教育教学论文提高的小学数学课堂教学效率的建议二几何直观解读.docx

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教育教学论文提高的小学数学课堂教学效率的建议二几何直观解读

提高小学数学课堂教学效率的建议

（二）

——几何直观解读

一、为什么要解读几何直观？

2011版数学课程标准将“几何直观”从2001版数学课程标准中的核心概念空间观念中分离出来，作为一个单独的核心概念出现，足以体现它数学学习中的价值，也可以说几何直观是一种导向。

它在数学学习的各个领域，不仅是在“图形与几何”领域，在“数与代数”、“统计与概率”、“综合与实践”几个领域同样有着广泛的应用。

几何直观作为分析问题的主要手段，很多老师对它并不熟悉，或者说它得不到应有的重视。

这里面的主要表现主要有两点，一是一些青年教师总感觉课堂教学容量小，没什么可讲的，单纯从知识的角度来说，相当一部分学生确实不讲也会了，导致这些教师常常用四五分钟就完成了新知教学，剩余的大部分时间，用来机械训练；二是学生对解决问题的办法盲从，只能从记忆的角度解决问题，经常强迫学生背概念、背法则、背数量关系，完全用规律解决问题，比如说解决问题时见到一共就加，见到还剩就减，……这样的办法，在短期内应付确实效果也不错，甚至成绩会更加理想，但从长远的角度分析，这样的数学课学生缺乏真正的数学体验，缺乏真正的数学思考，缺乏数学思想的渗透，学生无法形成科学的数学能力，甚至对对后继学习会造成负迁移的隐患。

二、什么是几何直观？

《2011年版课程标准》中明确指出：

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

”

其中的第一句话对几何直观进行了描述性的说明。

虽然不是严谨的数学概念，但从数学的角度来说，这样的描述足够了。

小学数学的许多概念都是采用这种方式呈现的，比如说是周长的概念，什么是周长不重要，重要的是能够找到实际物体的周长，知道周长的本质是用尺量长度，让学生能够在求周长时不和面积混淆就可以了。

结合字面的理解，你能找到教材中的几何直观吗？

（打开电子教材）这页中哪里用到了几何直观呢？

谁能来帮我找一下？

（找教师来找）。

大家能够找到在书中找到应用几何直观的例子，证明大家心里已经明白了什么是几何直观，概念的问题我就不再做过多纠缠。

只强调两点：

一是所谓直观，字面意义是“直接的观察”，通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识”，即人们在实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映，并不仅指视觉，各种感官及其协同活动获得感性认识都可以称做是直观。

二这里面的“几何”所包含的范围不仅仅是规范的几何图形。

也包括实物及其他的符号。

三、几何直观的表现形式

2011版数学课程标准的编写者史宁中教授认为：

在小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：

一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。

1.实物直观，即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在的物体，并以这些物体作为参照物，借助实际物体与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断的一种能力。

实物直观演示可以是实际存在物，也可以借助小棒等辅助的实物直观演示。

低年级学生，尤其是一年级学生以具体形象思维为主要形式，较多采用动作表征，教学时常用实物直观演示来感知从而理解算理。

 人教版一年级上册《20以内进位加法》，学生用小棒、圆片等实物操作来感知“凑十”的过程和方法，进而理解“凑十”的算理。

如《9加几》的教学9+4，出示格子图（空白）。

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○○○○

学生同桌合作在格子里面摆9个圆片，外面放4个圆片。

学生通过观察，动手“拿”，从外面拿1个放进格子里，这样格子里就“凑”成10个圆片，外面还有3个，“合”起来就是13个圆片。

在“拿”的基础上提升，把4分成1和3,1和9凑成10,10加3是13。

最后学生用语言来描述“拿、凑、合”的过程。

此时，学生能很好的理解“凑十”的含义，从而掌握“凑十法”。

 2.简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。

例如，除法竖式就是一种常见的简约的、符号化的直观图示。

这种简约符号直观是经过一定的数学抽象而形成的，与现实生活原型相比，具有一定程度的抽象性。

它实际上是在人们分物体的过程中逐渐抽象出来的，记录的是分物体的过程。

比如52÷2

3.图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。

下图就是乘法分配律（a+b）·c=a·c+b·c的直观图形。

凭借下面的几何直观图，学生可以轻松自如地理解（a+b）·c=a·c+b·c。

a+b求的是两个长方形合成的大长方形的长，这个大长方形有长乘宽等于大长方形的面积，a·c求的是左边的长方形的面积，b·c求的是右边的长方形的面积，两者相加求的也是大长方形的面积，大长方形的面积是一定的，所以（a+b）·c=a·c+b·c。

