1+a2+a3+…+a2019=(  )

A.﹣5040 B.﹣5045 C.﹣5047 D.﹣5051

【分析】通过前面几个数的计算,根据数的变化可得出从第3个数开始,按﹣2,﹣3依次循环,按此规律即可得出a1+a2+a3+…+a2019的值.

【解析】依题意,得:

a1=2,

a2=﹣|2+5|=﹣7,

a3=﹣|﹣7+5|=﹣2,

a4=﹣|﹣2+5|=﹣3,

a5=﹣|﹣3+5|=﹣2,

a6=﹣|﹣2+5|=﹣3,

……

由上可知,这2019个数a1、a2、a3、…、a2019从第三个数开始按﹣2,﹣3依次循环,

故这2019个数中有1个2,1个﹣7,1009个﹣2,1008个﹣3,

∴a1+a2+a3+…+a2019=2﹣7﹣2×1009﹣3×1008=﹣5047,

故选:

C.

【变式5-1】(2019•徐州二模)如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图形中“•”的个数为a1,第2幅图形中“•”的个数为a2,第3幅图形中“•”的个数为a3,…,以此类推,则的值为  .

【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律,进而求出即可.

【解析】a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2);

(1)()

故答案为:

【变式5-2】.(2019•莘县一模)图

(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图

(2)、(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,第六个叠放的图形中,小正方体木块总数应是  .

【分析】可用逐条分析的方法,从最高的那条开始计数.根据所给图形可知,从上到下逐层条是添加四个小正方体,通过计算得出结果.

【解析】根据题意可得知:

(1)中有1×1=1个小正方体;

(2)中有1×2+4×1=6个小正方体;

图(3)中有1×3+4×2+4×1=15个小正方体;

以此类推第六个叠放的图形中,小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1=66个.

故答案为:

66.

方法小结:

此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力.注意此题中第六个叠放的图形中,小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1=66个.

【变式5-3】(2019•临清市一模)在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例:

作一个正方形,设每边长为4a,将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为a的小正方形,得到图形如图

(2)所示,称为第一次变化,再对图

(2)的每个边做相同的变化,得到图形如图(3),称为第二次变化.如此连续作几次,便可得到一个绚丽多彩的雪花图案.如不断发展下去到第n次变化时,图形的面积是否会变化,  (填写“会”或者“不会”),图形的周长为  .

【分析】观察图形,发现对正方形每进行1次分形,周长增加1倍;每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形,即面积不变.

【解析】周长依次为16a,32a,64a,128a,…,2n+4a,即无限增加,

所以不断发展下去到第n次变化时,图形的周长为2n+4a;

图形进行分形时,每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形,即面积不变,是一个定值16a2.

故答案为:

不会、2n+4a.

【达标检测】

一.选择题(共10小题)

1.(2019•南通)下列计算,正确的是(  )

A.a2•a3=a6 B.2a2﹣a=a C.a6÷a2=a3 D.(a2)3=a6

【答案】D

【解析】∵a2•a3=a5,

∴选项A不符合题意;

∵2a2﹣a≠a,

∴选项B不符合题意;

∵a6÷a2=a4,

∴选项C不符合题意;

∵(a2)3=a6,

∴选项D符合题意.

故选:

D.

2.(2019•常州)下列各数中与2的积是有理数的是(  )

A.2 B.2 C. D.2

【答案】D

【解析】∵

(2)

(2)=4﹣3=1;

故选:

D.

3.(2019•常州)若代数式有意义,则实数x的取值范围是(  )

A.x=﹣1 B.x=3 C.x≠﹣1 D.x≠3

【答案】D

【解析】∵代数式有意义,

∴x﹣3≠0,

∴x≠3.

故选:

D.

4.(2019•泰州)若2a﹣3b=﹣1,则代数式4a2﹣6ab+3b的值为(  )

A.﹣1 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】4a2﹣6ab+3b,

=2a(2a﹣3b)+3b,

=﹣2a+3b,

=﹣(2a﹣3b),

=1,

故选:

B.