学生借助上面的图形学习乘法分配律要比死记硬背公式的效果要好得多。

ab

c

4.而替代物直观则是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可能依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，也可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。

计数器是最小学最常见的替代物直观。

 四、培养几何直观能力的作用

 1. 几何直观能够帮助学生更好地理解数学

 几何直观在数学中无处不在。

数学家依赖几何直观推动对数学的思考，加强对数学的理解。

几何直观能利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，是理解数学的有效渠道。

例如，借助函数图像理解正反比例的含义，借助数轴理解小数的精确程度，借助“三角形的周长”理解加法交换律，借助网络图理解单元知识，借助简笔画理解鸡兔同笼问题中假设法的含义。

2.几何直观能够帮助学生感悟数学美

 数学美，不仅美在抽象简约，也美在直观多姿，而几何直观能够充分凸显其结构美。

培养学生几何直观能力，不仅能提高学生学习数学的基本素养，而且可以将几何美的直观、对称、奇异、统一等特征融入整个教学过程中，使学生在美的享受中发现知识、理解知识，在潜移默化中感受数学美。

例如，利用直观感悟圆的对称美、理解圆的基本结构和性质；利用几何直观让学生感悟、发现美，如借助正方形或三角形计算1+3+5+7+9+……，利用直观理解直柱体体积公式的统一美，感受数学的普遍联系。

 3.几何直观能够培养学生科学的思维方式

 数学抽象概念发展的“直观—形式—直观”模式，是一般科学概念发展的“具体—抽象—具体”模式的特殊表现形式。

几何直观具有原始的创造性。

数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返璞归真，这正是数学发展的辩证过程。

正是形式化与直观化之间的矛盾运动推动了数学的发展。

数学教学应该借助几何直观、几何解释启迪学生思路，利用直观背景或者几何直观帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，为学生创造主动思考的机会。

几何直观能使学生借助直观图，从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，使学生在感性认识与理性思考的相互作用与相互矛盾中形成数学观。

直观本身不是目的，而是手段。

对于学生的数学学习而言，用图形说话、用图形描述问题、用图形讨论问题等，就是为了形成生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。

4.几何直观能够培养学生的创造性思维

 几何直观是数学推理的基础。

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用。

从创造力来看，直观能引出数学发明，能决定理论的形式和研究方向；从数学证明上看，直观常常提供证明的思路和技巧，有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。

数学家总是力求把他们研究的问题变成几何直观问题，使他们成为数学发现的向导。

在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。

如，利用平面图形认识分数的乘法，借助韦恩图理解重叠问题等。

所谓的“看”是一种直接判断，是建立在长期有效的观察和思考的基础之上的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。

因此，在数学教学中保护学生先天的几何直观的潜质，培养和不断提高学生的几何直观水平，就成为数学教育的一个重要的价值追求。

五、培养学生的几何直观的基本策略

1.发展空间观念，夯实几何直观的基础

前面已经提到，2011版课程标准中的“几何直观”这个核心概念是从2001版课程标准中的核心概念“空间观念”中分离出来的。

2001版课程标准对空间观念的描述是这样的：

能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

其中2011版的几何直观这个核心概念就是从2001版课程标准中“空间观念”这个核心词解读的最后一句话“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