5.(2019•南京)实数a、b、c满足a>b且ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是(  )

【答案】A

【解析】因为a>b且ac<bc,

所以c<0.

选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的对应点位置可以是A.

选项B不满足a>b,选项C、D不满足c<0,故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D.

故选:

A.

6.(2019•镇江一模)小明根据右表,作了三个推测:

x

2

1

2

10

1.1

1000

1.001

10000

1.0001

(1)2(x>0)的值随着x的增大越来越小;

(2)2(x>0)的值有可能等于1;

(3)2(x>0)的值随着x的增大越来越接近于1;

则推测正确的是(  )

A.

(1)

(2) B.

(1)(3) C.

(2)(3) D.

(1)

(2)(3)

【答案】B

【解析】22﹣

(1)=1,

(1)当x>0时,会随着x的增大而减小.

所以,1会随着x的增大而减小,故

(1)对;

(2)不为0,故,1的值不可能等于1,故

(2)不对;

(3)又因为当x>0时,0,所以11,且会随着x的增大而越来越接近1,故正确.

故选:

B.

7.(2019•鼓楼区校级模拟)甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行,在C地相遇后,甲又经过t1小时到达B地,乙又经过t2小时到达A地,设AC=S1,BC=S2,那么t1:

t2等于(  )

A.S1:

S2 B.

C.S2:

S1 D.

【答案】D

【解析】设甲的速度为v甲,乙的速度v乙,

由相遇时的时间相同,可得,即,

∴t1:

t2S22:

S12.

故选:

D.

8.(2019•相城区校级二模)下列运算中,正确的是(  )

A.3 B.(a+b)2=a2+b2

C.()2(a≠0) D.a3•a4=a12

【答案】C

【解析】(﹣3)3=﹣27,负数没有平方根,故A错误;

(a+b)2=a2+2ab+b2,故B错误;

()2,故C正确;

a3•a4=a7,故D错误.

故选:

C.

9.(2019•宿迁三模)若(2x+1)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a0+a2+a4的值为(  )

A.82 B.81 C.42 D.41

【答案】D

【解析】令x=1,得34=a0+a1+a2+a3+a4,①

令x=﹣1,得1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4,②

①+②得:

2(a0+a2+a4)=82,

则a0+a2+a4=41,

故选:

D.

10.(2019•昆山市一模)若2x﹣3y2=3,则1﹣xy2的值是(  )

A.﹣2 B. C. D.4

【答案】B

【解析】∵2x﹣3y2=3,

∴xy2,

则原式=1﹣(xy2)

=1

故选:

B.

二.填空题(共10小题)

11.(2019•海州区校级模拟)某市在一次扶贫活动中,共捐款21900000元,将2190000科学记数法表示为  .

【答案】2.19×106.

【解析】2190000=2.19×106,

故答案为:

2.19×106.

12.(2019•工业园区校级二模)当x=1时,代数式ax3+bx+1的值为5,则代数式4﹣a﹣b的值=  .

【答案】0

【解析】由题意得,a+b+1=5,

∴a+b=4,

当a+b=4时,

原式=4﹣(a+b)

=4﹣4

=0.

故答案为0.

13.(2019•常熟市二模)若a+b=4,a﹣b=1,则(a+2)2﹣(b﹣2)2的值为  .

【答案】20

【解析】∵a+b=4,a﹣b=1

∴(a+2)2﹣(b﹣2)2=[(a+2)+(b﹣2)][(a+2)﹣(b﹣2)]=(a+b)(a﹣b+4)=4×(1+4)=20

故答案为:

20

14.(2019•建邺区校级二模)计算()2的结果是  .

【答案】.

【解析】原式2

2

故答案为.

15.(2019•玄武区二模)分解因式(a﹣b)(a﹣9b)+4ab的结果是  .

【答案】(a﹣3b)2.

【解析】(a﹣b)(a﹣9b)+4ab

=a2﹣9ab﹣ab+9b2+4ab

=a2﹣6ab+9b2

=(a﹣3b)2.

故答案为:

(a﹣3b)2.

16.(2019•兴化市二模)已知:

a﹣b=b﹣c=1,a2+b2+c2=2,则ab+bc+ac的值等于  .

【答案】﹣1.

【解析】∵a﹣b=b﹣c=1,

∴a﹣c=2,

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac)[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]=3,

∴ab+bc+ac=a2+b2+c2﹣3=2﹣3=﹣1;

故答案为:

﹣1.

17.(2019•常州一模)已知分式的值为2,且y≠﹣1,则分式的值为  .

【答案】2

【解析】,

3x=2x+2y,

x=2y,

∴原式2,

故答案为:

2.

18.(2019•高邮市一模)对于每个正整数n,设g(2n)表示2+4+6+…+2n的个位数字.如:

当n=1时,g

(2)表示2的个位数字,即g

(2)=2;当n=2时,g(4)表示2+4的个位数字,即g(4)=6;当n=4时,g(8)表示2+4+6+8的个位数字,即g(8)=0.则g

(2)+g(4)+g(6)+…+g(2022)的值为  .

【答案】2022.

【解析】g

(2)=2,

g(4)=6,

g(6)=2,

g(8)=0,

g(10)=0,

从10以后,每5组就是一组循环,

∵g

(2)+g(4)+g(6)+g(8)+g(10)=10,

又∵g

(2)+g(4)+g(6)+…+g(2022)有202组余下g(2022),

根据规律可得g(2022)=2,

∴g

(2)+g(4)+g(6)+…+g(2022)=202×10+2=2022.

故答案为2022.

19.(2019•姑苏区校级二模)已知x+y=2,则5﹣x﹣y的值是  .

【答案】3

【解析】∵x+y=2,

∴5﹣x﹣y=5﹣(x+y)=5﹣2=3.

故答案是:

3.

20.(2019•徐州二模)如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形.第1幅图形中“•”的个数为a1,第2幅图形中“•”的个数为a2,第3幅图形中“•”的个数为a3,…,以此类推,则的值为  .

【答案】

【解析】a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2);

(1)()

故答案为:

三.解答题(共6小题)

21.(2019•建湖县二模)先化简,再求值:

(x﹣3)2+2(x﹣2)(x+7)﹣(x+2)(x﹣2),其中x2+2x﹣3=0.

【答案】﹣9

【解析】原式=x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4=2x2+4x﹣15,

由x2+2x﹣3=0,得到x2+2x=3,

则原式=2(x2+2x)﹣15=6﹣15=﹣9.

22.(2019•宜兴市二模)

(1)计算:

(3﹣π)0﹣()﹣2﹣tan30°

(2)化简:

(2a﹣b)2﹣(a﹣b)(4a﹣b)

【答案】

(1)﹣3;

(2)=ab.

【解析】

(1)原式=1﹣4

=﹣3;

(2)原式=4a2﹣4ab+b2﹣4a2+ab+4ab﹣b2

=ab.

23.(2019•宿豫区模拟)计算:

﹣12020()﹣2﹣2sin60°.

【答案】1

【解析】原式=﹣1﹣

(2)+4

=﹣1﹣24

=1

24.(2019•海陵区校级三模)

(1)计算:

|﹣1|

(2)化简:

【答案】

【解析】

(1)原式=11+4

=11+2

(2)原式[]

[]

=a.

25.(2019•工业园区校级二模)先化简,再求值:

,其中x=﹣3+2.

【答案】.

【解析】原式•

当x=﹣3+2时,

原式

26.(2019•宿豫区模拟)先化简,再求值:

(x﹣1),其中x的值从不等

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