”中分离出来的，这种分离强调，不但说明了几何直观的重要，同时它也说明了几何直观是更高级别的空间观念，是空间观念的延续和发展。

空间观念也就成了几何直观发展的基础。

空间观念的建立对于几何直观具有直接的作用。

所以，要想培养好小学生的几何直观，就先要帮助学生形成基本的空间观念，再进而发展成为几何直观能力。

例如：

（1）学校长方形植物园原来长20米，宽15米，扩建后长增加5米，宽增加3米，扩建后面积增加多少平方米？

（2）会场原来每排20座，有15排，扩建后每排增加5座，增加3排，扩建后共增加多少座位？

（3）原计划买20只皮球，每只15元。

实际每只涨价3元，且多买5只，实际比计划多花多少元？

表面上看三道题风马牛不相及，但细一分析，三道题虽然情节内容各异，但它们的数量关系（数学模型）相同，都能用长方形表示（如图）。

都可以看成是组合图形面积的计算问题，学生借助几何直观，通过迁移能够将后两道题与第一题联系起来，科学合理地解决问题。

如果我们把这三道题联系到一起，我们很明显地可以看出，其中的第一道题的几何图形是学生解决后两道题的思维基础。

2.培养学生画图能力，提高几何直观水平。

几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。

图形应该是几何直观的开始和最终归宿，因此，要想帮助学生形成有效的几何直观能力，培养学生的画图能力起着至关重要的作用。

怎样形成学生的画图能力呢？

个人认为无外乎以下三点：

（1）在教学中激发学生画图的兴趣

几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，因此学生掌握一定的画图能力必不可少。

在低年级数学中，学生年龄偏小，识字量较少，孩子们都爱把生活中复杂的人和事用简单的图表达出来。

因此在教数学的运算时我注重让孩子们用画图来表示，并结合图表达出自己的理解。

一方面培养学生倾听的能力，又激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。

（2）在教学中教给学生画图的技巧

几何直观中的画图是一个广义的概念，它的内容比较宽泛，不仅包括基本的几何图形，还包括：

线段图、方形图、模型图、集合图、关系图、示意图、替代图 、表格等。

学生掌握基本的绘图技巧需要一定的时间和过程，教师在日常的教课活动要循序渐进地教给学生基本的绘图技巧，帮助学生逐步地形成画图的技能。

比如说在教学《倍的认识》时，可以经历由实物图到替代图，再到示意图、最后再到线段图培养过程。

开始时学生一般采用摆一摆、画一画、圈一圈的方法来理解倍的含义，逐渐发展成用线段来表示题里的数量关系，这应该是学生接触线段图的开始，这个时候我们一般要教给学生画线段图的基本方法。

如解决“小明得了5朵红花，小光得到的红花的朵数是小明的3倍。

小光得了多少朵红花？

”时，学生一般会完成这样的图画，第一行画5朵花，第二行画3个5朵，我们就可以讲解，像这样的问题我们还可以这样画：

先用1厘米长的线段表示小明的红花，范画出来，再指着线段问，这是谁的红花，是几朵红花？

那小光的红花朵数该怎样表示呢？

引导学生尝试后做出指导，我们可以用3厘米长的线段来表示小光的红花，1厘米代表5朵红花，3厘米里面有3个1厘米，从解决问题的角度来说这里面的3厘米也就是3个5朵，需要用乘法解决问题。

如果学生能将图形到上面描述的程度，解决问题对学生来说应该是一件水到渠成的事情。

但学生形成上面的能力需要一个往复的长期的过程。

（3）是在教学中养成良好的画图习惯

几何直观是具体的，它与许多重要的数学内容紧密相连，如分数的认识，除法的认识等。

作为教师要从思想上认识到它的重要性，并把它当作是最基本的能力去培养学生。

在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。

在教学中要通过多种途径和方式使学生真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的益处。

要求学生解决问题时能画图的尽量画图，将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。

3.关注数形结合思想，发展几何直观。

华罗庚写了一首小词：

“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！

”这首词形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值。

其实质是把数学问题中的运算、数量关系与直观图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，从而顺利、有效地解决问题。

小学数学教学中，应特别注重数形结合思想的渗透，从而更好地发展学生的几何直观能力。

（1）在低年级运算教学中，借助数射线将抽象的“数”直观形象化，有助于理解运算，将运算直观形象化。

例如：

“加法”就是在数射线上继续向右数；“减法”就是在数射线上先找到“被减数”，然后再向左数；“乘法”就是在数射线上几个几个地向右数；“除法”就是在数射线上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”，就产生了余数，数射线是理解“有余数除法”的形象化载体。

（2）在解决问题教学中，借助线段图等将抽象的数量关系直观形象化，有助于理解抽象的数量关系。

例如：

一桶油连桶重15千克，吃了一半油以后，连桶重8千克。

吃掉了多少千克油？

满桶油重多少千克？

人民广场花圃中有180盆菊花，比月季花盆数的3倍少15盆，月季花有多少盆？

（3）在分数及其运算的教学中，借助“面积模型”将抽象的思维过程直观形象化，有助于对分数意义的透彻理解，既知其然又知其所以然。

如在《分数的大小比较》教学中，充分利用分数的直观图（图1），将数与形结合起来，引导学生体会比较分子相同的分数的大小时，分母小的分数就大；在《分数的加减计算》一课中，借助分数直观图（图2）理解同分母分数相加，分母不变，分子相加，从而更直观的理解分数的运算。

图1图2

利用数形结合的方法，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，使学生表象清晰，记忆深刻，是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，为发展几何直观开辟了条重要的途径。

结束语：

几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观，是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一。

而培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，不仅仅是“图形与几何”领域的任务。

同时，有效的培养工作必须依托具体的数学课程教学内容、落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。

为此，教师具有培养学生几何直观的自觉意识是重要的，而将几何直观的培养自始至终落实在数学教学的每个环节，是至关重要的，这种工作以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观水平作为终点，最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。